Теоретична механіка. Відповіді до екзамену. Задача двух тел. Приведенная масса. Эффективная потенциальная энергия
 Скачать 1.11 Mb.
|
|
1. Законы Ньютона и законы сохранения для системы материальных точек. 2. Общие свойства одномерного движения. Период движения. 3. Одномерное движение, анализ на фазовой плоскости. Особые точки фазовой плоскости седло и центр. Сепаратриса. 4. Малые колебания при наличии трения. Слабое и сильное трение. Особые точки фазовой плоскости фокус и узел. 5. Отрицательное трение. Устойчивый и неустойчивый фокус. 6. Знакопеременное трение. Предельный цикл. 7. Обобщенные координаты. Принцип наименьшего действия и уравнение Лагранжа. Общий вид функции Лагранжа. 8. Законы сохранения как следствие инвариантности функции Лагранжа относительно некоторых преобразований. Циклические координаты. 9. Механическое подобие. 10. Теорема вириала. 11. Задача двух тел. Приведенная масса. Эффективная потенциальная энергия. 12. Движение в центрально-симметричном поле. Общие закономерности. Замыкание траектории. Падение на центр. 13. Задача Кеплера. Законы Кеплера. 14. Колебания со многими степенями свободы, нормальные координаты. 15. Вынужденные гармонические колебания без трения. Резонанс. Биения. Гармонические колебания с трением и внешней силой. Резонанс. 17. Движение твердого тела. Угловая скорость. Кинетическая энергия твердого тела. 18. Момент импульса твердого тела. Тензор инерции твердого тела. 19. Общие свойства тензора инерции твердого тела. Классификация твердых тел. 20. Описание поворотов твердого тела. Углы Эйлера. Функция Лагранжа твердого тела. 21. Динамические уравнения Эйлера для движения твердого тела. 22. Свободное движение симметрического и шарового волчков. Что можно сказать о движении асимметрического волчка 23. Неинерциальные системы отсчета. 24. Рассеяние. Сечение рассеянья. Эти формулы используются в следующем вопросе 25. Сечение рассеянья (определение. Формула Резерфорда. 26. Уравнение Гамильтона. Циклические координаты в методе Гамильтона. 27. Уравнение Гамильтона как следствие вариационного принципа. 28. Функция Рауса. Уравнение Рауса. 29. Канонические преобразования. Производящая функция. 30. Скобки Пуассона. Их свойства. Инвариантность скобок Пуассона относительно канонических преобразований. 31. Теорема Лиувилля. 32. Движение как каноническое преобразование. Уравнение Гамильтона - Якоби. 33. Амплитуда и фаза гармонического маятника как канонически сопряженные переменные. Каноническое преобразование, которое делает гармонический маятник механической системой c циклической координатой. 1. Законы Ньютона и законы сохранения для системы материальных точек. Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Ее положение в пространстве определяется радиус-вектором r, компоненты которого совпадают с ее декартовыми координатами x, y, z. Производная r повремени наз. скоростью, а вторая производная 2 2 dt d r - ускорением точки. Основными законами классической механики являются законы Ньютона. 1 з-н Ньютона существуют системы отсчета, в которых свободное движение частицы осуществляется с постоянной скоростью, не изменяющейся ни по величине, ни по направлению. Такие с-мы отсчета наз. инерциальными. 2 з-н Ньютона в инерциальной системе отсчета произведение массы частицы на ее ускорение равно силе, действующей на эту частицу F r m . Если ввести понятие количества движения, или импульса материальной точки r p m , то 2 з-н Ньютона можно записать в виде F p dt d . 3 з-н Ньютона – силы взаимодействия двух частиц равны между собой по величине и противоположны по направлению, зависят лишь от расстояния между частицами и действуют вдоль линии, соединяющей их 21 рис. 1). Рассмотрим систему из N частиц. Обозначим F ij силу, с которой частица j действует на частицу i. Силы, источники которых включены в систему, наз. внутренними, а силы, источники которых находятся вне системы, называются внешними. Сила, действующая на частицу i со стороны остальных равна j ij i F F . Сумма всех внутренних сил 0 2 1 2 1 2 1 , j ji ij j ij j ij j i ij i i F F F F F F F . Силы, действующие между сложными частицами или телами A и B, необязательно являются центральными, но обязательно удовлетворяют условию BA AB F F . Обозначим массы частица их положение в какой-либо системе отсчета r i (i = 1, 2, ...N). Для каждой из частиц справедлив закон Ньютона вн i i k ik i i i m F F F r , где последнее слагаемое представляет сумму всех внешних сил, действующих на ю частицу. Вектор полного импульса системы i i i m r P . Найдем закон изменения P со временем i вн i i вн i k i ik i вн i i k ik i i i i i m F F F F F F r P , . Если сумма внешних сил практически равна 0, то система называется замкнутой. В этом случае 0 P и выполняется закон сохранения импульса const P . Введем понятие центра масс системы – это такая точка с, радиус-вектор которой выражается по формуле M m i i i c r R , где i i M M - полная масса системы. Скорость центра масс M c c P R v . По закону изменения полного импульса вн c M F R , то есть центр масс движется как частица с массой, равной массе всей системы, под действием силы, равной сумме всех внешних сил. Вектор полного момента импульса Продифференцируем повремени. Первое слагаемое в правой части равно 0. По второму закону Ньютона i вн i i i k ik i dt d F r F r M , . Вторую сумму называют полным моментом внешних сил i вн i i F r K . Покажем, что первая сумма равна 0: i k ki k i k ik i i k ik i i k ik i i k ik i , , , , , 2 1 2 Так как ik k i ki ik r r r F F ; , то 0 2 1 2 1 2 1 , , , , , i k ik ik i k ik k i i k ik k i k ik i i k ik i F r F r r F r F r F r . Таким образом, K M dt d . Для замкнутой системы K=0 и M=const, то есть момент импульса замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения энергии (это пиздец). Кинетическая энергия одной частицы 2 2 i i i r m T . Кинетическая энергия системы из N частиц i i i r m T 2 2 . Продифференцируем ее повремени, согласно со 2 законом Ньютона получим i вн i i k i ik i i i i i i i i m dt dT F r F r F r r r , . Рассмотрим первую сумму k i ik ik k i ik k i k i ik k ik i k i ik i ik i k i ik i , , , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 F r F r r F r F r F r F r F r . Ведем потенциальную энергию взаимодействия U: ik ik ik ik ik r r U r F . Учитывая, что ik ik ik ik r r r r , указанная сумма запишется в виде k i ik k i ik ik k i ik ik ik k i ik ik ik ik ik k i ik ik U dt d r U dt d r r U r r U , , , , , r r F r . Сумма k i ik U , 2 называется внутренней потенциальной энергией системы. Возвращаясь к выражению для производной dt dT , получим i вн i k i ik i U T dt d F r , 2 1 . Выражение k i ik U T U , 2 называют полной внутренней энергией системы. dA d dU i i вн i r F . Таким образом, изменение внутренней энергии системы за время dt равно работе внешних сил за это же время. Запишем внешние силы в виде i i вн i V f F , здесь f i – непотенциальные внешние силы, V – потенциал внешних сил, зависящий от координат и, возможно, от времени. i i вн i i i вн i i i i i i i i i i i i i i вн i t V dt dV z dz dV y dy dV x dx dV V r f r f f r r F . Тогда i i вн i j i ij t V V U T dT d r f , 2 1 . Величину V U T E j i ij , 2 называют полной механической энергией системы. Она состоит из внутренней энергии системы и потенциальной энергии системы в поле внешних сил V. Рассмотрим частные случаи а) система изолирована тогда V=0, f i =0 и мы получим закон сохранения внутренней энергии системы const U T U k i ik , 2 1 ; б) внешние потенциальные силы стационарны, те. и, кроме того, 0 i i вн i r f ; тогда закон сохранения энергии принимает вид const V U T E j i ij , 2 Сумма i i вн i r f равна нулю, когда непотенциальные силы вообще отсутствуют, либо они есть, но такого вида, что 0 i вн i r f сила Лоренца). Законы сохранения являются фундаментальными законами природы. Они не есть следствия законов Ньютона, хотя их и можно получить, исходя из этих законов. Они являются следствиями свойств однородности (закон сохранения импульса) и изотропности (закон сохранения момента импульса) пространства и однородности времени (закон сохранения энергии. 2. Общие свойства одномерного движения. Период движения. Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы. наиболее общий вид лагранжевой функции такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть ) ( ) ( 2 1 2 q U q q a L (11,1), где некоторая функция обобщенной координаты q. в частности, если q есть декартовая координата (назовѐм еѐ x), ) ( 2 * 2 x U x m L (11,2). Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде. при этом нет даже необходимости выписывать самое уравнение движения, а следует исходить сразу из его первого интеграла – уравнения, выражающего закон сохранения энергии. так, для Лагранжа (11,2) имеем ) ( 2 * 2 x U x m E . Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, интегрируется путѐм разделения переменных. Имеем ) ( 2 x U E m dt dx , откуда const x U E dx m t ) ( 2 . Роль произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия E и постоянная интегрирования const. Поскольку критическая энергия – величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, те. движение может происходить только в тех областях пространства, где U(x) ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( E x E x x U E dx m E T , причѐм x1 x2 – корни U(x)=E. 3. Одномерное движение, анализ на фазовой плоскости. Особые точки фазовой плоскости седло и центр. Сепаратриса. Если задача не сводиться к квадратурам (ур-ние Лагранжа не решается) то еѐ можно решить используя геометрию. Ведѐм фазовую плоскость. Вся она покрыта фазовими траекториями, которые не могут пересекаться. Сепаратриса-особлива фазова траєкторія, розділяючи всякі типи рухів. Вона може починатися або закінчуватися в особливій точці, або іти в нескінченність. |