4. Малые колебания при наличии трения. Слабое и сильное трение. Особые точки фазовой плоскости фокус и узел. Рассмотрим одномерное движение частицы массой m под действием упругой силы f=- kx (k>0) и силы трения
v
f
T
. Уравнение движения в этом случае имеет вид
0
kx
x
x
m
. Поделим на m:
0
m
kx
m
x
x
. Введем обозначения
2 0
,
2
m
k
m
, получим
0 2
2 0
x
x
. Характеристическое уравнение
2 0
2 2
0 2
0 2
. Решение уравнения движения
t
t
e
C
e
C
x
2 1
. Рассмотрим случай слабого трения
2 0
2
. Тогда
2 и
cos
cos
0 0
0
e
a
t
ae
x
t
,
sin
sin
0 0
0 0
0
e
a
t
e
a
x
t
, где
0 0
t
. Уравнения, записанные при помощи
a
, являются параметрическими уравнениями логарифмической спирали на фазовой плоскости. Фокус спирали называется особой точкой фазовой плоскости типа фокус. При
>0 (положительное трение) он является устойчивым, при
<0 (отрицательное трение) он является неустойчивым.
Теперь рассмотрим сильное трение
2 Введем обозначение
2 1
,
, тогда
1
и
2
– действительные числа.
Решение уравнения движения принимает вид tteCeCx2 1 2 1 , причем 1 2 tteCeCx2 1 2 2 1 1 . Найдем уравнения фазовых траекторий для случая положительного трения ( 0 , 0 2 1 ). Если C 2 =0, то xx1 - прямая на фазовой плоскости. Если 0 2 C, то при 0 , 0 xxt , а фазовая траектория приближается к прямой xx2 ; при фазовая траектория приближается к прямой xx1 , получаем особую точку типа устойчивый узел. Для случая отрицательного трения 0 , 0 2 1 , получается неустойчивый узел. Если 1 и 2 разных знаков, то фазовая траектория имеет вид седла. Ниже приведены фазовые портреты, ПОВЕРНУТЫЕ ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ НА 90 5. Отрицательное трение. Устойчивый и неустойчивый фокус. Преамбула, которую надо ( ну ладно, желательно знать, но можно не писать :) Колебательные системи и их свойства. Колебательные системы разделяют на классы. Такие как линейные и нелинейные, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные (по энергетическому признаку, автономные и неавтономные. Особый класс представляют автоколебательные системы. Колебательная система называется линейной или нелинейной в зависимости оттого, линейна или нелинейна описывающая ее система дифференциальных уравнений. Линейные системы являются частным случаем нелинейных. Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют Гамильтоновыми. Для консервативных систем с n степенями свободы определяется гамильтониан системы H(p, q), где qi - обобщенные координаты, pi - обобщенные импульсы системы, i = 1, 2, _, n. Гамильтониан полностью характеризует динамическую природу системы и с физической точки зрения в большинстве случаев представляет собой ее полную энергию. Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии называются неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за трения или рассеяния, называются диссипативными. В соответствии с этим системы, энергия которых во времени нарастает, называются системами с отрицательным трением или отрицательной диссипацией. Такие системы можно рассматривать как диссипативные при смене направления отсчета времени на противоположное. Динамические системы называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени. Уравнения автономных систем явной зависимости от времени не содержат. Большинство реальных колебательных систем в физике, радиофизике, биологии, химии неконсервативны. Среди них выделяется особый класс автоколебательных систем, которые принципиально неконсервативны и нелинейны. Автоколебательной называют динамическую систему, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы ив определенных пределах не зависят от выбора исходного начального состояния.-----------------------------------------------------------------Конец
Преамбулы----------------------------------------------------------------------Ну а теперь посмотрим на всѐ это попроще. Расмотрим колебания при одной степени свободы. Колебания возникают при движении вокруг минимума 1
q
U
)
U(q
U(q)
3 2
2 2
q
0 Где q
0
- минимум нашей
фунции (U=f(q)), и x=q-q 0 ). Так как q 0 - минимум нашей фунции, значит второе слогаемое равняется нулю (так как первая производная ноль).Когда мы рассматриваем малие колебания, мы можем отбросить все слогаемые кроме первого и третьего. Они несущественных очень мало) в сравнении с растоянием до ближайшего екстремуму. отбрасываем. => 2 2 1 kxU 0 2 2 qqUk2 2 2 Уравнение движения : 0 kxxm 0 2 0 xwx mkw 0 ) Re( ) cos( 0 0 0 tiwAetwax , где 0 iaeA - комплексная амплитуда. Это уравнение малых колебаний без трения. Трение не есть механическим явлением, Механика не может описатьтрение ибо, при заменена) слогаемое силы трения изменяет знак. Поэтому никакие функции Лагранжа не вщитывают силу трения. Поэтому нам нужен другой метод анализа, метод фазовой плоскости, именно там для описания разной хуйни нами понадобится отрицательное трение. Отрицательное трение, это чисто математическая поторота, которую придумали для описания некоторых выебонов (например автогенераторы, и т.д, и т.п.). Мы знаем что простое трение - xF тр , логично, что отрицательное трение имеет вид xF тр- это когда жидкость или газ в котором движется тело, не находится в состоянии равновесия, тогда энергия макроскопического тела не снижается, а увеличивается. Отрицательное трение может быть, когда мы подводим к системе некоторую энергию. В случае трения 0 kxxxm , 0 2 2 Получаем, где 2 0 2 w ; 1) 2 2 0 0 0 ), cos( wwwtaexwt (Периодический процес); 2) teCeCxwt2 2 2 Апериодический процес). При отрицательном трении в 2) мы будем иметь, что колебания будут (при линейном приближении) рости до безконечности. Устойчивый и неустойчивый фокус Фазовыя плоскость- это плоскость в координатах, приведѐнной координаты и скорости (импульсу. Точка на фазовой плоскости называеться возбуждѐнной точкой.Со временем она движется, получаем фазовую траекторию. Касательная к ней фазовая скорость. Точка в которой фазовая скорость не определена называется особенной точкой фазовой плоскости. Главный постулаты фазовой плоскости 1) Фазовые траектории не пересекаются 2) Вся плоскость должна быть покрыта фазовыми траекториями. Запишем уравнения движения в виде vxmvxFv ) , ( . Если правые части =0, то имеем особенные точки (V=0, F=0). Поэтому все особенные точки лежат на на осях x=0, v=0, и совпадают с экстремумом потенциала (рис. 1). Дальше, научимся строить фазовые траектории если трение отсутствует, тогда ) ( 2 uUEmx , для определѐнных значений Е построим кривые. Для точек рядом с min потенциала 0 : Exkxm 2 2 2 2 -елипс, (рис 2). Такая особенная точка наз точкой типу центр. Если присутствует трение, но маленькое 0 w : ) cos( 0 wtaext => )) sin( ) cos( ( 0 0 wtwewteaxtt . Если ( 0 w ) - получим логарифмическую спираль (рис. 2). Тоесть если окрутить особенную точку сплошной кривой, то все фазовые траектории будут заходить всередину. Это – особенная точка типа фокус. Существует стойкий 0 , (рис. 3) и нестойкий рис. 4) фокус (отрицательное трение. Пример, генератор Ван-дер-поля
7. Обобщенные координаты. Принцип наименьшего действия и уравнение Лагранжа. Общий вид функции Лагранжа. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом еѐ степеней свободы. Эти величины необязательно должны быть декартовыми координатами точек, ив зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких либо других координат. Любые s величин q1,q2,q3,….,qs вполне характеризующие положение системы называют еѐ обобщѐнными координатами, а их производные повремени обобщѐнными скоростями. Одновременное задание всех координат и скоростей полностью определяет состояние системы и позволяет определить еѐ поведение в последующие моменты времени. Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями называются ур-ми движения. Принцип наименьшего действия (Гамильтона Каждая механическая система характеризуется определѐнной ф-ией L(q1,q2,…,qs,q’1,q’2,q’3,…,q’s,t), движение системы удовлетворяет условию в моменты времени т и т система занимает определѐнные положения с координатами q(1) и q(2) Тогда между этими положениями система движеться таким образом чтобы интеграл
2 1
)
,
'
,
(
t
t
dt
t
q
q
L
S
Имел наименьшее возможное значение. Ф-ция L называется ф-й Лагранжа, а интеграл – действием. Нахождение решения условия минимума интеграла q=q(t)– искомая ф-я при которой S
– минимально. Значит S возрастѐт при заменена вариация поскольку фиксируются начальные и конечные условия kq(t1)=kq(t2)=0. Имеем – разность S.
2 1
2 1
)
,'
,
(
)
,'
'
,
(
t
t
t
t
dt
t
q
q
L
dt
t
kq
q
kq
q
L
Разложение этой разности по степеням kq u kq’ (в подинтегральном выражении) начинается с членов первого порядка. Необходимым условием минимальности S является обращение в нуль совокупности этих членов еѐ называют первой вариацией интеграла. Таким образом принцип наименьшего действия можно записать в виде :
2 1
2 1
)
'
'*
/
*
/
(
0
)
,
'
,
(
t
t
t
t
kq
q
L
kq
q
L
dt
t
q
q
L
k
kS
замечая что kq’=d/dt*kq проинтегрируем второй член по частям получим учитывая нулевые условия для kq(t1) kq(t2) получаем d/dt
L/
q’=
L/
q. L=T-U – общий вид ф-ции Лагранжа.
8. Законы сохранения как следствие инвариантности функции Лагранжа относительно некоторых преобразований. Циклические координаты. При движении механической системы 2s величин qi и определяющих ее состояние, изменяются со временем. Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с s степенями свободы равно 2s — 1. Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2s произвольных постоянных. Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитивной постоянной о во времени. Исключив 14- to из 2s функций мы выразим 2s — 1 произвольных постоянных Ci в виде функций от q и q, которые и будут интегралами движения. Начнем с закона сохранения, возникающего в связи с однородностью времени. В силу этой однородности лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа повремени может быть записана следующим образом dL/dt =
L/
qi*q’I+
L/
q’I*q’’ если бы L зависела явно от времени, к правой стороне равенства добавился бы член -
L/
t) Заменяя производные согласно уравнениям Лагранжа получим Отсюда видно, что величина под дифференциалом – Е – энергия сохраняется. Аддитивность энергии непосредственно следует из аддитивности функции- Лагранжа, через которую она выражается линейным образом. Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем, находящихся в постоянном (те. независящем от времени) внешнем поле- единственное использованное в приведенном выводе свойство функции Лагранжа—
отсутствие явной зависимости от времени—имеется ив этом случае. Механические системы, энергия которых сохраняется, иногда называет консервативными. Лагранжева функция замкнутой системы имеет вид
L=T(q,q’)-U(q) де Т -—. квадратичная функция скоростей. Применяя к ней известную. теорему Эйлера об однородная функциях, получим откуда E=T+U.
Другой закон сохранения возникает в связи'с однородностью пространства. В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок s и потребуем. чтобы функция Лагранжа осталась неизменной. Параллельный перенос означает преобразование, при котором все точки системы сместятся на один н тот же постоянный вектор s, те. Их радиус-векторы r = r +s Изменение функции L в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц есть
L=s
L/
r где суммирование производится по. всем материальным точкам системы. В силу уравнений Лагранжа (5,2) получаем отсюда Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутон механической системе векторная величина Р остается неизменной при движении. Вектор Р называется импульсом системы. Дифференцируя функцию Лагранжа найдем, что импульс следующим образом выражается через скорости точек АДДИТИВНОСТЬ Импульса очевидна. Закон сохранения всех трех компонент вектора импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля. Перейдѐм к выводу закона сохранения, связанного с изотропией пространства. Механические свойства системы не зависят от произвольного поворота.
Введѐм вектор
безконечно малого поворота, величина котрого равна углу поворота, а направление совпадает с осью поворота. Приращение радиус-вектора: l
rl=r sina
r=[
r]
v=[
v] подставляем в условие неизменяемости ф-ции Лагранжа
0
)
(
v
v
L
r
r
L
L
заменяем производные
0
])
*
[
]
*
[
(
v
p
r
p
произведя циклическую перестановку множителей и вынося
получим
0
]
*
[
])
*
[
]
*
([
p
r
dt
d
p
v
p
r
ввиду произвольности момент импульса (то шо под диференциалом) сохраняется
|
Скачать 1.11 Mb.