Теоретична механіка. Відповіді до екзамену. Задача двух тел. Приведенная масса. Эффективная потенциальная энергия
 Скачать 1.11 Mb.
|
|
17, Движение твѐрдого тела (ТТ). Угловая скорость. Кинетическая энергия ТТ. Для описания движ. т. т. введѐм две системы координат "Неподвижную" те. инерциальную систему XYZ, и движущуюся систему координат х 1 =х, х 2 =у, х, которая предполагается жестоко связанной ст. т. и участвующая во всех его движ. Начало движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела. Положение т. т. относительно неподвижной системы координат вполне определяется заданием положением движущийся системы Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемещение т. т. Представим это движение в виде сумы параллельного переноса и поворота тела вокруг центра инерции. Тогда смещение dŕ точки P складывается из перемещения dR вместе с центром инерции и перемещения [dφ·r] относительно последнего при повороте на бесконечно малый угол dφ: dŕ=dR+[dφ·r]. разделив это равенство на dt, в течении которого происходило рассматриваемое перемещение, и введя скорости dŕ/dt=v, dR/dt=V, dφ/dt=Ω, получим соотношение между ними v=V+Ω, где скорость поступательного движения угловая скорость вращения т. т. Допустим теперь, что жѐстко связанная ст. т. система координат выбрана так, что еѐ начало находиться не в точке О, а в некоторой точке Она расстоянии а от точки О. Скорость перемещения начала О' этой системы обозначим через V', а угловую скорость еѐ вращения – через Ω'. Рассмотрим снова какую-либо точку Рт. т. и обозначим еѐ радиус-вектор относительно начала О' через r'. Тогда r = r' + a и подстановка дат v=V+[Ωa]+[Ωr']. С другой стороны, по определению V' и должно быть v=V'+[Ω'r']. Поэтому мы заключаем, что V'=V+[Ωa], Ω'=Ω. Если так выбрать систему координат, что движение будет представлено чистым вращательным движением вокруг какой-то оси, то эта ось называется мгновенной осью вращения тела. Для вычисления кинетической энергии т. т. рассматриваем его как дискретную систему материальных точек и напишем Т, где суммирование производиться по всем точкам, составляющим тело. Подставим сюда v=V+Ω, получим 2 2 2 ] [ 2 ] [ 2 ]) [ ( 2 r m r mV V m r V m T . Скорость V и Ω одинаковы для всех точек т. т. Поэтому в первом члене V 2 /2 выносится за знак суммы, а сумма поесть масса тела, которую мы будем обозначать по средствам μ. Во втором члене пишем mr ] V [ ] V [ mr ] r [ mV . Отсюда видно, что если начало движущийся системы координат выбрано, как условленно, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как тогда ∑mr=0. Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения ив результате находим 1 2 2 2 2 2 r r m V T 18. Момент импульса твѐрдого тела. Тензор инерции твѐрдого тела. Перепишем кинетическую энергию вращения } ) ( { 2 1 2 2 2 в тензорных обозначениях, те. через компоненты х i , Ω i векторов r, Ω. Имеем T BP =(1/2)∑m{Ω i 2 x l 2 – Ω i x i Ω k x k }=(1/2)∑m{Ω i Ω k δ ik x l 2 –Ω i Ω k x i x k }=(1/2)Ω i Ω k ∑m(x l 2 δ ik –x i x k ), где δ ik – единичный тензор (компоненты которого равны единице при i=k и нулю при i≠k). Введя тензор I ik =∑m(x l 2 δ ik –x i x k ), получим окончательное выражение для кинетической энергии т. т. в виде Тензор I ik называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела. Как ясно из определения он симметричен, те. Выпишем его ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 y x m mzy mzx myz z x m myx mxz mxy z y m I ik Компоненты I xx , I yy , I zz , иногда называют моментами инерции относительно соответствующих осей. Тензор инерции, очевидно, аддитивен – моменты инерции тела равны суммам моментам инерции его частей. Если т. т. можно рассматривать как сплошное, тов определении сумма заменяется интегралом по объѐму тела dV x x x I k i ik l ik ) ( 2 . Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведѐн к диагональному виду путѐм соответствующего выбора направления осей. Эти направления называются главными осями инерции, а соответствующие значения компонент тензора – главными моментами инерции. T BP =(1/2)(I 1 Ω 1 2 + I 2 Ω 2 2 + I 3 Ω 3 2 ). Каждый из трѐх моментов не может быть больше суммы двух других. Если все три главных момента различны, то это асимметрический волчок, если два совпадают – симметричный волчок, если совпадают три – шаровой волчок. При выборе начала координат в центре инерции его момент М совпадает с "собственным моментом, связанным лишь сдвижением точек тела относительно центра инерции. Другими словами, в определении М надо заменить v на [Ωr]: M=∑m[r[Ωr]]=∑m{r 2 Ω–r(r Ω)}, или в тензорных обозначениях M i =∑m{x l 2 Ω i –x i x k Ω k }=Ω k ∑m{x l 2 δ ik –x i x k }. Наконец, учитывая определение тензора инерции, получим окончательно M i =I ik Ω k . Если оси х, х, х направлены вдоль главных осей инерции тела, то эта формула дат M 1 =I 1 Ω 1 , M 2 =I 2 Ω 2 , M 3 =I 3 Ω 3 . В частности для шарового волчка получим M=IΩ. Воспользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции x 1 , x 2 (перпендикулярных коси симметрии волчках, выберем ось х перпендикулярно к плоскости, определяемой постоянным вектором Ми мгновенным положением оси х. Направления Ми оси волчка в каждый момент времени лежат водной плоскости. Но отсюда следует, что скорости всех точек на оси волчка равномерно вращаются вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная процессия волчка. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция Ω 3 вектора Ω на эту ось Ω 3 =M 3 /I 3 =(M/I 3 )Cosθ. ПР, а поскольку Ω 1 =M 1 /I 1 =Msinθ/I 1 , то получаем ПР Также есть такой вариан 19 вопроса Момент импульса твердого тела. Тензор инерции. Вступление Возьмем две сис-мы коорд. Неподвижную и связанную непосредственно с телом, тогда перемещение относительно неподвижной сис-мы склад. из перемещ. центра инерции и вращательного движения. ] * [ r d R d d (1) Разделим (1) на dt. Получим v = V+[ *r] (2). Вектор V скорость центра инерции, угловая скорость вращения, которая совпадает с направлением оси вращения, v – скорость любой точки тела относительно неподвижной сис-мы коорд. Всегла можновыбрать такую сис-му коорд, что V = 0. Тгода движ. Тела в данный момент будет представлено как чистое вращения вокруг оси , проходящей через O’ (центр выбранной сис-мы коорд). Эту ось называют мгновенной осью вращения тела.Ответ на вопрос:Твердое тело – сис-ма мат. точек. Найдем кинет. энергию 2 2 mv T . Подставим (2) , получим 2 2 2 2 Для второго члена суммы несложными преобразованиями mr V V mr r mV ] [ ] [ ] [ Т.к. V и для всех точек тела одинаковы то вынесли за знак суммы. Если центр коорд. совпадает с центром инерции то сумма m*r= 0. сумма m это масса тела -- . Окончательно преобразовав получим } { 2 1 2 2 2 2 2 r r m V T (3) Первый член – кин энерг поступат движения. Второй – вращ движ со скоростью вокруг оси проходящей через центр инерции. Перепишем энергию вращ движ в тензорах : } { } { k i ik i k i k i k i l ik k i l l i i l i x x x m x x x m x x x m T 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 Использовано тождество i = ik k , где ik – единичный тензор. Ввведѐм тензор ) ( 2 k i ik l ik x x x m I (4) Подставим в (3): k i ik I V T 2 1 2 (5). Ф-ция Лагранжа тв тела L = (5) – U. (6) Тензор I ik наз тензором моментов инерции или тензором инерции Он симметричен : I ik =I ki . Запишем его копоненты: ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 Компоненты I xx I yy I zz наз моментами инерции относ соответв осей. Общие свойства тензора инерции(ТИ) тв.тела.Класификация тв.тел(тт) m(y*y+z*z) - mxy - mxz Ixx,Iyy,Izz называют моментами инерции отн.соотв.осей Iik= - myx m(x*x+z*z) - myz - mzx - mzy m(x*x+y*y) ТИ аддитивен - мом. инерции тела=суме моментов инерции его частей. Если ТТ можно рассматривать как сплошное то Iik= (xi*xi* ik-xi*xk)dV. И может быть приведен к диагональному виду путем соответсв выбора направл. осей х1,х2,х3.Эти направл. назыв. главными осями инерции. а соответств значения компонент ТИ -главными моментами инерции. При этом кин вращательная энергия тела Tвр=1 2(I1 1^2+I2 2^2+I3 3^2). Каждый из трех гл. моментов не может быть больше сумы двух др. Так I1+I2= m(x1^2+x2^2+2*x3^2) m(x1^2+x2^2)=I3. Телок которого все 3 гл. момента разные назыв.- асимметричным волчком. Если все три равны то тело шаровой волчок в этом случае произволен выбор всех осей(могут быть 3 перпендик. оси).Если два момента равны то тело - симметричный волчок и тогда главные оси в плоскости х1х2 произвольны. Нахождение главных осей упрощается если тело обладает симметрией тогда положение центра инерции и направл. гл. осей должно обладать той же симметрией Если тело обладает плоскостью симметрии то центр инерции лежит в этой плоскости. В ней лежат две гл. оси и третья перпендикулярна к ней. Если тело обладает осью симметрии любого порядка то центр инерц. лежит на этой оси с ней же совпадает одна из главных осей инерции а две другие перпендикулярны к ней, при этом если порядок оси симметрии выше второго то тело - симметр. волчок. Также есть такой вариант вопроса 20. Общие свойства инерции тв тела. Классификация тв тел Тензор инерции, очевидно, аддитивен — моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей, если твердое тело можно рассматривать как сплошное, тов. определении сумма заменяется интегралам по, объему, тела Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора направлений ей x1,x2,x3. Эти направления называют главными осями инерции а соответствующие значения компонент тензора—главными моментами инерции обозначим их как /;, аз. При таком выборе осей ^i, Хг. x-s вращательная кинетическая энергия выражается особенно просто ) ( 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 I I I T вр Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других. Так 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 1 I x x m x x x m I I ) ( ) ( . Тело, у которого все три главных момента инерции различны, называют асимметрическим волчком Если два главных момента инерции равны друг другу, I 1 =I 2 I 3 . то твердое тело называют симметрическим 'волчком В этом случае выбор направления главныхосей в плоскости x 1 x 2 произволен Если все три главных момента инерции совпадают, то тело называют шаровым волчком В этом случае произволен выбор всех трех главных ей инерции в качестве их можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси. Нахождение главных й очень упрощается, если твердое тело обладает той или иной симметрией ясно, что положение центра инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией. Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные оси инерции, и третья — перпендикулярна к ней. Очевидным случаем такого рода является система частиц, расположенных водной плоскости. В этом случае существует простое соотношение между тремя главными моментами инерции. Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости x 1 x 2 , то поскольку для всех частиц x 3 . = имеем 2 1 mx I , 2 1 1 mx I , ) ( 2 2 2 так что I 1 =I 2 +I 3 Если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр инерции лежит на этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие— перпендикулярны к ней. При этом, если порядок оси симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком. Действительно, каждую главную ось перпендикулярную коси симметрии) можно повернуть тогдана угол,отличный от т. е.выбор этихосей становится неоднозначным, аэто возможно лишьв случае симметрического волчка. Особым случаем является система частиц, расположенных вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прямую в качестве оси з то для всех частиц x1 = x2 = 0, и потому два главных момента инерции совпадают, а третий равен нулю 3 2 1 mx I I , 0 Такую систему называют ротатором Характерной особенностью ротатора в отличие от общего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные степени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей x1 их говорить же о вращении прямой вокруг самой себя, очевидно, не имеет смысла. Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции. Хотя мы определили этот тензор по отношению к системе координат с началом в центре инерции, но для его вычисления может иногда оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный тензор Определенный по отношению к другому началуО'. Если расстояние дается вектором а то a r r , i i i a x x учитываятакже, что 0 mr по определению точкиО, найдем По этой формуле, зная, легко вычислитьискомый тензор ik I Описание поворотов ТТ. Углы Эйлера. Функция Лагранжа ТТ. Функция Лагранжа ТТ получается из T=1/2* V^2+1/2*Iik i k (см. тензор инерции) вычитанием потен. энергии L=1/2* V^2+1/2*Iik i k-U. Где тензор инерции - угловая скорость. Для описания движения ТТ можно пользоваться тремя к- тами его центра инерции и тремя углами определяющих ориентацию осей x1,x2,x3 движущейся СК относительно неподвижной В качестве этих углов удобно брать эйлеровы. Начала обеих систем водной точке. подвижная плоскость х1х2 пересекает неподвижную XY по некоторой прямой ON которую называют линеей узлов.Эта линия перпенд к осями В качестве величин определяющих положение осей х1,х2,х3 отн.осей XYZ примем следующие углы: (teta)-между Z и между X и между N и x1. и отсчитываются в направл соотв. Правилу правого винта соответствено вокруг осей Z and Выразим компоненти угловой скорости по подвижным осям через ейлеровы углы и их производные Для этого надо спроектировать на эти оси угловые скорости направлена по линии узлов ON и ее составляющие по х1х2х3 равны соответствено: 1’= ’cos , 2’=- ’sin , 3’=0.углоавя скорость ’ направлена вдоль Z ее проекция на х равна 3’= ’cos а проекция на х1х2 равна ’sin разлагая последнею по осям хи х получим направлена по оси х. Собирая все эти составляющие по каждой из осей получим: 1= ’sin sin + ’cos ; 2= ’sin cos --- ’sin ; 3= ’cos + ’.Если оси х1х2х3 выбраны по главным осям инерции то вращательную кинетическую енергию получим подстановкой этих формул в Твр=1 2(I1 1^2+I2 2^2+I3 3^2). Для симметричного волчка Твр=I1/2*( ’^2sin ^2+ ’^2)+I3/2( ’cos + ’)^2. Примечание на рисунке величины с точками соответствуют величинам со штрихами в тексте. Динамические уравнения Эйлера для движения ТТ Пусть скорость изменения какогото вектора А по отношению к неподвижной СК.Если по отношению к вращающейся системе вектор Ане изменится то его изменение относительно неподвижной системы обусловлен только вращением и тогда в общем случае к правой части равенмтва надо добавить скорость изменения вектора А по отношению к подвижной СК;обозначив эту скорость d’A/dt имеем С помощю этой формулы мы можем переписать уравнения движения ТТ dP/dt=F and dM/dt=K в виде d’P/dt+[ P]=F and d’M/dt+[ M]=K Поскольку диф-ние по t производится в подвижной СК то можно спроецировать уравнения на оси этой СК:(d’P/dt)1=dP1/dt, …,(d’M/dt)1=dM1/dt, где индексы 1 2 3 означают комп.по осям х1х2х3 При этом в первом ур-ии заменяем Р на V : (dV1/dt+ 2V3- 3V2)=F1; (dV2/dt+ 3V1- 1V3)=F2 Предполагая оси х1х2х3 выбраными по главным осям инерции пишем во втором уравнении (с моментом и К) M1=I1 1 и т.д. и получаем Эти уравнения называют уравнениями Эйлера |