Теоретична механіка. Відповіді до екзамену. Задача двух тел. Приведенная масса. Эффективная потенциальная энергия
 Скачать 1.11 Mb.
|
|
9. Механическое подобие. Умножение функцию Лагранжа па любой постоянный множитель очевидным образом не меняет уравнений движения. Это обстоятельство даѐт возможность в ряде важных случаев сделать некоторые существенные заключения о свойствах движения, не производя конкретного интегрирования уравнений движения. Сюда относятся случаи, когда потенциальная энергия является однородной функцией координат, те- функцией, удовлетворяющей условию U(ar1,ar2,…,arn)=a k U(r1,r2,…,rn) где a — любая постоянная, а число k — степень однородности. Произведем преобразование, при котором наряду с изменением всex координат враз одновременно изменяется (враз) время Все скорости v изменяются при этом враз а кинетическая энергия—в (a/b) 2 раз. Потенциальная же энергия умножается на а Если связать аи условием (a/b) 2 =a k тов результате такого преобразования функция Лагранжа целиком умножится на постоянный множитель a k , те. уравнения движения останутся неизменными. Изменение всех координат частиц в одинаковое число раз означает переход от одних траэкторий к другим, геометрически подобным первыми отличающимся от них лишь своими линейными размерами. Таким образом, мы приходим к заключению, что если потенциальная энергия системы является однородной функцией й степени от координат то уравнения движения допускают геометрически подобные траектории, причем все времена движения относятся, как t’/t=(l’/l) 1-k/2 где отношение линейных размеров двух траекторий. Вместе с временами определѐнными степенями отношения l'/l являются также значения любых механических величин в соответственных точках траекторий в соответственные моменты времени. 10. Теорема вириала. Поскольку Т, то по теореме Эйлера об однородных ф-ях: T v v T a a a 2 (1). Средние значениеопределяется по формуле: 0 ) ( 1 dt t U U из (1): a a a a a a a a a p r p r p r T ' ' ' 2 1 ) ( 2 1 2 1 a a a a a a p r r p T 2 1 2 Первый член при финитном движении = 0, а во втором учтем : a a r U p ' (за вторым законом Ньютона. Получаем : a a a r U r T 2 . Если U есть однородной фей k- ой степени от всех радиус-векторов : U k T 2 . Учтем, что E U T : E k k T 2 ; E k U 2 2 Что такое k и откуда оно берется смотрим в билет №9. 11. Задача двух тел. Приведенная масса. Эффективная потенциальная энергия. В общем случае система двух тел имеет S=6 степеней свободы и 7 интегралов движения (из которых 6 независимых) (Или 6, 12 и 11 соответственно - прим. редакции) Запишем уравнение Лагранжа для двух взаимодействующих тел ) 1 ( ), ( 2 )' ( 2 )' ( 2 1 2 2 2 2 1 1 r r U r m r m L . Введем вектор взаимного расстояния : r = r1 – r2. И поместим начало координат в центре инерции, что дает m1r1+m2r2=0. Из двух последних равенств находим r m m m r 2 1 2 1 r m m m r 2 1 1 2 . Подставляя эти выражения в (1), получим : 2 1 2 где, m – приведенная масса. Эффективная потенциальная энергия (пример введения приведен в билете №12). В общем случае U(эфф.) есть оптимизация потенциальной энергии составного движения к общему простому одномерному движению. Билет №11 в лекциях тесно связан с билетом №12 и билетом №13. 12. Движение в центрально-симметрическом поле. Общие закономерности. Замыкание траектории. Падение на центр. Ц-С поле- поле в котором потенц. энергия частицы зависит только от расстояния r. Сила F=-grad(U(r)). Сохраняется M=[r*p] – момент импульса – посему r постоянно лежит водной плоскости (соответственно и вся траектория. Введем полярные координаты ) ( ) ) ' ( ) ' (( 2 2 2 2 r U r r m L Поскольку ф- ия не содержит (циклическая координата, в силу ур-ия Лагр. получаем : 0 ' i i q L q L dt d . Соответствующий импульс Pi – есть интеграл движения. В данном случае обобщенный импульс совпадает с моментом const mr p M z ' 2 2 ' mr M . Полное решение получим из законов сохранения энергии и момента ) ( 2 2 ) ' ( ) ( ) ) ' ( ) ' (( 2 2 2 2 2 2 2 r U mr M r m r U r r m E (1) Отсюда : 2 2 ) ( )] ( [ 2 / ' mr M r U E m dt dr r (*) ) ( )] ( [ 2 2 2 const mr M r U E m dr t (**) )] ( [ 2 2 2 2 2 const r M r U E m dr r M mr Mdt d Ф-лы (*) и (**) решают в общем виде поставленную задачу. Из (1) : видно, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с эффективной энергией : 2 Значения r при которых U(эфф)=E определяют границы обл. движения. Если обл. движения ограничена лишь условием r > = r(min) – движение инфинитно, а если r(min)<=r<=r(max), то движение финитно и целиком лежит внутри кольца , ограниченного окружностями r1=r(min) r2=r(max). За время, когда r изменится от r(min) до r(max), радиус-вектор повернется на угол : max min 2 2 2 ) ( 2 2 r r r M U E m dr r M . Условие замкнутости траектории есть рациональная часть от 2 . Падение частицы на центр возможно лишь, если потенциальная энергия достаточно быстро стремиться к - при r0. Из ур-ия (1): 0 2 ) ( 2 ) ' ( 2 2 2 mr M r U E r m 2 2 2 2 ) ( Er m M r U r m M r U r r 2 ) ( 2 0 2 . Те. U(r) должно стремиться к - либо как – a/r*r, где a>M*M/2m, либо пропорционально –1/r^n, n>2. 13. Задача Кеплера. Законы Кеплера Насколько я понял задача Кеплера это задача двух тел при движении в центральном поле. Поле наз. центральным если потенциальная енергия частички в этом поле зависит только от расстояния r до определенной неподвижной точки. Запишем ф-ию Лагранжа ) ( ) 2 2 2 ( 2 m L r U r r Эта ф-ия не сожержит в явном виде координату . (Такую координату наз. циклической. Для такой коор. Из уравнения Лагранжа следует что const M mr L 2 Тобиж момент М сохраняется. Для плоского движения в центральном поле мона сделать такую геом. интерпретацию. Выражение d r r 2 представляет собой площадь сектора образованого двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом траектории.Обознаичм ее как df, тада : mf M 2 где производную наз. секториальной скоростью. Тобиж сохранение момента озн. постоянство секс. скорости за равные промежутки времени радиус вектор описывает равные площади - II закон Кеплера. Выразим через M и подставим в выражение для полной энергии 2 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 ) ( ) 2 2 2 ( 2 m r m M r U E m dt dr r r U mr M r m r U r r E интегрурия имеем const r m M r U E m dr t 2 Из того что момент сохрн. имеем dt mr M d 2 - подставим сюда dt и интегрируя имеем 2 )] ( [ 2 2 (1) Из выражения для полной энергии имеем, что радиальную часть движения мона рассматривать как одномерное в поле с эффективной пот. энерг. 2 2 / 2 ) ( mr M r U эфф U ту бядягу что 3 по счету слева наз. центробежной энерг. Значения r при которых E эфф U опред. границы обл. движения . Рассморим поле притяжения где 2 2 / 2 mr M r эфф U r U - график похож на гр. пот. енергии грав. взаимод. двух точ тел. али зарядов (это писать не надо надо нарисовать ибо мне впадло ) Подставим эту эенрг. в (1). Имеем 2 / 2 Выберем const=0 и получим 1 cos e r p (2) где 1 2 2 2 1 , 2 m EM e m M p | | и e – понятное дело, эксцентриситет. И када e<1 траектория будет – элипс.с такими параметрами 2 2 2 b c a c e | | 2 2 1 2 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( E e p p c p mE M c a b 2 2 2 Тобиж, в гравитационном поле ( r U ) траекторией движения планеты будет елипс – I закон Кеплера 14. Колебания со многими степенями свободы, нормальные координаты. Движение которое совершает система вблизи своего положения устойчивого равновесия наз. малыми колебаниями. Тобиж при малых отклонениях от пол. равновесия появляется сила которая возвращает систему обратно. Пусть имеет мин. при Пусть Разложим U по сепеням до членов го пор. Получим пот. энергию в виде квадр. формы k x i x k i ik k U , 2 отсчет эн. от минимума. 0 ) ( io q U коеф. поскольку входят симетрично. Кин. эн. в общем виде k q i q q k i ik a ) ( , 2 положим ik m o q ik a io q i q ) ( & Тада k x i x k i ik m T , 2 причем тоже симетр. Тобиж имеем ф- ию Лагранжа ) , ( 2 1 k x i x ik k k x i x k i ik m U T L Тада: k k ik k i k ik i k i i k ik i k ik k i i k ik k i ik i k ik k i ik x k x L x m x L dx x k x d x m dL dx x k dx x k x d x m x d x m dL __ __& 2 1 , , Тобиж имеем ур. Лагранжа В общем виде эти ур-ния решаются в виде Подставляем, получаем 0 Для того шоб эта система имела решение необх. шоб 0 2 ik m ik k - хар.ур-ние. Оно имеет s корней причем R a - собственные частоты системы. Када найдем подставим в ур-ние и найдем k A ; если все корни различны то k A пропорц. минорам хар.ур-ния. Обозначим их как k a .Тада частное реш. ур. Лагранжа : const a C t i e a C ka k x a ; Тада общее реш. будет где Из последнего мона сделать вывод, шо движение системы представляет собой наложение s простых период. Колебаний s 2 ; 1 с произвольными амплитудами и фазами нос определеными частотами. Тада считать новыми обобщенными коорд. Причем каждая коорд. При этом будет совершать простые колебания. Такие координаты наз. нормальными а простые колебания совершаемые ними – нормальными кол. системы. В нормальных координатах ур-ния движения расспадаются на s независимых ур-ний. Оч., что ф-ия Лагранжа в нормальных коорд. Расспадается на сумму выражений, каждое з которых соответствует ономерному колебанию с одной из частот те. имеет вид С мат. точки зрения это означает, квадратичные формы пот. и кин. эн приводяться к диагональному виду. 15. Вынужденные гармонические колебания без трения. Резонанс. Биения. Если на систему которая совершает колебательное движение действует некоторое переменное внешнее поле то такие колебания наз. вынужденными.Причем внешнее поле достаточно слабое шоб не вызвать большх смещений. В этом случаев системе появляется доп. пот. эн. Разложим его вряд по степеням малой величины x имеем Первый член – ф-ия токо от времени (тобиж опускаем ее) x e U - внешняя сила обозн. ее как F(t). Тада: ) ( 2 2 2 2 t xF kx x m L Ур-ние движения ) ( 1 где - частота своб. кол. Рассморим случай када вынуждающая сила есть простой периодической ф-ией времени с нек. частотой : ) cos( ) ( t f t F Тада частный интеграл ур-ния движения ищем в виде Подставляя в ур-ние имеем ) 2 прибавляя сюда решение однородного ур-ния имеем ) cos( ) 2 Таким образом, под дейтсвием пер. вынужд. силы система совершает движение представляющее собой наложение двух колебаний с собственной частотой и с частотой вынуждающей силы . В случае резонанса (тобиж када = ) раскроем неопрелеленность правилом Лопиталя получим ) sin( 2 ) cos( t t m f t a x Тобиж ситема при резонансе будет совершать колебания с амплитудой линейно возрастающей со временем. Пусть 0 __ тада общее решение Пусть | | t i Be A C - амплитуда. Тада представим A ив виде получим ) cos( 2 2 2 Таким образом амплитуда колеблется с частотой между : b a C b a | | Это явление наз. биением. 16. Гармонические колебания с трением и внешней силой. Резонанс. Прибавив к уравнению свободных колебаний внешнюю силу f cos γt и разделив на m, получим уравнение движения в виде x''+2λx'+ω 0 x=(f/m)cosγt (решение удобно искать в комплексной форме, для чего правую часть заменим на (е iγt . Частный интеграл ищем в виде х=Ве iγt и находим для В В 2 -γ 2 +2iλγ) (2). Представим В в виде be iδ , имеем для b и δ: b=f/(m√(( ω 0 2 -γ 2 ) 2 +4λ 2 γ 2 )), tg δ=2λγ/(γ 2 -ω 0 2 ) (3). Для случая ω 0 >γ получим окончательно x=αe -λt cos(ωt+α)+bcos(γt+δ) (4). Через большой промежуток времени останется х) (5). Выражение (для амплитуды b вынуждено колебаться хотя и возрастает при приближении частоты γ к ω 0 , ноне обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствии трения. При заданной амплитуде силы f амплитуда колебания максимальна при частоте γ=√(ω 0 2 -2λ 2 ); при λ<<ω 0 это значение отличается от ω 0 лишь на величину второго порядка малости. Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим γ=ω 0 +ε, где малая величина будем также считать, что λ<<ω 0 . Тогда в (можно приближѐнно заменить ω 0 2 -γ 2 =(ω 0 +γ)(ω 0 - γ)≈2ω 0 , 2iλγ≈2iλω 0 , так что B=-f/(2m(ε+λ)ω 0 ) (6), или b=f/(2mω 0 √(ε 2 +λ 2 )), tg δ=λ/ε (7). Обозначим посредствам I(γ) кол-во энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно формуле dE/dt=-2F имеем I(γ)=2F, где среднее ( по периоду колебаний) значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение диссипативной функции сводится к Подставив сюда (5), получим F=λmb 2 γ 2 sin 2 (γt+δ). Среднее повремени значени квадрата синуса равно ½, поэтому I(γ)=λmb 2 γ 2 (8). Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебаний из (7), имеем I(ε)=(f 2 /4m)(λ/(ε 2 +λ 2 )) (9). Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой называют значение │ε│, при котором величина I(ε) уменьшается вдвое по сравнению се максимальным значением при ε=0. Из формулы (9) видно, что в данном случае эта полуширина совпадает с показателем затухания λ. Высота же максимума I(0)=f 2 /4mλ обратно пропорциональна λ. Таким образом, приуменьшении показателя затухания резонансная кривая становится уже (от слова узкий) и выше. Площадь же под резонансной кривой остаѐтся при этом неизменной. Последняя даѐтся интегралом. Поскольку I(ε) быстро убывает при увеличении │ε│, так, что область больших │ε│ всѐ равно несущественна, можно при интегрировании писать I(ε) в виде (9), а нижний предел заменить на –∞. Тогда 4 ) ( 2 2 2 2 |