Теоретична механіка. Відповіді до екзамену. Задача двух тел. Приведенная масса. Эффективная потенциальная энергия
 Скачать 1.11 Mb.
|
|
22. Свободное движение симметрического и шарового волчков. Что можно сказать о движении асимметрического волчка Кинетическая энергия, выраженная через тензор i ik I V T 2 1 2 где тензор инерции ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 y x m mzy mzx myz z x m myx mxz mxy z y m I ik Приводя тензор инерции к диагональному виде путѐм выбора новых осей x1, x2, x3, тогда I1,I2,I3 главные моменты инерции. За определением I1=I2=I3 Шаровой волчок, в этом случае можно выбирать любые главные оси инерции. I1=I2 I3 симметричный волчок, в этом случаев плоскости x1,x2 можно выбирать любые главные моменты инерции. I1 I2 I3- Асимметричный волчок. Для асимметричного волчка можно записать интегралы уравнения Эйлера. E I M I M I M 2 2 * 2 * 2 * 3 3 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 1 M M M M Эти уравнения представляют собой геометрический эллипсоид, и выполняется неравенство 2EI 1 <2EI 3 . Вращение вокруг осей x1 x3 устойчиво, а вокруг оси x2 нет. При M 2 =2EI 3 тогда 0 2 1 const 3 те. вектор омега постоянно вращается вдоль ось инерции x3. Аналогично при M 2 =2EI 1 – равномерное вращение вокруг оси x1. Функция Лагранжа для одной частицы в инерц. системе отсчета. U mv L ) 2 ( 2 0 0 Рассмотрим систему k‘ которая движется относительно системы k 0 со скоростью V(t). V 0 – скорость в системе k 0 , а v’ – в системе k’. Эти скорости связанны между собой соотношением ) ( ' 0 t V V V и U V m V mv mv L 2 2 ) 2 ( ' 2 ' ' Заменяя v’=dr’/dt, где dr- радиус-вектор в системе k’ тогда ) ( ' ) ' ( ) ' ( ' ) ( dt dV mr mVr dt d dt dr mV v t mV Заменяя W(t)=dV/dt. Тогда фун- ю Лагранжа Вводя новую систему К которая имеет общее с системой К начало и вращается с угловой скоростью омега. Скорость v’ складывается со скорости v относительно системы К и со скорости вращения омега вместе с системой К, тогда U mWr r m r mv mv L r v v 2 ] [ ] [ 2 ] [ ' 2 2 Это общий вид функции Лагранжа частици в произвольной неинерциальной системе отсчѐта. Рассмотрим особый случай, когда омега и W=0 то U r m r MV MV L 2 ] [ ] [ ) 2 ( 2 2 2 ] [ 2 r m - дополнительная потенциальная энергия (центробежная. 24. Рассеяние. Сечение рассеяния. Решим сначала задачу об отклонении частицы массой m в поле U(r) неподвижного силового центра расположенного в центре инерции частиц. Траектория частицы в центральном поле симметрична по отношению к прямой проведенной в ближайшую к центру точку орбиты ОА. Поэтому обе асимптоты пересекают эту прямую под одинаковыми углами нии мимо центра есть, как видно из рисунка, 2 π χ . Угол определяется интегралом m in 2 2 2 2 r r M r U E m dr r M (1) где r min корень подрадикального выражения. Введем величины прицельное расстояние на котором бы прошла частица мимо центра, если бы силовое поле отсутствовало, v - скорость частицы на бесконечности, тогда E=(m v 2 )/2, M=m v и in 2 2 2 2 2 1 r mv U r r dr (2) , определяющая зависимость от Рассеяние пучка. число частиц пучка рассеиваемых за единицу времени на углы лежащие в интервале и +d , число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка (пучок однороден, =dN/n эффективное сечение рассеяния, которое полностью определяется видом рассеивающего поля. В заданный интервал углов будут рассеиваться частицы, летящие с прицельного расстояния между ( ) и ( )+d ( ). Число таких частиц dN=2 d n, тогда d =2 d . Зависимость эффективного сечения от угла рассеивания d d d d 2 (3) или через телесный угол d d d d sin , где d d sin 2 . Формула (3) определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеивания в системе центра инерции. Для нахождения эффективного сечения в зависимости от угла рассеивания в лабораторной системе надо выразить через . Угол рассеивания падающего пучка cos sin tg 2 1 2 1 m m m , угол рассеивания первоначально покоившихся частиц 2 =( - )/2 25. Формула Резерфорда. Сечение рассеяния см. ответ 24). Рассмотрим рассеяние частиц в поле U= /r (кулоновское. Подставим это в формулу (2) ответа 24 и производя ЭЛЕМЕНТАРНОЕ интегрирование, получим 2 2 2 откуда 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 ctg tg v m v m , где =( - )/2. Дифференцируя это выражение пои подставляя в (3) ответа 24, получим 2 s in 2 2 s in 2 c os 4 2 2 3 2 2 d mv d mv d - формула Резерфорда в системе покоящегося центра инерции сталкивающихся частиц. Преобразование к лабораторной системе производится с помощью двух последних формул ответа 24, там где 1 и 2 выражаются через . Получим 2 3 2 2 2 2 cos d mv d - сечение рассеяния покоящихся частиц. Для налетающих частиц имеем два случая и трѐх телок : 1) m 2 >m 1 2 sin 4 1 4 1 2 где 2 / 2 1 mv E - энергия падающей частицы. 2) m 1 =m 2 1 1 4 1 2 1 1 sin cos d E d . Если частицы тождественны, общее эффективное сечение d E d cos cos 1 sin 1 4 4 2 1 . Энергия, теряемая налетающей частицей m 1 при соударении равна 2 2 2 где m=m 1 m 2 /(m 1 +m 2 ) – приведенная масса. Тогда эффективное сечение как функция от потери энергии 2 2 2 где пробегает значения от 0 до 2 Полный дифференциал фи Лагранжа (ф-я координат и скоростей После простейших преобразований получаем Величина в скобках - полная энергия системы ф-я Гамильтона (через координаты и импульсы Из дифференциального равенства: , i i i i i i i i q H p p H q dp q dq p dH Это искомые ур-я движения в переменных p и Также можно написать Канонические преобразования это преобразования координат импульса, которые допускается в формализма Гамильтона К.п. допускают преоб. коорд.q i и p i без изменения ур-й Гамильтона. Новые координаты Q i =Q i (p i ,q,t) и P i =P i (p.q,t) Если задать такую ф-ю :F=F другюобозню (q i ,Q i ,t) то можно получить преобразования и Пусть ф-я из нее можно получить :P i =- q i ,Q i =p С другой стороны i i i i F P t q P F ) , , ( Значить можно написать Ф в виде: i i i t Q q F Q P ) , , ( преобраз. Лежандра. Полный диффер.: и А t H H Ф-я Ф может быть 27.Уравнения Гамильтона как следствие вариационного принципа. С помощью принципа Гамильтона можно найти вариационный принцип который приводит к тем же уравнениям : 2 Подставив ф-ю Лагранжа, выраженую через гамильтониан получим 2 1 0 ) , , ( ( t t ti i i dt t p q H q p I - модифицированный принцип Гамильтона или i t t q q i i Hdt q p 2 1 2 Запишем м.п.Гам. с помощью параметра где вариация интеграла 2 или можно записать 2 1 0 ) ( t t i i i i i i i i i dt p p H q q H q p q p d (*) ( 2 1 ,t t ).Можна заменить на ) ( i q dt d -> 2 1 2 1 2 1 2 Так как и i i i i p p d q q d , можна равенство (*) переписать в виде но так как вариации и p i являются независимыми, то этот интеграл может обращаться в 0 тогда, когда равны 0 коэффициенты при вариациях. Следовательно ебаные равенства: i i i i q H p p H q , совпадают с уравнениями Гамильтона 28. Уравнения Рауса Преобразование, с помощью которого из уравнений Лагранжа получены уравнения Гамильтона, Называется преобразованием Лежандра (это преобразование широко используется в Теор. Физике)Используя преобразование Лежандра, получим уравнения Рауса, те. уравнения движения которые относительно одной части переменных имеют вид уравнений Лагранжа, а относительно другой части переменных – вид уравнения Гамильтона. Действительно возьмем переменные ) ; ,..., ( , ), ..., , ( , , s m s m a p q m i q q t a a i i 1 2 1 и введем функцию этих переменных -- функцию Раусса t p q q q q q q p R m a a s m a a a , , , , 1 Рассматривая Дифференциалы этой функции приходим к уравнениям Раусса ) ..., , ( ; m i Q q R q R dt d d i i i 2 если все координаты являются циклическими координатами, а все 0 d Q То функция Раусса будет иметь вид , ,..., ; ,..., ; ,..., , , 0 0 1 Поскольку справедливы соотношения а импульсы a p постоянны s m a ,..., 1 Таким образом в этом случае задача сводится к решению задачи Лагранжа относительно координат ; ,..., m q q 1 P.S. : Выражение для энергии через функцию Раусса имеет вид j j j j j j q R q R E L q L q q p L q L q q L q E ; 29. Канонические преобразования. Каноническими преобразованиями называются такие преобразования канонических переменных, которые не изменяют общей формы уравнений s i p H p p H q i i i i ,..., , , 2 для любой гамильтоновой системы . Эти преобразования дают возможность свести задачу сданным гамильтонианом к задаче о системе с более простым гамильтонианом, в связи с чем метод канонических преобразований имеет большое значение. Итак преобразование : s j t p p q q P P t p p q q Q Q s s i j s s i j 1 ), , ,..., , ,...., ( ), , ,..., , ,...., ( 1 1 1 1 0 1 1 называется каноническим, если оно преобразует ур-ние Гамильтона с любой функцией H: s i p H p p H q i i i i ,..., , , 2 также в каноническое уравнение с другой вообще говоря функцией Гамильтона s i P HH P P HH Q i i i i ,..., , , 2 Где новая функция Гамильтона HH не совпадает вообще говоря со старой По принципу наименьшего действия получаем или отсюда видно, что i i q F p , i i Q F P , t F H H ' , при этом F=F(q, Q, t). Эти формулы связывают старые и новые переменные и дают выражение для новой гамильтоновой функции. 30. Скобки Пуассона Движение механической системы связано с обобщенным потенциалом U и голономными идеальными связями в отсутствие диссипативных сил подчиняется уравнениям Гамильтона s i p H p p H q i i i i ,..., , , 2 Найдем необходимое и достаточное условие того, чтобы некоторая функция f(q,p,t) сохраняла постоянное значение стечением времени f(q,p,t)=const (2) то есть представляла собой первый интеграл уравнений (1) Пусть (2) Имеет место ; тогда полная производная повремени от функции f равна 0, те. 0 Используя уравнения (1) Получим интересующее нас необходимое условие в виде 0 H f t f , (3) где Обратные рассуждения убеждают в достаточности условия (3) Это условие записано с помощью дифференциального выражения обозначенного символом [f,H]. Вообще для двух функций канонических переменных можно составить выражение s j j j ji j q f p f p f q f f f 1 2 1 2 1 которое называется СКОБКАМИ ПУАССОНА. Оно обладает свойствами антисимметрии, так как 1 2 2 1 1 и рядом других столь же очевидных свойств, вытекающих из определения (4) 2 3 1 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 Также есть охуенное доказательство тождества Пуассона 0 2 1 3 1 3 2 3 2 С помощью этого тождества нетрудно доказать теорему Пуассона в которой утверждается : если функция и являются первыми интегралами канонических уравнений то и 2 1 f f также будет первым интегралом этих уравнений, те. 2 1 f f С Действительно из условий теоремы в силу (3) имеем 0 0 2 2 1 Составляя далее тождество Пуассона для функций 2 1 f f и H и исключая из него с помощью уравнения сверху над этим скобки H f H f , ; , 2 получим тождество 0 2 1 1 2 Которое сводится к условию для функции 2 1 f f , : 0 2 1 2 1 H f f t f f , , , что и доказывает теорему. P.S.: Если одна из функций f или g совпадает с одним из импульсов или координат то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной. |