Теоретична механіка. Відповіді до екзамену. Задача двух тел. Приведенная масса. Эффективная потенциальная энергия
 Скачать 1.11 Mb.
|
|
31. Теорема Лиувилля. Для геометрической интерпретации механических явлений часто пользуются понятием о так называемом фазовом пространстве как о пространстве 2s измерений, на координатных осях которого откладываются значения s обобщенных координат и s импульсов данной механической системы. Каждая точка этого пространства отвечает определенному состоянию системы. При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой траекторией. Произведение дифференциалов Г s dp 1 …dp s можно рассматривать как элемент объема фазового пространства. Рассмотрим теперь интеграл d Г , взятый по некоторой области фазового пространства и изображающий собой ее объем. Покажем, что эта величина обладает свойством инвариантности по отношению к каноническим преобразованиям:если произвести каноническое преобразование от переменных р, q к переменным Р, Q, то объемы соответствующих друг другу областей пространств р, q и Р, Q одинаковы s s s s dP dP dQ dQ dp dp dq dq 1 1 1 1 (46,1). Преобразование переменных в кратном интеграле производится по формуле 1 1 где ) ,..., 1 , ,..., ( ) ,..., , ,..., 1 ( 1 1 s p p s q q s P P s Q Q D (46,2) это якобиан преобразования. Поэтому доказательство теоремы (46,1) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице. Воспользуемся свойством якобианов, которое позволяет обращаться сними в определенном смысле, как с дробями. Разделив числитель и знаменатель якобиана на (q 1 , ..., q s ,P 1 ,, ...,P s ), получим Согласно другому правилу якобиану которого в числителе и знаменателе фигурируют одинаковые величины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными. Поэтому const q s P P s p p const P s q q s Q Q D ) ,..., 1 ( ) ,..., 1 ( / ) ,..., 1 ( ) ,..., 1 ( (46.4) Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе этого выражения, Согласно определению это есть определитель ранга s, составленный из элементов дQ i /дq k (элемент на пересечении (й строки иго столбца. Представив каноническое преобразование с помощью производящей функции ФР в форме (45,8) – (p Ф i , Ф , Ф) получим Q i / q Ф k* P i ) Таким же образом найдем, что I, й элемент определителя в знаменателе выражения (46,4) равен Ф i * P k ) Это значит, что оба определителя отличаются только заменой строк на столбцы и обратно. Поэтому они равны друг другу, так что отношение (46,4) равно единице, что и требовалось доказать. Представим себе теперь, что каждая точка данного участка фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения рассматриваемой механической системы, Тем самым будет перемещаться и весь участок. При этом его объем остается неизменным const d Г Это утверждение - теорема Лиувилля, непосредственно следует из инвариантности фазового объема при канонических преобразованиях и из того, что самое изменение р и q при движении можно рассматривать как каноническое преобразование. Совершенно аналогичным образом можно доказать инвариантность интегралов i i dp i dq , k i k dp k dq i dp i dq , …, в которых интегрирование производится по заданным двух, четырѐх-, и т.д. мерным многообразиям в фазовом пространстве. 32. Движение как каноническое преобразование. Изменение величин p,q при самом движении можно рассматривать как канонические преобразования. Пусть q t , p t – значения канонических переменных в момент времени t, а q t+ , p t+ их значения в момент t+ . Последние являются некоторыми функциями от первых и от величины интервала как от параметра q t+ =q(q t ,p t ,t, ), p t+ =p(q t ,p t ,t, ). Если рассматривать эти формулы как преобразование от переменных q t ,p t к переменным q t+ , p t+ то это преобразование будет каноническим. Это очевидно из выражения для дифференциала действия S(q t+ ,q t ,t), взятого вдоль истинной траектории, проходящей через точки q t ив моменты времени t и t+ при заданном Сравнение этой формулы с показывает, что S и есть производящая функция преобразования. Уравнение Гамильтона – Якоби. Действие – S есть функция координат и времени – S(q,t). Частная производная повремени от этой функции S (q, t) связана с функцией Гамильтона соотношением S/ t+H(q,p,t)=0, а ее частные производные по координатам совпадают с импульсами. Заменив в соответствии с этим импульсы р в функции Гамильтона производными S/ q мы получим уравнение S/ t+H(q 1 ,…,q s ; S/ q 1 ,…, S/ q s ;t)=0 (47.1) которому должна удовлетворять функция S(q,t). Это уравнение в частных производных первого порядка оно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Наряду с уравнениями Лагранжа и каноническими уравнениями, уравнение Гамильтона - Якоби также является основой некоторого общего метода интегрирования уравнений движения. Переходя к изложению этого метода, напомним предварительно, что всякое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет решение, зависящее от произвольной функции такое решение называют общим интегралом уравнения. В механических применениях, однако, основную роль играет не общий интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, атак называемый полный интеграл так называется решение дифференциального уравнения в частных производных, содержащее столько независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных. В уравнении Гамильтона — Якоби независимыми переменными являются время и координаты. Поэтому для системы с s степенями свободы полный интеграл этого уравнения должен содержать s + 1 произвольных постоянных. При этом, поскольку функция S входит в уравнение только через свои производные, то одна из произвольных постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом, те, полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби имеет вид S=f(t,q 1 ,…,q s ; 1 ,…, s )+A (47.2) где 1 ,…, s и А – произвольные постоянные. Хотя общий интеграл уравнения Гамильтона—Якоби нам не понадобится, но укажем, что он может быть найден, если известен полный интеграл. Для этого будем считать величину А произвольной функцией остальных постоянных S= f(t,q 1 ,…,q s ; 1 ,…, s )+A( 1 ,…, s ) Заменив здесь величины i функциями координат и времени, которые находим из s условий S/ I =0 получим общий интеграл, зависящий от вида произвольной функции A( 1 ,…, s ). Действительно, для полученной таким способом функции S имеем Но величины ( S/ q i ) удовлетворяют уравнению Гамильтона — Якоби, поскольку функция S(t,q, ) есть по предположению полный интеграл этого уравнения. Поэтому удовлетворяют ему и производные S/ qi } Выясним теперь связь между полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби и интересующим нас решением уравнений движения. Для этого произведем каноническое преобразование от величин q, р к новым переменным, причем функцию f(t, q, ) выберем в качестве производящей функции, а величины 1 , 2 , s — в качестве новых импульсов. Новые координаты обозначим посредством 1 , 2 , s . Так как производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, мы должны пользоваться формулами p i = f/ q i , I = f/ I , H’=H+ f/ t. Но поскольку функция f удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби, то мы видим, что новая функция Гамильтона обращается тождественно в нуль H’=H+ f/ t=H+ s/ t=0. Поэтому канонические уравнения для новых переменных имеют вид ( I )’=0, ( I )’=0, откуда следует, что I =const, I =const. (47.3) С другой стороны s уравнений f/ I = I дают возможность выразить s координат q через время и 2s постоянных и . Тем самым мы найдем общий интеграл уравнений движения. Таким образом, решение задачи о движении механической системы методом Гамильтона — Якоби сводится к следующим операциям. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона — Якоби и находится полный интеграл (47,2) этого уравнения. Дифференцируя его по произвольным постоянными приравнивая новым постоянным , получаем систему s алгебраических уравнений S/ I = I (47.4) решая которую, найдем координаты q как функции времени и 2s произвольных постоянных. Зависимость импульсов от времени можно найти затем по уравнениям р i = S/ qi. Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, зависящий от меньшего чем s числа произвольных постоянных, то хотя сего помощью нельзя найти общий интеграл уравнений движения, но можно несколько упростить задачу его нахождения. Так, если известна функция S, содержащая одну произвольную постоянную , то соотношение S/ =const дает одно уравнение, связывающее q 1 ,…,q s и t. Уравнение Гамильтона—Якоби принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция Н не зависит от времени явно, те. система консервативна. Зависимость действия от времени сводится при этом к слагаемому Et: S=S 0 (q)-Et (47,5), и подстановкой в (47,1) мы получаем для укороченного действия So(q) уравнение Гамильтона—Якоби в виде H(q 1 ,…,q s ; S 0 / q 1 ,…, S 0 / q s )=E (47,6) 33. Амплитуда и фаза гармонического маятника как канонически сопряженные переменные. Каноническое преобразование, которое делает гармонический маятник механической системой c циклической координатой. Розглянемо задачу маємо гармонічний маятник, функція Гамільтона - H=p 2 /2m+kq 2 /2 Придумаємо таке канонічне рівняння, щоб була така залежність від координати cos ) ( * 2 p f m p , sin ) ( * 2 p f k q , Тоді H=f 2 (p) – якась функція імпульсу. Потрібно за допомогою канонічного претворення підібрати f таке, щоб при умові що {p,q} Q,P =1 (то что в фигурных скобках это скобки Пуассона, что это такое я без понятия ) 1 2 1 0 0 при тому перетворення канонічне: c os 0 на функцію Гамільтона, sin 0 на H=f 2 (p)=w 0 p. Тоді легко розв’язати рівняння Гамільтона P’= H/ Q=0 P=const (вообще не факт, что здесь большая бкува P поэтому лучше писать среднюю, Q'= H/ P=w 0 . Звідси виходить що p – фаза, а q – амплітуда. H=0, P=P(0), Q=Q(0). |