Тема 1 Определения вероятностей
 Скачать 2.31 Mb.
|
|
Решение: Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид где поэтому 2. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и дисперсией Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид … Решение: Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид где поэтому Тогда Тема 17: Законы распределения вероятностей двумерных дискретных случайных величин 1. Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда значения a и b могут быть равны … Решение: Так как сумма вероятностей равна единице, то есть то Этому условию удовлетворяет ответ: 2. Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна … Решение: 3. Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна … Решение: Тема 18: Условные законы распределения вероятностей двумерных дискретных случайных величин 1. Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей при условии, что составляющая приняла значение , имеет вид … Решение: Условным законом распределения составляющей при называют совокупность условных вероятностей вида: , где . Эти вероятности вычисляются по формуле: . Найдем вероятности возможных значений при условии, что составляющая приняла значение : Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей примет вид: 2. Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей при условии, что составляющая приняла значение , имеет вид … Решение: Условным законом распределения составляющей при называют совокупность условных вероятностей вида: , вычисляемых как Найдем вероятности возможных значений при условии, что составляющая приняла значение : Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей примет вид: 3. Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей при условии, что составляющая приняла значение , равно … Решение: Условным законом распределения составляющей при называют совокупность условных вероятностей вида: , вычисляемых как: Найдем вероятности возможных значений при условии, что составляющая приняла значение : Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей примет вид: Тема 19: Функция двух случайных аргументов 1. Дискретные случайные величины и заданы законами распределения вероятностей: Тогда закон распределения вероятностей функции имеет вид … Решение: Чтобы найти возможные значения случайной величины , сложим каждое возможное значение со всеми возможными значениями случайной величины : Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых: Тогда закон распределения вероятностей функции примет вид: 2. Дискретные случайные величины и заданы законами распределения вероятностей: Тогда закон распределения вероятностей функции имеет вид … Решение: Чтобы найти возможные значения случайной величины , сложим каждое возможное значение со всеми возможными значениями случайной величины : . Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:, , , . Тогда закон распределения вероятностей функции примет вид: 4. Дискретные случайные величины и заданы законами распределения вероятностей: Тогда закон распределения вероятностей функции имеет вид … Решение: Чтобы найти возможные значения случайной величины , сложим каждое возможное значение со всеми возможными значениями случайной величины : . Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:, , , . Тогда закон распределения вероятностей функции примет вид: Тема 20: Ковариация и корреляция 1. Корреляционная матрица для системы случайных величин может иметь вид … Решение: Для системы, состоящей из случайных величин или случайного вектора корреляционная матрица размерности состоит из элементов , удовлетворяющих условиям: , и . Этим условиями удовлетворяет, например, матрица 3. Корреляционная матрица для системы случайных величин может иметь вид … Решение: Для системы, состоящей из случайных величин или случайного вектора корреляционная матрица размерности состоит из элементов , удовлетворяющих условиям: , и . Этим условиями удовлетворяет, например, матрица Тема 21: Неравенство Чебышева 1. Математическое ожидание случайной величины равно , а дисперсия – . Тогда вероятность того, что , можно оценить с использованием неравенства Чебышева как … Решение: Воспользуемся неравенством Чебышева вида: Тогда 2. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна . Всего было куплено билетов. Тогда вероятность того, что количество выигравших билетов будет заключено в пределах от до , можно оценить с использованием неравенства Чебышева как … Решение: Воспользуемся неравенством Чебышева вида: где случайная величина – количество выигравших билетов. Тогда , и 3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна . Всего было куплено билетов. Тогда вероятность того, что количество выигравших билетов будет заключено в пределах от 15 до 25, можно оценить с использованием неравенства Чебышева как … Решение: Воспользуемся неравенством Чебышева вида: где случайная величина – количество выигравших билетов. Тогда , и Тема 22: Неравенство Бернулли 1. Вероятность изготовления бракованного изделия равна . Всего было изготовлено изделий. Тогда вероятность того, что бракованных изделий окажется от до , можно оценить с использованием неравенства Бернулли как … Решение: Воспользуемся неравенством Бернулли вида: где , , . Тогда 3. Вероятность изготовления бракованного изделия равна . Всего было изготовлено изделий. Тогда вероятность того, что бракованных изделий окажется от до , можно оценить с использованием неравенства Бернулли как … Решение: Воспользуемся неравенством Бернулли вида: где , , . Тогда Тема 23: Локальная формула Лапласа 1. Вероятность появления некоторого события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна . Тогда вероятность того, что событие появится ровно раз, следует вычислить по … локальной формуле Лапласа формуле полной вероятности формуле Пуассона интегральной формуле Лапласа Решение: Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным. Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула Лапласа где 2. Вероятность появления некоторого события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна . Тогда вероятность того, что событие появится ровно раза, следует вычислять как … , где , где , где – функция Лапласа , где – функция Лапласа Решение: Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным. Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула Лапласа где , , . Следовательно, 3. Вероятность появления некоторого события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна . Тогда вероятность того, что событие появится ровно раза, следует вычислять как … , где , где , где – функция Лапласа , где – функция Лапласа Решение: Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным. Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула Лапласа где , , . Следовательно, Тема 24: Интегральная формула Лапласа 1. Вероятность появления некоторого события в каждом из 400 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Тогда вероятность того, что событие появится не менее 300 и не более 328 раз, следует вычислять как … , где – функция Лапласа , где – функция Лапласа , где , где Решение: Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) , а неравенств вида . Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа , где – функция Лапласа, а Следовательно, 2. Вероятность появления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,2. Тогда вероятность того, что событие появится не менее 18 и не более 24 раз, следует вычислять как … , где – функция Лапласа , где – функция Лапласа , где , где Решение:_Объем_выборки_вычисляется_по_формуле_,_где_–_частота_варианты_._Тогда__Тема_26:_Полигон_и_гистограмма'>Решение: Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) , а неравенств вида . Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа , где – функция Лапласа, а Следовательно, 3. Вероятность того, что деталь не пройдет проверку ОТК, равна 0,15. Тогда вероятность того, что среди 300 случайно отобранных деталей окажется не менее 50 деталей, не прошедших проверку ОТК, следует вычислить по … интегральной формуле Лапласа формуле полной вероятности формуле Пуассона локальной формуле Лапласа Решение: Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) , а неравенств вида . Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа , где – функция Лапласа, а Тема 25: Вариационный ряд 1. Статистическое распределение выборки имеет вид Тогда значение относительной частоты равно … 0,25 0,05 0,26 0,75 Решение:_По_определению_где_–_число_вариант,_меньших_._Тогдаа)_при_б)_при_в)_при_г)_при_д)_при_Следовательно,_5.'>Решение: Сумма относительных частот равна единице. Поэтому 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : Тогда значение равно … 34 81 47 33 Решение: Объем выборки вычисляется по формуле , где – частота варианты . Тогда Тема 26: Полигон и гистограмма 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид: Тогда относительная частота варианты в выборке равна … 0,05 0,06 0,25 0,20 Решение: Относительная частота вычисляется по формуле , где – частота варианты , а – объем выборки. Вычислим предварительно частоту варианты как Тогда 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма частот которой имеет вид: Тогда значение a равно … 38 39 76 37 Решение: Так как объем выборки вычисляется как где , то 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма относительных частот которой имеет вид Тогда значение a равно … Решение: Так как площадь гистограммы относительных частот равна 1, то Тогда . Тема 27: Характеристики вариационного ряда 1. Мода вариационного ряда 2, 4, 5, 7, 7, 7, 9, 9, 11, 12 равна … 7 12 10 2 Решение: Модой вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Такой вариантой является варианта 7, частота которой равна трем. 2. Медиана вариационного ряда 11, 14, 16, 17, 17, 17, 18, 19, 21, 22, 22, 23, 25, 25 равна … 18,5 17 14 18 Решение: Медианой вариационного ряда называется значение признака генеральной совокупности, приходящееся на середину вариационного ряда. Так как в середине ряда располагаются две варианты: 18 и 19, то медиана равна их средней арифметической – 18,5. Тема 28: Эмпирическая функция распределения вероятностей 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : , эмпирическая функция распределения вероятностей которой имеет вид: Тогда … Решение: По определению где – число вариант, меньших . Тогда при , то есть , а 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : . Тогда ее эмпирическая функция распределения вероятностей имеет вид … Решение: По определению где – число вариант, меньших . Тогда а) при б) при в) при г) при д) при Следовательно, 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : . Тогда ее эмпирическая функция распределения вероятностей имеет вид … Решение: По определению где – число вариант, меньших . Тогда а) при б) при в) при г) при д) при Следовательно, 5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : , эмпирическая функция распределения вероятностей которой имеет вид: Тогда … Решение: По определению где – число вариант, меньших . Тогда при , то есть , а . Тема 29: Основные понятия об оценках параметров распределения 1. Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна … 1,12 0,01 2,24 13,56 Решение: Точность интервальной оценки определяется как то есть 3. Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид … Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае увеличения объема выборки точность оценки улучшается, то есть значение будет меньше 1,14. 4. Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид … Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения надежности точность оценки улучшается, то есть значение будет меньше 0,85. Тема 30: Точечная оценка математического ожидания 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … 13,14 13,0 13,34 13,2 Решение: Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле То есть 2. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 4,5; 5,2; 6,1; 7,8, 8,3. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … 6,38 6,42 6,1 6,4 Решение: Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле То есть 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … Решение: Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле То есть Тема 31: Точечная оценка дисперсии 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение равно … Решение: Выборочное среднее квадратическое отклонение вычисляется как , где Тогда и . 2. систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 3,6; 3,8; 4,3. Тогда несмещенная оценка дисперсии равна … 0,13 0,065 3,9 0,7 |