нгнгнг. 1 Структурный и кинематический анализ. Структурный анализ механизмов основные определения
 Скачать 1.72 Mb.
|
|
ГЛАВА 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ Цели кинематического анализа: - определение траекторий точек и положений звеньев меха- низма в различные моменты времени; - определение линейных скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма; - определение линейных ускорений точек и угловых ускоре- ний звеньев механизма. Кинематический анализ проводится тремя методами: 1) аналитическим; 2) графическим; 3) графоаналитическим. Аналитический метод подробно рассматривался в теорети- ческой механике. Основным его преимуществом является высо- кая точность получаемых результатов. К числу недостатков сле- дует отнести сложность и громоздкость. Более подробно остано- вимся на графическом и графоаналитическом методах. 2.1. Графоаналитический метод исследования Сущность метода заключается в том, что для точки, явля- ющейся элементом внутренней кинематической пары каждой группы Ассура, записываются векторные уравнения по определе- нию ее скорости и ускорения. Затем эти векторные уравнения решаются графически - посредством построения планов скоро- стей или ускорений. Преимущество метода – скорости и ускорения всех назван- ных точек механизма определяются одновременно и как по вели- чине, так и по направлению. 2.2. Формальный метод записи векторных уравнений Рассмотрим формальный метод записи векторных уравне- ний, позволяющий получить единый подход составления уравне- ний для различных структурных групп. Ключевой его задачей является определение трех характерных точек для каждой струк- 24 турной группы Ассура второго класса и установлении вида дви- жения их относительно друг друга. Для решения этой задачи: - разбиваем механизм на группы Ассура, причем буквами на схеме обозначаем только вращательные кинематические пары (разберем метод на примере группы Ассура с внутренней кине- матической парой табл. 2.1); - записываем попарно номера звеньев, образующих между со- бой одну внутреннюю кинематическую пару (4-5), в которой со- единяются между собой звенья, входящие в состав данной груп- пы Ассура, и две внешние, в которых соединяются между собой звенья рассматриваемой группы, со звеньями, не принадлежащи- ми данной группе – (3-4; 5-6); - предварительно обозначаем буквой I точку, являющуюся ха- рактерной для внутренней кинематической пары, а буквами J 1 и J 2 - характерные точки для внешних кинематических пар; - устанавливаем вид относительного движения в каждой из кинематических пар – вращательный (вращ.) или поступательный (пост.); 25 Таблица 2.1 Группа Ассура с внутренней поступательной парой Образована звеньями 4 и 5. Звенья 3 и 6 в группу Ассура не входят Кинематическая пара Внеш. Внутр. Внеш. Номера звеньев, образующих КП 3-4 4-5 5-6 Общее обозначение характерных точек КП J 1 I J 2 Вид относительного движения в КП Вращ. Пост. Вращ. Точки элементов КП B 3 B 4 B 4 B 5 А 5 А 6 Характерные точки КП B 3 (B 4 ) B 5 А 5 (А 6 ) Вид движения точки I относительно J 2 1 - для каждой кинематической пары указываем две точки, при- надлежащие разным звеньям с указанием номера звена, на кото- ром лежит каждая из них. Если указанные точки являются эле- ментами вращательной кинематической пары, то назовем их сов- мещенными, т. е. не изменяющими своего относительного поло- жения, и поставим между ними знак равенства (B 3 B 4 ; А 5 А 6 ; ин- дексы указывают номер звена, которому принадлежит точка). Ес- ли же указанные точки являются элементами поступательной ки- нематической пары то назовем их не совмещенными и поставим между ними знак неравенства (B 4 B 5 ); - устанавливаем характерные точки для каждой из двух внеш- них кинематических пар, обозначенные нами предварительно как J 1 и J 2 . Если внешняя кинематической пары является вращатель- ной, то для нее в качестве характерной может быть выбрана любая из двух выделенных выше для нее точек, так как они являются совмещенными (J 1 →B 3 (B 4 ), J 2 →А 5 (А 6 )). Если же внешняя кинема- тическая пара является поступательной, то для нее в качестве ха- 26 рактерной необходимо выбрать только ту, которая принадлежит звену не входящему в рассматриваемую группу Ассура; - устанавливаем характерную точку для внутренней кинемати- ческой пары, обозначенную выше как I. Если внутренняя кинема- тическая пара является вращательной, то для нее также в каче- стве характерной может быть выбрана любая из двух выделенных для нее точек ввиду их совмещенности. Если же внутренняя ки- нематическая пара является поступательной, то для нее в каче- стве характерной выбирается та из двух выделенных точек (B 4 B 5 ), что не могла быть использована в качестве характерной для двух внешних кинематических пар (в нашем случае I→B 5 , т.к. B 4 принадлежит внешней кинематической паре); - определяем вид движения характерной точки внутренней ки- нематической пары (I), относительно условно неподвижных ха- рактерных точек внешних кинематических пар (J 1 и J 2 ). Если точка I по отношению к точке J двигается по окружности, то та- кое движение отнесем к первому виду. Если же точка I по отно- шению к точке J двигается поступательно вдоль какой-либо направляющей, то такое движение отнесем ко второму виду. К определению вида относительного движения можно от- нестись формально: если буквы, соответствующие характерным точкам I и J разные( в нашем случае I→В 5 и J 2 →А 5 (А 6 )), а индек- сы, определяющие принадлежность звену, одинаковые (звено 5), то вид движения первый. Если же буквы, соответствующие ха- рактерным точкам I и J разные одинаковые(в нашем случае I→В 5 и J 1 →B 3 (B 4 )), а индексы, определяющие принадлежность звену, разные - вид второй. В дальнейшем к процедуре записи векторных уравнений подходим формальным образом. Если установлено, что вид относительного движения пер- вый, то, как было отмечено выше, точка I по отношению к точке J двигается по окружности радиуса l IJ (рис. 2.3). 27 Рис. 2.3 В этом случае ее скорость и ускорение определяются при- веденными ниже векторными уравнениями (условимся подчерки- вать вектор дважды, если он полностью определен, т. е. известен по направлению и по величине, один раз, если известна только линия, на которой он расположен): ̅ ̅ + ̅ ̅ ̅ + ̅ + ̅ где ̅ и ̅ – векторы скорости и ускорения характерной точки I внутренней кинематической пары (они неизвестны ни по вели- чине, ни по направлению); ̅ и ̅ – известные по величине и направлению векторы скоро- сти и ускорения характерной точки J внешней кинематической пары; ̅ – известная по направлению и величине нормальная состав- ляющая вектора ускорения точки I по отношению к точке J в от- носительном движении. Ее численное значение определяется уравнением ⁄ , а направлена она вдоль отрезка IJ ( ) от точки I к точке J; ̅ , и ̅ – известные только по направлению соответственно ско- рость и касательная составляющая ускорения точки I по отноше- нию к точке J в относительном движении. Векторы ̅ и ̅ лежат на прямой перпендикулярной отрезку IJ (в какую сторону заранее неизвестно). 28 В случае второго вида относительного движения точка I по отношению к условно неподвижной точки J перемещается посту- пательно вдоль направляющей кулисы (рис. 2.4). На рис. 2.4 точ- ка I принадлежит направляющей, точка J – ползуну. Рис. 2.4 В этом случае ее скорость и ускорение определяются сле- дующими векторными уравнениями: ̅ ̅ + ̅ ̅ ̅ + ̅ + ̅ где ̅ – известный по направлению и величине вектор корио- лисова ускорения точки I по отношению к точке J. Его численное значение определяется уравнением где α– угол между вектором угловой скорости направляющей (кули- сы) и вектором относительной скорости . В случае плоского движения α=90° и, следовательно, . Направле- ние вектора ускорения Кориолиса определяется по правилу Жу- ковского посредством поворота вектора ̅ на 90 по направле- нию угловой скорости направляющей кулисы ( напр. ); ̅ – вектор относительного ускорения точки I по отноше- нию к точке J. Известно только его направление - вдоль направ- ляющей кулисы, по которой перемещается камень (в какую именно сторону заранее определить нельзя). 29 Величина и направление векторов ̅ и ̅ определяются в каждом конкретном случае по одному из трех подходов. Первый подход используется, когда точка J принадлежит входному звену (рис. 2.5), вращающемуся с 1 =const. В этом случае их численные значения определяются уравнениями , где – длина входного звена, – угловая ско- рость вращения входного звена. Вектор ̅ направлен перпендику- лярно входному звену ( ), в сторону его вращения, а вектор направлен вдоль входного звена к центру его вращения ( от точки J к точке O). Рис. 2.5 Второй подход используется, когда точка J принадлежит стойке (неподвижному звену). В этом случае ее скорость и уско- рение равны нулю. Третий подход используется в том случае, когда точка J является элементом кинематической пары, соединяющей две группы Ассура между собой. Тогда. ее скорость и ускорение определяются по теореме подобия. Теорема. Одноименные точки, принадлежащие одному звену, образуют на плане скоростей и на плане ускорений фигу- ры, подобные той, которую они образуют на кинематической схеме механизма. Таким образом, в каждом из векторных уравнений, опреде- ляющих скорость и ускорение точки I, содержатся три неизвест- ные величины (формально – недостает трех подчеркиваний). По- 30 этому каждое из них самостоятельно не разрешимо. Однако для каждой точки I структурной группы Ассура можно записать по два уравнения, определяющих ее скорость и ускорение, приняв в качестве полюсов точки J 1 и J 2 Для скорости: + + В этих уравнениях левые части одинаковые. Приравняв правые части, получим общее векторное уравнение с двумя неиз- вестными (недостает двух подчеркиваний), которое является раз- решимым: + + Применительно к рассматриваемой структурной группе (см. табл. 2.1) последнее уравнение имеет вид + + В случае, когда характерной точкой оказываются две сов- мещенные, в нашем случае J 1 →В 3 (В 4 ) и J 2 →А 5 (А 6 ), для кратко- сти записи в уравнениях будем писать одну из них, например J 1 →В 4 и J 2 →А 5 , принимая в дальнейшем во внимание, что и Процедура графического решения векторного уравнения по определению скорости точки I называется построением плана скоростей. Из построенного плана определяются неизвестные: численные значения и , а также величина и направле- ние (для рассматриваемого примера и соот- ветственно). Варианты характерных точек и виды их относительных движений для различных групп Ассура второго класса приведены в табл. 2.2 - 2.5. 31 Таблица 2.2 Группа Ассура с внешней поступательной парой Образована звеньями 3 и 4. Звенья 2 и 5 в группу Ассура не входят Кинематическая пара Внеш. Внутр. Внеш. Номера звеньев, образующих КП 2-3 3-4 4-5 Общее обозначение характерных точек КП J 1 I J 2 Вид относительного движения в КП Пост. Вращ. Вращ. Точки элементов КП B 2 B 3 B 3 B 4 А 4 А 5 Характерные точки КП B 2 B 3 (B 4 ) А 4 (А 5 ) Вид движения точки I относительно J 2 1 Таблица 2.3 Группа Ассура с тремя вращательными парами Образована звеньями 3 и 4. Звенья 2 и 5 в группу Ассура не входят Кинематическая пара Внеш. Внутр. Внеш. Номера звеньев, образующих КП 2-3 3-4 4-5 Общее обозначение характерных точек КП J 1 I J 2 Вид относительного движения в КП Вращ. Вращ. Вращ. Точки элементов КП А 2 А 3 B 3 B 4 С 4 С 5 Характерные точки КП А 2 (А 3 ) B 3 (B 4 ) С 4 (С 5 ) Вид движения точки I относительно J 1 1 32 Таблица 2.4 Группа Ассура с внешней и внутренней поступательными парами Образована звеньями 4 и 5. Звенья 3 и 6 в группу Ассура не входят Кинематическая пара Внеш. Внутр. Внеш. Номера звеньев, образующих КП 3-4 4-5 5-6 Общее обозначение характерных точек КП J 1 I J 2 Вид относительного движения в КП Вращ. Пост. Пост. Точки элементов КП С 3 С 4 С 4 С 5 С 5 С 6 Характерные точки КП С 3 (С 4 ) С 5 С 6 Вид движения точки I относительно J 2 2 Таблица 2.5 Группа Ассура с двумя внешними поступательными парами Образована звеньями 2 и 3. Звенья 1 и 4 в группу Ассура не входят Кинематическая пара Внеш. Внутр. Внеш. Номера звеньев, образующих КП 1-2 2-3 3-4 Общее обозначение характерных точек КП J 1 I J 2 Вид относительного движения в КП Пост. Вращ. Пост. Точки элементов КП B 1 B 2 B 2 B 3 B 3 B 4 Характерные точки КП B 1 B 2 (B 3 ) В 4 Вид движения точки I относительно J 2 2 33 2.3. Пример кинематического анализа Рассмотрим кинематический анализ механизма на примере четырехзвенного механизма, образованного посредством присо- единения к входному звену группы Ассура второго класса с внутренней поступательной парой (рис. 2.6). Применим рассмотренную выше методику (см. табл. 2.1) для определения характерных точек кинематических пар и видов их относительных движений. Полученные результаты и записан- ные на их основе векторные уравнения представим в табл. 2.6. Таблица 2.6 I J Вид Уравнения для точки С 2 Объединенные уравнения С 2 В 1 (В 2 ) 1 ̅ ̅ + ̅ ̅ ̅ + ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ + ̅ ̅ + ̅ + ̅ С 3 (С 0 ) 2 ̅ ̅ + ̅ ̅ ̅ + ̅ + ̅ Решим графически векторное уравнение для скорости. Величину и направление вектора скорости V B , м/с, опреде- лим как для точки, принадлежащей входному звену (первый под- ход к определению скорости V J ): величина –V B = 1 L АВ ; направление – перпендикулярно кривошипу АВ в сторону 1 Изобразим вектор скорости на чертеже. Из произвольно вы- бранного полюса «р» плана скоростей проводим линию, перпен- дикулярную звену АВ с учетом направления 1 . На проведенном перпендикуляре откладываем произвольный отрезок рb, мм, изоб- ражающий на плане вектор V B . Определяем масштабный коэффи- циент ,м∙с -1 ∙мм -1 , в котором изображен вектор V B : Дальнейшие построения ведем в этом масштабе. 34 Переходим ко второму вектору (V С2В ) левой части уравне- ния. Известна только линия, вдоль которой он направлен - пер- пендикуляр СВ. Поэтому из точки «b» плана проводим прямую перпендикулярную СВ. Рис. 2.6 Переходим к графическому изображению правой части векторного уравнения. Скорость точки С 3 (С 0 ) равна нулю, так как точка принад- лежит неподвижному звену – стойке (второй подход к определе- нию скорости V J ). Следовательно, вектор V С3 выродится на плане скоростей в точку «с 3(0) », совпадающую с полюсом плана «р». 35 Переходим ко второму вектору (V С2С3 ) левой части уравне- ния. Известна только линия, вдоль которой он направлен - парал- лель СВ. Поэтому из точки «с 3(0) » плана проводим прямую парал- лельную СВ. Место пересечения прямых, соответствующих направле- нию векторов V С2В и V С2С3 , определяет на плане положение точки « |