Тема 1 Определения вероятностей
 Скачать 2.31 Mb.
|
|
Тема 1: Определения вероятностей 1. В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна … Решение: Для вычисления события (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно, Тема 2: Алгебра событий 1. Два студента сдают экзамен. Если ввести события (экзамен успешно сдал первый студент) и (экзамен успешно сдал второй студент), то событие, заключающееся в том, что экзамен сдадут успешно оба студента, будет представлять собой выражение … Решение: То, что экзамен сдадут оба студента означает, что и первый, и второй студент сдадут экзамен, то есть речь идет о совместном наступлении этих событий. А событие, состоящее в совместном наступлении нескольких событий, называется их произведением. Правильным будет ответ: 2. Операции сложения и умножения событий не обладают свойством … Решение: Операции сложения и умножения событий обладают свойствами: а) коммутативности сложения б) коммутативности умножения в) ассоциативности сложения Следовательно, операции сложения и умножения событий не обладают свойством Тема 3: Теоремы сложения и умножения вероятностей 1. В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два черных шара. После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, равна … Решение: Введем обозначения событий: – -ый вынутый шар будет белым, A – хотя бы один шар будет белым. Тогда где – -ый вынутый шар не будет белым. Так как по условию задачи события , и зависимы, то 2. В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два белых шара. После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что все три шара будут белыми, равна … Решение: Введем обозначения событий: –-ый вынутый шар будет белым, A – все три шара будут белыми. Тогда и так как по условию задачи события , и зависимы, то 3. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,95, а вторым – 0,80. Оба стрелка стреляют одновременно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком, равна … 0,23 0,95 0,875 0,17 Решение: Введем обозначения событий: (цель поражена первым стрелком), (цель поражена вторым стрелком). Так как эти события независимы, то искомую вероятность можно вычислить как: 4. Наладчик обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа потребует его вмешательства первый станок, равна 0,15; второй –0,05; третий –0,2. Тогда вероятность того, что в течение часа потребуют вмешательства наладчика все три станка, равна … 0,0015 0,4 0,015 0,9985 Решение: Введем обозначения событий: (вмешательства наладчика потребует -ый станок), (вмешательства наладчика потребуют все три станка). Тогда Тема 4: Полная вероятность и формулы Байеса 1. В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 6 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался черным. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из второй урны, равна … Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – черный) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если он извлечен из второй урны. Тогда Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из второй урны, по формуле Байеса: 2. Банк выдает 40% всех кредитов юридическим лицам, а 60% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,1; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, равна … 0,07 0,05 Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, по формуле Байеса: 3. Банк выдает 35% всех кредитов юридическим лицам, а 65% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность непогашения в срок очередного кредита равна … 0,1175 0,125 0,8825 0,1275 Решение:_2._Дискретная_случайная_величина_задана_законом_распределения_вероятностей:Тогда_значения_a_и_b_могут_быть_равны_…Решение'>Решение: Для вычисления вероятности события A (выданный кредит не будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда Тема 5: Законы распределения вероятностей одномерных дискретных случайных величин 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна … Решение: 2. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда значения a и b могут быть равны … Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то Этому условию удовлетворяет ответ: 3. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна … Решение: Тема 6: Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид … Решение: По определению Тогда а) при , , б) при , , в) при , , г) при , . Следовательно, 2. Для дискретной случайной величины : функция распределения вероятностей имеет вид: Тогда значение параметра может быть равно … 0,7 1 0,85 0,6 Решение: По определению Следовательно, и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение . 3. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид … Решение: По определению . Тогда а) при , , б) при , , в) при , , г) при , , д) при , . Следовательно, 4. Для дискретной случайной величины : функция распределения вероятностей имеет вид: Тогда значение параметра может быть равно … 0,655 1 0,25 0,45 Решение: По определению Следовательно, и Этим условиям удовлетворяет, например, значение . Тема 7: Числовые характеристики дискретных случайных величин 1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно … 0,80 0,64 2,60 14,16 Решение: Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется как где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле Тогда а 2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно … Решение: Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда Тема 8: Биномиальный закон распределения вероятностей 1. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна 0,6. Тогда математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины X – числа появлений события A в проведенных испытаниях – равны … Решение: Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей, поэтому а 2. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна . Тогда математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины X – числа появлений события A в проведенных испытаниях – равны … Решение: Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей, поэтому а 4. В среднем 80% студентов группы сдают зачет с первого раза. Тогда вероятность того, что из 6 человек, сдававших зачет, с первого раза сдадут ровно 4 студента, равна … Решение: Воспользуемся формулой Бернулли: где Тогда Тема 9: Простейший поток событий. Распределение Пуассона 1. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час равно пяти. Тогда вероятность того, что за два часа поступит восемь заявок, можно вычислить как … Решение: Вероятность наступления событий простейшего потока за время определяется формулой Пуассона: где – интенсивность потока. Так как , , , то 3. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час, равно трем. Тогда вероятность того, что за два часа поступит пять заявок, можно вычислить как … Решение:_Воспользуемся_формулой_Тогда_2.'>Решение: Вероятность наступления событий простейшего потока за время определяется формулой Пуассона: где – интенсивность потока. Так как , , , то Тема 10: Вероятности состояний цепи Маркова 1. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид , а вектор начального распределения вероятностей – . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен … Решение: Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге можно вычислить последовательно как 2. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид а вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге равен … Решение: Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге можно вычислить как 3. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид а вектор начального распределения вероятностей – . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен … Решение: Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге можно вычислить последовательно как Тема 11: Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 1. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда значение параметра равно … Решение: Так как то или Тогда и 2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда вероятность равна … Решение: Воспользуемся формулой Тогда 3. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда значение параметра равно … Решение: Так как то или Тогда и 4. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда вероятность равна … Решение: Воспользуемся формулой Тогда Тема 12: Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины 1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей: Тогда вероятность равна … Решение: Воспользуемся формулой Тогда 2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей: Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид … Решение: Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: Тогда и 3. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей: Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид … Решение: Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: Тогда и 4. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей: Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид … Решение: Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: Тогда и 5. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей: Тогда вероятность равна … Решение: Воспользуемся формулой Тогда Тема 13: Числовые характеристики непрерывной случайной величины 1. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно … 3 2 1 0 Решение: Воспользуемся формулой Тогда 2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна … Решение: Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить по формуле Тогда 3. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна … Решение: Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить по формуле . Тогда 4. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно … Решение: Воспользуемся формулой Тогда Тема 14: Равномерное распределение 1. Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины : Тогда график ее функции распределения вероятностей имеет вид … Решение: Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле Тогда: если , то , следовательно, если , то если , то Тогда график будет иметь вид: . 2. Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины : Тогда график ее функции распределения вероятностей имеет вид … Решение: Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле Тогда: если , то , следовательно, если , то если , то Тогда график будет иметь вид: . 3. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно … Решение: Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее математическое ожидание можно вычислить по формуле то есть 4. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно … Решение: Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее математическое ожидание можно вычислить по формуле то есть Тема 15: Показательное распределение 1. Случайная величина распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей Тогда вероятность определяется как … Решение: Плотность распределения вероятностей случайной величины , распределенной по показательному закону, имеет вид , и вероятность попадания в интервал равна Тогда 2. Случайная величина распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей Тогда вероятность определяется как … Решение: Плотность распределения вероятностей случайной величины , распределенной по показательному закону, имеет вид и вероятность попадания в интервал равна Тогда 4. Случайная величина распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей Тогда ее математическое ожидание и дисперсия равны … Решение: Плотность распределения вероятностей случайной величины , распределенной по показательному закону, имеет вид и математическое ожидание и дисперсия равны соответственно: Тогда и Тема 16: Нормальное распределение 1. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей Тогда математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны … |