Стохастический мир
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
x n 5 6 4 7 5 3 x n 5 6 8 5 2 4 Из начальной цены x 0 = 5 возможны равновероятные переходы к ценам 6 и 4 и т.д. по дереву. На рисунках представлены два различных про- цесса. В обоих случаях на втором этапе вероятности состояний равны {1/4, 1/2, 1/4} и среднее значение цены равно начальному: 0.25 · 7 + 0.5 · 5 + 0.25 · 3 = 5, 0.25 · 8 + 0.5 · 5 + 0.25 · 2 = 5. Однако для правого процесса это свойство нарушается в промежуточ- ных состояниях. Рассмотрим нижний узел первого ветвления с ценой 4. Если мы находимся в нјм, то среднее значение будущей цены отлично от четырех: 0.5 · 5 + 0.5 · 2 = 3.5 6= 4. Поэтому второй процесс не является мартингалом и позволяет заработать, начиная с состояний 4 или 6. Случайные события 43 • При обсуждении стохастических процессов в литературе часто ис- пользуют достаточно формальные обозначения. Следуя Колмогорову, который построил аксиоматику теории вероятностей, говорят о вероят- ностном пространстве. Оно определяется тройкой (?, F, P), где ? пространство элементарных событий, F ?-алгебра событий и P рас- пределение вероятностей. Разберјмся с каждым из этих понятий. Пространство элементарных событий ? представляет собой множе- ство простейших, не делимых далее событий, которые не могут произой- ти одновременно (попарно несовместные). Например, при броске играль- ной кости это пространство состоит из шести возможных событий, соот- ветствующих выпадению тех или иных очков: ? = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Алгебра событий F это множество всех возможных составных со- бытий, включая элементарные. Для броска кости примерами таких со- бытий могут быть A =число делится на 3=(3 6) и B =число больше 4=(5 6). Над событиями возможны операции объединения A + B, пере- сечения A · B и отрицания Ї A (стр. 298 ). В результате получаются новые события. Множество F является замкнутым, т.е. эти три операции все- гда приводят к событиям, находящимся в F. Множества и операции, обладающие таким свойством, называют ?-алгеброй. Распределение вероятностей P это функция p : A 7? P (A) : A ? F, которая ставит в соответствие каждому событию A из F вещественное число 0 6 p 6 1. Другими словами, это вероятности всех возможных со- бытий. Указание вероятностей P(F), а не P(?), существенно для задач, в которых событий из ? бесконечно много и они несчјтны. Вероятность каждого из них может быть равна нулю. Так, равна нулю вероятность конкретного значения x непрерывной случайной величины. В то же вре- мя составное событие из F может иметь отличную от нуля вероятность (например, вероятность попадания в некоторый конечный интервал). Случайной величиной x называется объект, возможные реализации ко- торого попадают в те или иные элементы алгебры событий F. Если x вещественная величина, то в F находятся все возможные отрезки веще- ственной оси, в которых может находиться x. Соответственно, P опреде- ляет вероятности попаданий x в такие отрезки. Случайный процесс x(t) это дискретное x t = x 1 , x 2 , ... или непрерыв- ное x(t) упорядоченное множество случайных величин, которые могут быть, например, ценами финансового инструмента в различные момен- ты времени. Случайный процесс можно также рассматривать, как мно- гомерную случайную величину x = (x 1 , x 2 , ..., x t ) 44 Глава 1. • Конкретная история значений случайного процесса x(t) является элементом множества алгебры событий F случайного процесса. Если рассматриваются цены до момента времени t включительно, то такую историю обычно обозначают в виде F t . Для дискретного случайного про- цесса F t имеет вид: F t = ..., x t?2 , x t?1 , x t В общем случае это бесконечная последовательность, идущая из прошло- го. Если известна некоторая история, то для данного процесса существует определјнная вероятность появления следующего значения. Эта вероят- ность является условной, так как описывает наступление события при условии реализации данной истории. Среднее значение случайного процесса в момент времени t i при усло- вии реализации той или иной истории F j = ..., x j?1 , x j часто обозначают следующим образом: E(x i |F j ) = hx i i j = Z x P (...; x j?1 , t j?1 ; x j , t j ? x i , t i ) dx i Мартингалом называют такой случайный процесс, для которого E(x i |F j ) = x j , j 6 i. (1.52) Другими словами, среднее значение цены в момент времени t i равно по- следнему известному историческому значению в момент t j Для марковских процессов, которые мы обсуждаем в этих лекциях, вероятность x(t) зависит только от его значения в прошлом x(t 0 ) и не зависит от всей предыдущей истории. Марковский процесс будет мар- тингальным, если для любых моментов времени t 0 < t выполняется со- отношение: E(x(t)|x(t 0 )) ? hx(t)i x(t 0 ) = ? Z ?? x P (x 0 , t 0 ? x, t) dx = x(t 0 ) = x 0 , где индекс у знака среднего обозначает усреднение с условной вероятно- стью P (x 0 , t 0 ? x, t) . Моменты времени могут быть номерами на дис- кретной сетке или вещественными числами в модели непрерывного вре- мени. Чаще всего мы считаем цены финансовых инструментов положи- тельными величинами. В таких случаях плотность вероятности P = 0 при x < 0, и, следовательно, интегрирование реально будет происходить от нуля до плюс бесконечности. Случайные события 45 • Если средняя цена случайного процесса со временем не уменьшается, то он называется субмартингалом, а если не увеличивается супермар- тингалом. В обозначениях условного среднего субмартингал определя- ется следующим образом: E(x i |F j ) > x j Аналогично для супермартингала: E(x i |F j ) 6 x j Каждый мартингал является и субмартингалом, и супермартингалом. Понятно, что если процесс одновременно обладает обоими свойствами, то он является мартингалом. Рассмотрим простой пример. Пусть подбрасывается монета, и при вы- падении орла один игрок платит другому доллар, а при выпадении решки наоборот. Тогда накопленная сумма у каждого игрока являет- ся стохастическим процессом, так как она случайно изменяется со вре- менем. Если монета симметрична и вероятность выпадения каждой из сторон p = 1/2, то капитал каждого игрока является мартингалом. При смещјнном центре тяжести p 6= 1/2 для проигрывающего в среднем иг- рока это будет супермартингал, а для выигрывающего субмартингал. • Мартингальные процессы оказываются удобной и очень общей мо- делью эффективного рынка, на котором нельзя гарантированно или в среднем получать прибыль. Если бы hxi в будущем было отлично от x 0 , то при hxi > x 0 такой финансовый инструмент имело бы смысл поку- пать, а при hxi < x 0 продавать, получая в среднем доход | hxi ? x 0 | . На самом деле, цены на многих рынках в долгосрочной перспективе растут. Например, рост экономики сопровождается ростом фондовых рынков. Однако, в силу их существенной волатильности, на относительно крат- косрочных интервалах времени мартингальная модель вполне адекватна. Она обычно лежит в основе вычисления справедливых цен опционов и других производных ценных бумаг. В заключение отметим, что, при всей своей математической изящ- ности, непрерывные стохастические процессы являются лишь моделью, причјм достаточно ограниченной. На самом деле рынки имеют разрыв- ную динамику, так как существуют периоды времени, когда они закрыты и торговля не ведјтся. Достаточно искусственным является также допу- щение о непрерывности торговли в ультракоротких периодах времени. Тем не менее, аппарат непрерывных стохастических процессов достаточ- но эффективно используется в вычислительных финансах и является обязательным инструментом любого финансового аналитика. 46 Глава 1. Глава 2 Стохастические уравнения Эта глава является ключевой. В ней вводится основной математиче- ский объект нашего интереса стохастические дифференциальные урав- нения. Мы будем использовать максимально неформальный, интуитив- ный путь, считая, что получение конкретных практических результатов важнее, чем математически строгое их обоснование. Стохастические уравнения представляют собой достаточно естествен- ный непрерывный по времени предел дискретных случайных процессов, рассмотренных в предыдущей главе. Даже решая непрерывное уравне- ние, мы будем постоянно возвращаться к его дискретному аналогу, как для получения общих аналитических результатов, так и для численно- го моделирования. Исключительно важным результатом главы является лемма Ито, при помощи которой мы научимся находить точные реше- ния уравнений в некоторых простых, но важных для практических при- ложений задачах. Затем обсуждаются способы вычисления автокорреля- ционной функции случайного процесса и его спектральные свойства. В заключение мы затронем тему систем уравнений, к которой более после- довательно вернјмся в шестой главе. 47 48 Глава 2. 2.1 Уравнение Ито • Рассмотрим дискретную модель блуждания (стр. 34 ), в которой, кро- ме случайных толчков ? i , на каждом шаге происходит постоянный сдвиг x на величину µ 0 . Через n таких шагов результирующее значение x будет равно: x = x 0 + µ 0 n + ? 0 ? n ?. (2.1) Параметр µ 0 называют сносом процесса. Если µ 0 > 0 , то траектория по- степенно (в среднем) будет сдвигаться вверх, иначе вниз. Накопленное стохастическое изменение ? 1 + ... + ? n = ? ? n пропорционально гауссовой переменной ? ? N(0, 1) с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть длительность каждого шага ?t, и в течение времени t ? t 0 их количество равно n = (t ? t 0 )/?t . Обозначим дисперсию за единицу времени через ? 2 = ? 2 0 /?t , а снос µ = µ 0 /?t . В результате x становится случайной функцией, которую можно записать в следующем виде: x(t) = x(t 0 ) + µ · (t ? t 0 ) + ? ? t ? t 0 ?. (2.2) В зависимости от значения случайного гауссового числа ? будет полу- чаться то или иное x в момент времени t. Таким образом, процесс x(t) имеет нормальное распределение с максимумом, сдвигающимся со ско- ростью µ, и с шириной, увеличивающейся со временем пропорционально корню ? t ? t 0 Рассмотрим теперь изменение dx = x(t) ? x(t 0 ) за бесконечно малый интервал dt = t ? t 0 . В этом случае из ( 2.2 ) следует: dx = µ dt + ? ?W, (2.3) где введено формальное обозначение ?W = ? ? dt . В отличие от обычных дифференциальных уравнений вида dx = a(x, t)dt, подобное уравнение содержит бесконечно малое изменение по времени в степени 1/2. Что- бы подчеркнуть эту необычность, мы используем символ ?, а не d. Процесс, подчиняющийся уравнению ( 2.3 ), называется непрерывным ви- неровским процессом. Так как мы рассматриваем предел бесконечного числа аддитивных из- менений (n ? ?), то гауссовость величин ? i на самом деле не важна. В силу вычислений на стр. 29 , сумма большого числа независимых случай- ных величин окажется гауссовой величиной. Важным является факт их независимости, в результате которого возникает множитель ? t (l C 13 ). Стохастические уравнения 49 • Общие процессы Ито представляют собой деформацию простого винеровского блуждания при помощи функций a(x, t) и b(x, t). Предпо- ложим, что снос µ и волатильность ? это функции времени t, которые могут также зависеть от значения x: dx = a(x, t) dt + b(x, t) ?W , (2.4) где ?W = ? ? dt бесконечно малый винеровский шум, а ? ? N(0, 1). Функция a(x, t) называется коэффициентом сноса, а b(x, t) коэффици- ентом волатильности, квадрат которого b 2 (x, t) называют диффузией. Локально, если функции a(x, t) и b(x, t) примерно постоянны, процесс Ито это обычное аддитивное винеровское блуждание, постепенно из- меняющее свои свойства (l C 14 ). • Уравнение Ито ( 2.4 ) позволяет легко моделировать временную дина- мику произвольного стохастического процесса при помощи итерацион- ной схемы x k+1 = x k + a(x k , t k ) ?t + b(x k , t k ) ? ?t ? k (2.5) Для этого выбирается малый интервал времени ?t и начальное значение x 0 . Затем генерится нормально распределјнное случайное число ? 1 и вы- числяется следующее значение x 1 . После чего x 1 подставляется на место x 0 , время сдвигается t 1 ? t 0 + ?t . В результате получается последова- тельность случайных чисел x 0 , x 1 , x 2 ,... Соответствующий график имеет характерную фрактальную изломанность, типичную для динамики цен финансовых инструментов или блуждающей броуновской частицы. За- метим, что на каждой итерации генерится новое случайное число ? k Сходимость итерационной процедуры ( 2.5 ) имеет одну особенность. Ре- шая обычное дифференциальное уравнение dx = a(x, t) dt в разностях x k+1 = x k + a(x k , t k ) ?t , мы предполагаем, что при заданных началь- ных условиях x 0 = x(t 0 ) решение в момент времени t будет получаться примерно одно и то же, стремясь к некоторому пределу при уменьше- нии временного шага ?t ? 0. Однако для стохастических уравнений это абсолютно не так! Какой бы малый интервал ?t мы не выбрали, за счјт случайных чисел ? k будут получаться различные траектории x(t), удалјнные друг от друга достаточно далеко. Сходимость алгоритма ( 2.5 ) означает, что при уменьшении ?t должны к определјнному пределу стремиться среднее значение Їx(t), волатиль- ность ?(t) и функция распределения вероятностей P (x 0 , t 0 ? x, t) слу- чайного процесса x(t). 50 Глава 2. • Снос a(x, t) и волатильность b(x, t) имеют простой смысл. Если x в момент времени t 0 равен x 0 , то средние значения первой и второй степени его изменения через бесконечно близкий интервал ?t ? 0 будут равны: hx ? x 0 i ?t = a(x 0 , t 0 ), (x ? x 0 ) 2 ?t = b 2 (x 0 , t 0 ), (2.6) где усреднение проводится при условии x 0 = x(t 0 ) . Это утверждение означает использование условной вероятности при вычислении среднего: (x ? x 0 ) k = ? Z ?? (x ? x 0 ) k P (x 0 , t 0 ? x, t) dx. Моменты времени t 0 и t явным образом указывают, когда происходит наблюдение x 0 и x. Проверим, что дискретная схема Ито ( 2.5 ) приводит к ( 2.6 ). В беско- нечно близкий к t 0 момент времени отклонение от x 0 можно записать в следующем виде: x ? x 0 = a(x 0 , t 0 ) ?t + b(x 0 , t 0 ) ? ?t ?. (2.7) Напомню, что x и ? это случайные величины, а x 0 в данном случае константа начального условия. Среднее квадрата отклонения равно: (x ? x 0 ) 2 = D a 2 0 (?t) 2 + 2a 0 b 0 (?t) 3/2 ? + b 2 0 ?t ? 2 E = a 2 0 ?t 2 + b 2 0 ?t, где a 0 = a(x 0 , t 0 ) , b 0 = b(x 0 , t 0 ) , и учтено, что h?i = 0, ? 2 = 1 . Разде- лив на ?t и устремив его к нулю, получим b 2 (x 0 , t 0 ) . В ( 2.7 ) начальное условие x 0 считается заданной константой, поэтому усредняется только случайная величина ?. Несложно проверить, что моменты более высоких порядков (x ? x 0 ) k в ведущем приближении пропорциональны (?t) k/2 и после деления на ?t при k > 2 будут стремиться к нулю. Класс процессов, свойства которых полностью определяются толь- ко бесконечно малыми локальными изменениями первого и вто- рого порядка ( 2.6 ), называются диффузными. Чтобы определить динамическое стохастическое уравнение для того или иного эмпирического процесса, можно вычислить средние ( 2.6 ) в раз- личные моменты времени и при различных x 0 . Кроме этого, необходимо обязательно проверить, является ли процесс диффузным, т.е. стремятся ли (x ? x 0 ) k /?t к нулю при k > 2 и ?t ? 0. Иногда это проще, чем восстановление из данных функции четырех аргументов P (x 0 , t 0 ? x, t) Стохастические уравнения 51 • Мы часто будем записывать решения стохастических уравнений при помощи скалярной случайной величины ?. Важно чјтко понимать смысл такой символики. Пусть в начальный момент времени t 0 нам известно, что x = x 0 . После этого x начинает изменяться x = x(t). В каждый фик- сированный момент времени t > t 0 величина x случайна. При помощи того или иного функционального преобразования можно выразить слу- чайную величину с одним распределением через случайную величину с другим. Поэтому: x = f (x 0 , t 0 , t, ?) (2.8) означает, что случайная величина x в момент времени t выражается, на- пример, через гауссову случайную переменную ?, а, следовательно, плот- ность вероятности P (x 0 , t 0 ? x, t) можно получить некоторым преобра- зованием из нормального распределения. При помощи ( 2.8 ) легко вычис- ляются разнообразные средние случайного процесса, так как свойства ? хорошо известны. Таким образом, в произвольный фиксированный момент времени x(t) это случайная величина, свойства которой определяются при помощи ? и значения t. Время изменяется, и изменяются еј свойства. В результате случайная величина x превращается в процесс. Если мы рассматриваем другой момент времени, мы должны исполь- зовать другую случайную величину ?. Пусть процесс наблюдается после t 0 в последовательные моменты времени t 1 и t 2 , тогда: x 1 = f (x 0 , t 0 , t 1 , ? 1 ) (2.9) x 2 = f (x 0 , t 0 , t 2 , ? 2 ) = f (x 1 , t 1 , t 2 , ? 3 ). (2.10) Первое уравнение ( 2.9 ) является решением в момент времени t 1 . Величи- на x 0 детерминированная константа, задаваемая начальными условия- ми. В противоположность ей x 1 случайная величина. Еј случайность определяется ? 1 . Первое равенство уравнения ( 2.10 ) имеет аналогичный смысл. Однако ? 2 это новая случайная величина. Заметим, что она, вообще говоря, статистически зависит от ? 1 , так как знание значения x 1 (и, следовательно, ? 1 ) дајт нам дополнительную информацию о возмож- ных значениях x 2 . В частности, считая, что задано начальное условие x 1 = x(t 1 ) , мы можем записать второе равенство в ( 2.10 ). Величина ? 3 определяет случайность после момента времени t 1 , и, следовательно, она независима от ? 1 . Второе равенство в ( 2.10 ) имеет смысл функцио- нальной связи между случайными величинами x 2 и x 1 , ? 3 . Заметим, что функция f во всех соотношениях ( 2.9 ), ( 2.10 ) одна и та же, а все случай- ные величины ? i имеют одинаковое распределение N(0, 1). 52 Глава 2. 2.2 Остановка перед восхождением Прежде чем изучать способы решения стохастических дифференци- альных уравнений, имеет смысл остановиться и поразмышлять. Мы вы- брали в качестве математической модели шума величину ? ? dt . Она умно- жается на некоторую функцию b(x, t) и, тем самым, может изменять со временем и значением x свою волатильность (величину шума). Однако единственен ли подобный выбор? • Что, если рассмотреть уравнения без корня от временного интерва- ла? Пусть, например: dx = ? dt. В этом случае скорость dx/dt это случайная величина с гауссовым распределением. Решим уравнение в разностях: x 1 = x 0 + ? 1 ?t, x 2 = x 1 + ? 2 ?t = x 0 + (? 1 + ? 2 )?t, Через n итераций получится сумма гауссовых чисел, которая статисти- чески эквивалентна единственному гауссовому числу, умноженному на ? n : x = x 0 + (? 1 + ... + ? n )?t = x 0 + ? ? n ?t. Записывая итерационные решения, мы предполагаем, что в конечном счјте необходимо будет сделать предельный переход ?t ? 0, n ? ?. При этом произведение n?t = t равно конечному интервалу времени, прошедшему от начального момента t 0 = 0 . Полученное решение имеет вид x = x 0 + ? ? t ?t , и при ?t ? 0 стремится к тривиальной константе x 0 . Ни какой стохастической динамикой подобное уравнение не обладает. • Рассмотрим другую возможность со случайным шумом, также про- порциональным dt: dx = ? 2 dt. В этом случае решение имеет вид: x = x 0 + (? 2 1 + ... + ? 2 n ) ?t = u (n?t) = u t, где введена случайная величина: u = ? 2 1 + ... + ? 2 n n Каковы еј статистические свойства? Так как для всех ? i справедливо ? 2 = 1 , то среднее значение hui = 1. В пределе n ? ?, ?t ? 0 мы получаем конечное решение, пропорциональное времени t = n ?t. Стохастические уравнения 53 Найдјм среднее значение квадрата u: u 2 = 1 n 2 n X i,j=1 ? 2 i ? 2 j = 1 n 2 h n ? 4 + (n 2 ? n) ? 2 2 i = 1 + 2 n (2.11) В сумме по i и j усредняются n 2 слагаемых. Из них n имеют одинаковые индексы типа ? 4 1 , а оставшиеся n 2 ? n слагаемых с различными индек- сами: ? 2 1 ? 2 2 , и т.д. (l C 15 ). Так как случайные числа ? i независимы, то среднее их произведения равно произведению средних: ? 2 1 ? 2 2 = ? 2 1 ? 2 2 Кроме этого, для нормированных гауссовых величин мы имеем: ? 2 = 1 , ? 4 = 3 В результате дисперсия величины u равна ? 2 u = u 2 ? hui 2 = 2/n и стремится к нулю при n ? ?. Это означает, что плотность вероятности P (u) при n ? ? становится бесконечно узкой и высокой в окрестности значения u = 1. Мы имеем дело с детерминированным числом! Этот результат не зависит от типа распределения ? и предполагает только су- ществование конечного момента четвјртого порядка ? 4 . Аналогичная ситуация и для уравнения dx = ? m dt (l H 8 ). Таким образом, члены вида (?W ) 2 = ? 2 dt в дифференциальном урав- нении приводят к детерминированной динамике x(t) = t, такой же, как и в отсутствие ? 2 . Это утверждение часто записывают в символическом виде неслучайности квадрата изменения винеровской переменной: (?W ) 2 ? dt. (2.12) Подобное соотношение необходимо понимать в смысле детерминирован- ности бесконечной итерационной процедуры. Оно справедливо и в слу- чае, когда dx = ?(x, t) ? 2 dt , так как локально на малом интервале ?t функцию ?(x, t) всегда можно считать примерно постоянной. При этом возможно разбиение сколь угодно малого интервала ?t на большое ко- личество n итерационных шагов. • Мы видим, что альтернатив для записи малого шума Noise ? ? ? dt не так и много. Только сочетание ? с корнем из dt сохраняет свою слу- чайность при бесконечном итерационном решении уравнения. Поэтому уравнения Ито являются если и не единственным, то очень естествен- ным методом введения шума в дифференциальные законы изменения величин со временем (l C 16 ). Естественно, шум в реальных системах не обязательно будет аддити- вен, как в ( 2.4 ). Например, параметр частоты осциллятора ? вполне мо- жет оказаться случайной величиной. Однако в этом случае для него мож- но рассматривать отдельное динамическое уравнение типа Ито и решать систему стохастических уравнений. 54 Глава 2. 2.3 Лемма Ито • Пусть процесс x(t) подчиняется уравнению Ито. Рассмотрим обыч- ную гладкую функцию F (x, t). Если вместо x в неј подставить x(t), то F (t) = F x(t), t станет случайным процессом. Покажем, что он также подчиняется диффузному уравнению Ито: dF = A(x, t) dt + B(x, t) ?W (2.13) с x = G(F, t), где G обратная к F функция. Для этого необходимо найти функции сноса A и волатильности B, а также убедиться, что моменты более высоких порядков равны нулю. Разложим в ряд Тейлора F (x, t) = F (x 0 + ?x, t 0 + ?t) в окрестности начального фиксированного значения x 0 по небольшим ?x и ?t: F (x, t) = F (x 0 , t 0 ) + ?F ?x 0 ?x + 1 2 ? 2 F ?x 2 0 (?x) 2 + ... + ?F ?t 0 ?t + ..., где все производные справа вычислены в точке x 0 , t 0 . Для ряда остав- лен член второго порядка малости по ?x. При помощи ( 2.7 ) мы можем записать (?x) 2 в следующем виде: (?x) 2 = a 0 ?t + b 0 ? ? ?t + ... 2 = b 2 0 ? 2 ?t + ..., где оставлено ведущее приближение по ?t. Таким образом, если в на- чальный момент времени t 0 функция равна детерминированному числу F 0 = F (x 0 , t 0 ) , то через малый промежуток времени, в зависимости от значения ?, это будет случайная величина вида (l C 17 ): F = F 0 + ?F ?x 0 (a 0 ?t + b 0 ? ? ?t) + b 2 0 2 ? 2 F ?x 2 0 ? 2 ?t + ?F ?t 0 ?t + ... (2.14) По определению ( 2.6 ) коэффициент сноса в пределе ?t ? 0 равен: A(x 0 , t 0 ) = hF ? F 0 i ?t = a 0 ?F ?x 0 + b 2 0 2 ? 2 F ?x 2 0 + ?F ?t 0 , где подставлено разложение ( 2.14 ) для F и учтено, что h?i = 0, ? 2 = 1 Аналогично, для коэффициента диффузии: B 2 (x 0 , t 0 ) = (F ? F 0 ) 2 ?t = b 2 0 ?F ?x 0 2 Для моментов более высоких порядков в пределе ?t ? 0 получается ноль. Таким образом, это действительно диффузный процесс. Стохастические уравнения 55 Выше упоминалось, что для записи стохастического дифференциаль- ного уравнения некоторого процесса необходимо вычислить условные средние его изменения первого и второго порядка. При этом следует убе- диться, что моменты более высоких порядков при ?t ? 0 стремятся к нулю. Если этого не происходит, то процесс не является диффузным и не может быть записан в форме Ито ( 2.13 ). Поэтому необходима полная проверка диффузности, проведенная выше. Считая уравнение ( 2.14 ) первым вычислением в бесконечной итера- ционной схеме, мы можем также рассуждать аналогично разделу § 2.2 Сумма слагаемых вида ? 2 ?t приводит к такому же детерминированному результату, как и в отсутствие ? 2 . Поэтому можно положить ? 2 ? 1 Так как начальный момент был выбран произвольным образом, запи- шем дифференциал функции F (x, t) в форме Ито при помощи бесконеч- но малой винеровской переменной ?W = ? ? dt : dF = ?F ?t + a(x, t) ?F ?x + b 2 (x, t) 2 ? 2 F ?x 2 dt + b(x, t) ?F ?x ?W . (2.15) Это соотношение называется леммой Ито. Оно играет очень важную роль в теории случайных процессов (l C 18 ). Обратим внимание, что в отсутствие стохастики полный дифференци- ал функции F (x, t), в которую подставили решение x = x(t) уравнения dx = a(x, t)dt , имеет вид: dF = ?F ?t dt + ?F ?x dx = ?F ?t + a(x, t) ?F ?x dt. (2.16) В отличие от этого соотношения, в детерминированную часть леммы Ито проникают функция диффузии b 2 (x, t) и вторая производная по x. Происходит это, как мы видели, благодаря корню ? dt . Это, в свою оче- редь, связано со свойствами простого аддитивного блуждания, которое является локальным приближением любого процесса Ито. Для винеровского уравнения dx = µ dt + ??W с постоянным сносом µ и волатильностью ? дифференциал квадрата траектории y = x 2 , в соответствии с ( 2.15 ), удовлетворяет нелинейному уравнению Ито: d(x 2 ) = (2µx+? 2 ) dt+2? x ?W => dy = (2µ ? y+? 2 ) dt+2? ? y ?W. Действуя в обратном направлении, при помощи подходящей замены и леммы Ито можно сводить одни уравнения к другим, решение которых нам известно. Рассмотрим этот подход подробнее. 56 Глава 2. 2.4 Точные решения • Несмотря на простой вид, стохастические уравнения ( 2.4 ) аналити- чески интегрировать не так и просто из-за винеровского члена ?W . Это явно видно в случае конечной численной реализации ( 2.5 ). Каждое после- довательное x в итерационной процедуре нелинейным образом зависит от всех предыдущих случайных чисел ? k (l C 19 ). Тем не менее, рассмот- рим ситуации, в которых можно получить точные решения. Пусть в процессе Ито функции сноса и волатильности зависят только от времени. Обозначим их через f(t) и s(t): dx = f (t) dt + s(t) ?W. (2.17) Это уравнение легко интегрируется при помощи дискретной интерпре- тации стохастического члена ?W . Рассмотрим итерации, выполняемые по разностной схеме ( 2.5 ): x 1 = x 0 + f 0 ?t + s 0 ? 1 ? ?t, x 2 = x 1 + f 1 ?t + s 1 ? 2 ? ?t = x 0 + (f 0 + f 1 ) ?t + (s 0 ? 1 + s 1 ? 2 ) ? ?t, ..., где f k = f (t k ) и s k = s(t k ) . После n итераций итоговое значение будет равно: x = x 0 + (f 0 + ... + f n?1 ) ?t + (s 0 ? 1 + ... + s n?1 ? n ) ? ?t. Скобки в последнем слагаемом содержат сумму независимых гауссовых чисел, каждое из которых имеет волатильность s k . В результате получа- ется гауссово число с волатильностью q s 2 0 + ... + s 2 n?1 . Поэтому, перехо- дя к непрерывному пределу, получаем (l H 9 ): x(t) = x(t 0 ) + t Z t 0 f (? ) d? + ? ? t Z t 0 s 2 (? ) d? ? ? 1/2 ?. (2.18) Решение ( 2.18 ) уравнения ( 2.17 ) говорит нам, что x(t) является нор- мально распределјнным случайным числом со средним и дисперсией, зависящими от времени. Если s(t) не константа, то будущая неопреде- лјнность в значении x может увеличиваться уже не как ? t , а по другому закону. Соотношение ( 2.18 ) позволяет легко вычислить статистические свой- ства процесса, в частности, его среднее x(t) и волатильность ?(t). Стохастические уравнения 57 • Одномерное уравнение Ито для процесса, имеющего произвольный снос a(x, t) и волатильность b(x, t) dx = a(x, t) dt + b(x, t) ?W, (2.19) заменой иногда можно свести к частному случаю ( 2.17 ), для которого решение уже известно. Воспользуемся леммой Ито: dF = ?F ?t + a(x, t) ?F ?x + b 2 (x, t) 2 ? 2 F ?x 2 | {z } f (t) dt + b(x, t) ?F ?x | {z } s(t) ?W. (2.20) Подберем F (x, t) таким образом, чтобы множители при ?W и dt в ( 2.20 ) оказались функциями s(t) и f(t), зависящими только от времени: ?F ?x = s(t) b(x, t) , ?F ?t + s(t) a(x, t) b(x, t) ? 1 2 ?b(x, t) ?x = f (t), (2.21) где вместо ?F/?x в множитель при dt подставлено первое уравнение ( 2.21 ) и его производная по x (l H 10 ). Возьмјм частные производные первого уравнения ( 2.21 ) по t и второго по x. Вычитая их, мы придјм к условию совместности: 1 s(t) ? ?t s(t) b(x, t) = 1 2 ? 2 b(x, t) ?x 2 ? ? ?x a(x, t) b(x, t) (2.22) Если при данных a(x, t) и b(x, t) можно подобрать такую функцию s(t), при которой уравнение ( 2.22 ) обратится в тождество, то мы получим решение стохастического уравнения ( 2.19 ) в следующей неявной форме: F x(t), t = F x(t 0 ), t 0 + t Z t 0 f (? ) d? + ? ? t Z t 0 s 2 (? ) d? ? ? 1/2 ?, (2.23) где функция f(t) определяется вторым соотношением ( 2.21 ), а F (x, t) находится из первого уравнения ( 2.21 ) (l C 20 ). Решение ( 2.23 ) это нестационарный гауссовый процесс для дефор- мации x(t) при помощи нелинейной функции F (x, t). Естественно, что разрешимость ( 2.22 ) позволяет интегрировать уравнение Ито только в ряде частных случаев. Однако, как мы увидим ниже, эти случаи охваты- вают достаточно широкий класс важных для практических приложений процессов. 58 Глава 2. 2.5 Простые стохастические модели • Логарифмическое блуждание определяется уравнением: dx = µ x dt + ? x ?W , (2.24) где µ и ? константы модели. Часто ( 2.24 ) называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием. Если стохастического члена нет (? = 0), то это обычное уравнение экспоненциального роста (µ > 0) или снижения (µ < 0): dx dt = µ x => x(t) = x 0 e µt Подобная зависимость возникает во многих физических, биологических и социальных системах, от радиоактивного распада до роста экономики. Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определјнные кор- рективы. Подставим функции сноса a(x, t) = µ x и волатильности b(x, t) = ? x в условие совместности ( 2.22 ) на стр. 57 . В результате для s(t) по- лучается тривиальное уравнение ?s(t) = 0, где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, s(t) это константа, которую удобно выбрать равной ?. Интегрирование первого уравнения ( 2.21 ) дајт F (x, t) = ln x , и, соответственно, функция f(t) равна µ ? ? 2 /2 . Оконча- тельное решение (t 0 = 0 ) имеет вид: x(t) = x 0 e( µ?? 2 /2 ) t+? ? t ? (2.25) Если в процессе Винера x может уползти при блуждании в область от- рицательных значений x < 0, то для логарифмической модели это невоз- можно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду ( 2.24 ). По мере приближения к значению x = 0 снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при x ? 0. Используя интеграл ( 1.11 ) на стр. 16 , легко вычислить среднее значе- ние и волатильность в произвольный момент времени: Ї x(t) = x 0 e µt , ? x (t) = Ї x(t) p e ? 2 t ? 1. Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением по обыч- ному обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив ( 2.24 ) на x, нельзя внести его под дифференциал: dx/x 6= d ln x. Для подобных действий служит лемма Ито ( 2.15 ) по которой для процесса логарифмического блуждания d(ln x) = (µ ? ? 2 /2) dt + ? ?W . Фактиче- ски, при помощи этой замены, найденной по алгоритму стр. 57 , мы и получили решение ( 2.25 ). Стохастические уравнения 59 Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с ну- левым сносом: dx = x?W . Видно, как они, прижимаясь к x = 0, тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для x, которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: dx = 0.05 · x · (dt + ?W ). Она имеет ярко выраженный экспонен- циальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты. 0 1 2 3 0 100 200 300 400 500 Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева). Введя винеровский процесс W t = W (t) = ? ? t , решение для логариф- мического блуждания можно записать в следующем виде: x(t) = e (µ?? 2 /2)t+? W t Действительно, производные для x(t) = F (t, W ) равны: ?x ?t = (µ ? ? 2 /2) x, ?x ?W = ? x, ? 2 x ?W 2 = ? 2 x. Винеровское блуждание W t имеет нулевой снос a = 0 и единичную вола- тильность b = 1. Поэтому по лемме Ито ( 2.15 ) имеем: dx = ?x ?t + 1 2 ? 2 x ?W 2 dt + ?x ?W ?W = µ x dt + ? x ?W. Роль x теперь играет процесс W , а функция F это x. Задавая различные функции x = F (t, W t ) , удовлетворяющие началь- ному условию x 0 = F (0, 0) , можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки F (t, W t ) в лемму Ито необ- ходимо исключить W t , заменив еј на W t = G(t, x) , где G обратная к F функция. Кроме этого константа x 0 должна сократиться, так как это внешнее к динамике условие и порядочное уравнение не должно за- висеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения (R 38 ) (R 43 ) из Справочника (стр. 276 ). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений. 60 Глава 2. • Процесс Орнштейна - Уленбека: dx = ?? · (x ? ?) dt + ? ?W (2.26) описывает блуждание, в котором x притягивается к уровню, определя- емому константой ?. При этом волатильность ? считается постоянной. Если x ?, то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании x ниже ? снос оказывается положительным и в среднем поднимает x(t) вверх. Параметр ? > 0 характеризует величину силы притяжения к равновесному значению ?. Условие совместности ( 2.22 ) дајт уравнение ?s(t) = ?s(t). Решая его и первое уравнение ( 2.21 ) для F (x, t), мы каждый раз выбираем константы интегрирования наиболее удобным способом, так как начальные усло- вия уже учтены в ( 2.23 ), а нам необходимо найти простейшую замену, исключающую x из сноса и волатильности: s(t) = ?e ?t , F (x, t) = xe ?t , f (t) = ??e ?t В результате решение записывается в следующем виде (t 0 = 0 ): x(t) = ? + x 0 ? ? e ??t + ? ? 2? p 1 ? e ?2?t ?. (2.27) Несложно увидеть, что x(t) оказывается гауссово распределјнной вели- чиной со средним и дисперсией, зависящими от времени. Если ? > 0, то среднее при больших временах стремится к равновес- ному уровню ?. Волатильность становится равной ?/ ? 2? . При винеров- ском или логарифмическом блуждании x(t) может уйти как угодно дале- ко от своего начального значения x 0 . Для процесса ( 2.26 ) x(t) заперта в статистическом коридоре с шириной, равной двойной волатильности ?/ ? 2? При малых ? процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению ста- новится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траекто- рия x(t) достаточно долго блуждает выше или ниже ?, не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к ?/ ? 2? , и тем больше, чем меньше ?. Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых ? расширяется. Если и ?, и ? до- статочно большие, x(t) часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум. Стохастические уравнения 61 Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов ва- лют ? может быть паритетом покупательной способности (l C 21 ), а для процентной ставки - еј долгосрочным значением. Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различ- ных параметрах приведены ниже. На левом рисунке ? = 0.1, ? = 0.1. На правом ? = 1, ? = 0.5. Величина ? в обоих случаях равна единице. 0 1 2 0 1 2 Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную W t , еј всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив W t = ? ? t . Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть ?, нельзя его выразить через W t , подставив ? ? W t / ? t В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в ( 2.27 ) приводит к случайной функции, не удовлетворяющей ( 2.26 ). Можно объединить положительность x и его притяжение к равновес- ному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением: dx = ?? x · ln x ? ? 1 dt + ? x ?W. (2.28) Если x > ?, то снос отрицательный, а при x < ? положительный. Множитель x замораживает динамику при приближении к x = 0. Для этой модели несложно найти точное решение (l H 11 ). На самом деле логарифмическая модель с притяжением является про- стой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если x удовлетворяет уравнению ( 2.26 ), то несложно проверить, что y = e x будет удовлетворять ( 2.28 ). Уравнение ( 2.28 ) так же соотносится с ( 2.26 ), как логарифмическое блуждание с процессом Винера. Ещј одну модель уместно назвать броуновской ловушкой: dx = ?? · (x ? ?) dt + ? · (x ? ?) ?W. (2.29) Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню x = ?, в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика де- терминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению x = ? (l H 12 ). 62 Глава 2. • Можно рассмотреть общее стационарное уравнение, снос и вола- тильность которого не зависят от времени: dx = a(x) dt + b(x) ?W. Условие совместности записывается следующим образом: ?s(t) s(t) = 1 2 b b 00 ? b a b 0 = ?, (2.30) где штрих производная по x, точка по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая только от x , поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обо- значили через ?. Проинтегрировав это уравнение, найдјм связь между сносом и волатильностью: a = b 2 0 4 + ? b ? ?b Z dx b , где ? ещј один параметр. Если b(x) = ? = const мы приходим к уравнению Орнштейна- Уленбека ( 2.26 ), стр. 60 . Для b(x) = ?x точно решаемой задачей является логарифмическая модель с притяжением ( 2.28 ), частным случаем кото- рой является логарифмическое блуждание. При b(x) = ? ? x снос должен явным образом зависеть от ?: a(x) = ? 2 4 + ? ? x + 2?x. Решение такого уравнения имеет вид (x 0 = x(0) , ? > 0): x(t) = ? x 0 e ?t + ? 2? e ?t ? 1 + ? ? 8? p e 2?t ? 1 ? 2 Если a(x)/b(x) = const, или сноса при блуждании нет a(x) = 0, то условие совместности ( 2.30 ) упрощается: b 00 2 = ? b Умножая его на интегрирующий множитель b 0 , получаем решение в неяв- ной форме: x ? ? = Z db ? ? + 4? ln b , где ? и ? константы интегрирования. Стохастические уравнения 63 • Броуновский мост. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от x, но и от времени t: dx = ? x ? ? T ? t dt + ? ?W (2.31) Константа T это выделенное время в будущем (t < T ), когда снос становится бесконечным. Условие совместности дајт: s(t) = ? T ? t , F (x, t) = x T ? t , f (t) = ? (T ? t) 2 (2.32) В результате получаем решение в следующем виде (x 0 = x(t 0 ) ): x(t) = ? + (x 0 ? ?) T ? t T ? t 0 + ? s (t ? t 0 )(T ? t) T ? t 0 ?. Среднее процесса при t ? T стремится к ?. При этом волатильность ока- зывается равной нулю. Это означает, что x(t) гарантированно в процессе блуждания достигает равновесного значения x(T ) = ?: 0 1 2 0.5 1 1.5 2 2.5 На рисунках в обоих случаях ? = 1. Слева ? = 0.1, справа ? = 0.05. Соединение начального условия x 0 = x(0) и конечного x(T ) = ? стоха- стическими траекториями и дало живописное название процессу. Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произ- вольными коэффициентами, зависящими от времени: dx = ??(t) · x ? ?(t) dt + ?(t) ?W. Условия совместности дают: s(t) = ?(t)e t R t0 ?(t)dt , F (x, t) = x s(t) ?(t) , f (t) = ?(t)?(t) s(t) ?(t) Для частного выбора ?(t) = ?/(T ? t), ?(t) = ?, ?(t) = ?, где ?, ?, T и ? константы модели, получаем решение в следующем виде (t 0 = 0 ): x(t) = ? + x 0 ? ? T ? (T ? t) ? + ? (T ? t) 2? ? 1 1 ? (T ? t) 2??1 T 2??1 1/2 ?. Заданием функции ?(t) можно добиться произвольного выгиба моста вверх или вниз. 64 Глава 2. 2.6 Представление решений • Мы записываем решения стохастических уравнений с начальным условием x 0 = x(t 0 ) при помощи одной или нескольких случайных вели- чин ? и гладкой функции времени: x(t) = f(x 0 , t 0 , t, ?) . Так как свой- ства ? обычно хорошо известны, такое представление позволяет легко находить разнообразные средние и марковскую плотность условной ве- роятности P (x 0 , t 0 ? x, t) Сама по себе функция f не позволяет нарисовать одиночную траекто- рию. Если мы сгенерим некоторое конкретное число ??, то x(t) не будет графиком случайного процесса. Это обычная гладкая функция. Напри- мер, для винеровского процесса без сноса: x(t) = x 0 + ? ? t ? t 0 (2.33) Никаких изломов, типичных для случайного процесса, тут, конечно, нет. Дело в том, что для получения свойств x(t) в каждый момент времени необходимо генерить различные случайные числа ?. Тем не менее, благодаря марковости процессов начальные условия (x 0 , t 0 ) могут быть значением случайной функции на любом этапе эволю- ции. В частности, мы можем записать следующую цепочку решений: x 1 = f (x 0 , t 0 , t 1 , ? 1 ) x 2 = f (x 1 , t 1 , t 2 , ? 2 ) x 3 = f (x 2 , t 2 , t 3 , ? 3 ), ..., |