Тема 1 Определения вероятностей
 Скачать 2.31 Mb.
|
|
Решение: Несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле: где Вычислив предварительно получаем 3. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 15; 18; 21; 24. Тогда выборочная дисперсия равна … 11,25 19,5 15 21,25 Решение: Выборочная дисперсия вычисляется по формуле где Вычислив предварительно получаем Тема 32: Интервальные оценки параметров распределения 1. Точечная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака равна 3,5. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Решение: Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака служит доверительный интервал при или при , где q находят по соответствующей таблице приложений. Этому определению удовлетворяет интервал . 4. Точечная оценка вероятности биномиально распределенного количественного признака равна 0,38. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Решение: Интервальная оценка вероятности биномиально распределенного количественного признака симметрична относительно его точечной оценки, и . Таким свойствам удовлетворяет интервал . Тема 33: Линейная корреляция 1. Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид , а выборочные средние квадратические отклонения равны: . Тогда выборочный коэффициент корреляции равен … Решение: Выборочный коэффициент корреляции можно вычислить из соотношения Тогда 3. Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен … Решение: Значение выборочного коэффициента корреляции, во-первых, принадлежит промежутку , а во-вторых, его знак совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение . 4. Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочное среднее признака равно … Решение: Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочное среднее признака равно . Тема 34: Статистические гипотезы, статистический критерий 1. Левосторонняя критическая область может определяться из соотношения … Решение: Левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением , где – отрицательное число, а – уровень значимости. Таким соотношением является . 3. Соотношением вида можно определить … левостороннюю критическую область правостороннюю критическую область двустороннюю критическую область область принятия гипотезы Решение: Данное соотношение определяет левостороннюю критическую область, так как левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением , где – положительное число, а – уровень значимости. 4. Соотношением вида можно определить … двустороннюю критическую область правостороннюю критическую область левостороннюю критическую область область принятия гипотезы Решение: Данное соотношение определяет двустороннюю критическую область, так как двусторонней называют критическую область, определяемую, например, соотношением вида , где – положительное число, а – уровень значимости. Тема 35: Проверка гипотез о дисперсиях 1. Основная гипотеза имеет вид Тогда конкурирующей может являться гипотеза … Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию противоречит 3. Основная гипотеза имеет вид Тогда конкурирующей может являться гипотеза … Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию противоречит 4. Наблюдаемое значение критерия проверки гипотезы о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому (предполагаемому) значению может иметь вид … Решение: Для проверки гипотезы о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому (предполагаемому) значению применяется статистический критерий который имеет хи-квадрат распределение с степенями свободы, где – объем выборки, по которой вычисляется исправленная дисперсия . Тема 36: Проверка гипотез о математических ожиданиях 1. Основная гипотеза имеет вид Тогда конкурирующей может являться гипотеза … Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию противоречит 2. Наблюдаемое значение критерия проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями и может иметь вид … Решение: Для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями и применяется статистический критерий который имеет стандартное нормальное распределение. Тогда наблюдаемое значение критерия определяется как где и – объемы независимых выборок, по которым вычислены выборочные средние и соответственно. Следовательно, например, при , получаем 3. Наблюдаемое значение критерия проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями и может иметь вид … Решение: Для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями и применяется статистический критерий который имеет стандартное нормальное распределение. Тогда наблюдаемое значение критерия определяется как где и – объемы независимых выборок, по которым вычислены выборочные средние и соответственно. Следовательно, например, при , получаем Кейс 1 подзадача 1 1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий. 1. Курс ценной бумаги упадет 2. Курс ценной бумаги вырастет 3. Курс ценной бумаги не изменится 0,19 0,81 0 0,01 0,18 Решение: Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 4 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 4 % до руб. Следовательно, 1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как 2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна 3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным. 2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий. 1. Курс ценной бумаги упадет 2. Курс ценной бумаги вырастет 3. Курс ценной бумаги не изменится 0,4375 0,5625 0 0,0625 0,375 Решение: Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 6 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 6 % до руб. Следовательно, 1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как 2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна 3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным. 3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий. 1. Курс ценной бумаги упадет 2. Курс ценной бумаги вырастет 3. Курс ценной бумаги не изменится 0,36 0,64 0 0,04 0,32 Решение: Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 5 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 5 % до руб. Следовательно, 1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как 2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна 3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным. 4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий. 1. Курс ценной бумаги упадет 2. Курс ценной бумаги вырастет 3. Курс ценной бумаги не изменится 0,64 0,36 0 0,16 0,24 Решение: Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 2 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 2 % до руб. Следовательно, 1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как 2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна 3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным. Кейс 1 подзадача 2 1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) … (1081,5; 1082,5) (1081,0; 1082,0) (1080,5; 1081,5) (1080,0; 1081,0) Решение: Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1081,5; 1082,5) и (1081,0; 1082,0). 2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) … (1123,5; 1127,5) (1121,5; 1125,0) (1118,5; 1122,5) (1115,5; 1121,0) Решение: Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1123,5; 1127,5) и (1121,5; 1125,0). 3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) … (1101,0; 1103,4) (1100,4; 1103,0) (1099,9; 1102,4) (1099,4; 1102,0) Решение: Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1101,0; 1103,4) и (1100,4; 1103,0). 4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) … (1040,0; 1041,0) (1039,5; 1040,5) (1039,0; 1040,0) (1038,5; 1039,5) Решение: Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1040,0; 1041,0) и (1039,5; 1040,5). Кейс 1 подзадача 3 1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно … 1065,024 1065,00 1064,976 1000,00 Решение: Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как где а Тогда 2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно … 1060,90 1060,00 1059,10 1000,00 Решение: Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как: где а Тогда 3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно … 1060,90 1050,00 1059,10 1000,00 Решение: Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как где а Тогда 4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели. Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно … 1008,016 1008,00 1007,944 1000,00 Решение: Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как где а Тогда Кейс 2 подзадача 1 1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам. Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «средний», можно оценить как … Решение: Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «средний», можно оценить как 2. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам. Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «крупный», можно оценить как … Решение: Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «крупный», можно оценить как 3. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам. Вероятность того, что кредит долгосрочный, если он «мелкий», можно оценить как … Решение: Вероятность того, что кредит долгосрочный, если он «мелкий», можно оценить как Кейс 2 подзадача 2 1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам. Выдан долгосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи. 1. «Крупный» 2. «Средний» 3. «Мелкий» Решение: 1. Вероятность того, что кредит «крупный», если он долгосрочный, можно оценить как 2. Вероятность того, что кредит «средний», если он долгосрочный, можно оценить как 3. Вероятность того, что кредит «мелкий», если он долгосрочный, можно оценить как 2. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам. Выдан краткосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи. 1. «Крупный» 2. «Средний» 3. «Мелкий» Решение: 1. Вероятность того, что кредит «крупный», если он краткосрочный, можно оценить как 2. Вероятность того, что кредит «средний», если он краткосрочный, можно оценить как 3. Вероятность того, что кредит «мелкий», если он краткосрочный, можно оценить как 3. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам. Выдан краткосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи. 1. «Крупный» 2. «Средний» 3. «Мелкий» |