Тема Действительные числа

• Название: Тема Действительные числа
• Дата: 20.04.2023
• Размер: 2.01 Mb.
• Имя файла: e-biblio.ru_book_bib_mti_linejnaya_algebra_book.pdf
• Тип: Закон; #1077834
• страница: 2 из 3

Тема 1. Прямая на плоскости
Пример Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x – 2y = и 5x + y = 0 и точку M
1
(5; План решения. Найти точку пересечения прямых, которую обозначим M
2
, для этого требуется решить систему уравнений

2. Использовать уравнение прямой, проходящей через две точки M
1
(x
1
; и M
2
(x
2
; y
2
):
3. Привести полученное уравнение к общему виду Ax + By + C = 0, воспользовавшись свойством пропорции (
).
Решение
Комментарий
Решим систему уравнений
Подставим найденное значение х = 3 водно из уравнений, например, в первое уравнение - у - 5 = 0,
2y = 4,
y = Таким образом, M
2
(3; 2) ‑ точка пересечения прямых.
Составим уравнение прямой,
проходящей через две точки Целесообразно использовать метод алгебраического сложения. Для этого уравнять коэффициенты перед одной из переменных, а затем сложить уравнения.
Можно обе части разделить на 2, тогда уравнение примет вид x + y – 1 = 0.

Пример Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 5y – 9 = 0 и –3x + 2y + 1 = План решения. Решить систему уравнений
Решение
Решим систему уравнений методом алгебраического сложения (можно методом подстановки).
Подставим y = 1 в первое (второе) уравнение системы. Получим 4x + 5 × 1 – 9 = 0, 4x – 4
= 0, x = 1. Точка пересечения имеет координаты (1; Пример Даны вершины ΔABC , A (1; 2), B (–3; 3), C (5; 0). Найдите уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины A План решения. Найти координаты вектора
2. Высота, опущенная из вершины A, это прямая, проходящая через точку A и перпендикулярно стороне BC. Поэтому воспользоваться уравнением прямой,
проходящей через точку и перпендикулярно вектору (x – x
0
) + B (y – y
0
) = 0.

3. В это уравнение вместо x
0
, y
0
подставить координаты точки A вместо A и B подставить координаты вектора
4. Привести уравнение к виду Ax + By + C = 0.
Решение
Подставим координаты точки и вектора в уравнение прямой A (x – x
0
) + B (y – y
0
) = 0:
8(x – 1) – 3(y – 2) = 0,
8x – 8 – 3y + 6 = 0,
8x – 3y – 2 = Пример Найдите уравнение прямой, проходящей через точки M
1
(–4; 3) и M
2
(5; План решения. Использовать уравнение прямой, проходящей через две точки M
1
(x
1
; и M
2
(x
2
; y
2
):
2. В это уравнение вместо x
1
, y
1
подставить координаты точки M
1
, а вместо x
2
, y
2
подставить координаты точки M
2 3. Пользуясь свойством пропорции, привести полученное уравнение к виду Ax + By + C = Решение, Подставим координаты этих точек в уравнение прямой

,
,
–5(x + 4) = 9(y – 3),
–5x – 20 – 9y + 27 = 0,
–5x – 9y + 7 = Пример Найдите угол между прямыми y = 5x + 7 и 3x + 2y – 1 = План решения. Привести уравнения прямых к виду l
1
: k
1
x + b
1
и l
2
: k
2
x + b
2
и определить угловые коэффициенты прямых k
1
и k
2 2. Воспользоваться формулой для нахождения угла φ между прямыми l
1
и Решение
1
: y = 5x + 7, k = Следовательно, φ = 45°.
Замечание
Если tg φ < 0, то φ — тупой угол.
Пример Уравнение 4x – 3y + 24 = 0 преобразовать к уравнению в отрезках».
План решения
Уравнение в отрезках имеет вид. Перенести свободный член вправо и разделить обе части уравнения на него. Все коэффициенты и знаки убрать в знаменатели дробей

Решение – 3y + 24 = Пример Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 3 и составляющей с осью Ox угол φ = План решения. Воспользоваться уравнением прямой с угловым коэффициентом y = kx + b , где k =
tg φ, φ — угол между прямой и осью Ox , b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy Решение = kx + b ,
b = Пример Стороны AB , BC , AC треугольника ABC заданы соответственно уравнениями 8x + 3y +
1 = 0, х + у - 1 = 0, 3x + 2y + 3 = 0. Определить координаты вершин треугольника.
План решения
Вершины ΔABC — это точки пересечения соответствующих сторон. Решить три системы уравнений, беря попарно уравнения сторон ΔABC .
Решение
Решение
Комментарий
AB: 8x + 3y + 1 = 0,
BC: 2x + y – 1 = 0,
AC: 3x + 2y + 3 = Вершина A образована пересечением сторон AB и AC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон

8 × 1 + 3y + 1 = 0,
3y = –9,
y = Таким образом, A (1;
–3).
8 × (–2) + 3y + 1 = 0,
3y = 15,
y = Таким образом, B (–
2; 5).
2 × 5 + y – 1 = 0,
y = Таким образом, C В итоге A (1; –3), B (–
2; 5), C (5; Систему решаем методом алгебраического сложения.
Уравниваем коэффициенты перед y . Найденное значение x подставим в первое (или второе) уравнение. Все остальные системы решаем аналогично.
Вершина B образована пересечением сторон AB и BC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон.
Подставим x = –2 в первое уравнение.
Вершина C образована пересечением сторон AC и BC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон.
Подставим x = 5 во второе уравнение системы.
Пример 17

Даны вершины ΔABC , A (2; –2), B (3; –5), C (5; 7). Напишите уравнения его сторон.
План решения
Каждая сторона треугольника — это прямая, проходящая через две точки. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки M
1
(x
1
; и M
2
(x
2
; y
2
):
2. Определить через какие точки проходит каждая сторона.
Решение
,
,
, Приведем уравнение к общему виду – 2) = 1(y + 2),
–3x + 6 = y + 2.
–3x – y + 4 = 0 или 3x + y – 4 = 0.
,
,
,
12(x – 3) = 2(y + 5),
12x – 36 = 2y + 10,
12x – 2y – 46 = 0 или 6x – y – 23 = 0.
,
,
,
9(x – 2) = 3(y + 2),
9x – 18 = 3y + 6,
9x – 3y – 24 = 0 или 3x – y – 8 = В итоге уравнения сторон имеют вид 3x + y – 4 = 0, BC: 6x – y – 23 = 0, AC: 3x – y – 8 = 0.

Цит. по Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике НС. Знаенко. — Ульяновск ИНФОФОНД, 2008. — С. Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве
Пример Найти расстояние от точки P (2; 3; –1) до прямой
План решения. Определить координаты направляющего вектора прямой, заданной уравнением и координаты точки M
1
(x
0
; y
0
; z
0
).
2. Найти векторное произведение векторов и
3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и
4. Найти расстояние d, которое является высотой параллелограмма
, где
— длина вектора
Решение
Решение
Комментарий
координаты точки M
1
(1; 2; 13), координаты
Векторное произведение векторов и
- это

направляющего вектора Найдем векторное произведение векторов и Найдем площадь параллелограмма,
построенного на векторах и Высота параллелограмма и есть искомое расстояние Тогда
— расстояние от точки P до прямой.
вектор, координаты которого определяются формулой, те. площадь параллелограмма равна длине вектора векторного произведения.
Пример Найдите координаты точки K пересечения прямой с
плоскостью x + 2y – 3z – 4 = План решения. Уравнение прямой записать в параметрическом виде

где M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) — координаты точки,
— координаты направляющего вектора. Решить систему уравнений:
Решение
Из канонического уравнения прямой возьмем точку M
0
(2; 3;
–1) и направляющий вектор и запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
Решим систему уравнений, состоящую из параметрических уравнений и уравнения плоскости:
Выражения для x, y и z подставим в последнее уравнение и найдем t :
(2 + 4 t) + 2 (3 + 2t) – 3 (–1 + 5 t) – 4 = 0,
2 + 4 t + 6 + 4 t + 3 – 15 t – 4 = 0,
–7 t + 7 = 0,
t = Делая обратную подстановку, найдем x, y и z:
,
, Таким образом, координаты точки пересечения прямой и плоскости K (6; 5; Пример Найти острый угол между прямыми

План решения. Найти координаты направляющих векторов
2. Воспользоваться формулой где
— модуль скалярного произведения векторов и
— длины векторов и
Решение
Из уравнения прямых имеем
Пример Составить канонические уравнения прямой План решения. Записать канонические уравнения прямой Чтобы их составить нужно знать координаты точки M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) и координаты направляющего вектора
2. Найти координаты точки M
0
. Для этого одну из переменных приравнять к нулю и решить полученную систему. Найти координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора взять вектор где
— координаты нормальных векторов плоскостей, определяющих прямую как линию их пересечения, т.е.
если

то
Тогда
Решение
1. Найдем координаты точки M
0
. Для этого приравняем в данной системе z к нулю,
т.е. пусть z = 0. Тогда система примет вид
Подставим найденное значение x в первое уравнение системы) – 2y + 3 = 0,
–28 – 2y + 3 = 0,
– 2y – 25 = Таким образом, M
0
(–14; –12,5; 0) .
Замечание
Точка M
0
может иметь другие координаты. Всё зависит оттого, какое значение и какой переменной придается. Найдем координаты направляющего вектора. Для этого определим координаты нормальных векторов и Тогда

Таким образом, канонические уравнения имеют вид
Пример Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (3; –4; 2) и (2; 5; План решения. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки M
1
(x
1
; y
1
; и M
2
(x
2
; y
2
; Решение и
Пример Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M
1
(5; –3; 2) и параллельно вектору План решения. Воспользоваться уравнением где M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) — координаты точки
— координаты направляющего вектора.
Решение
Пример 31*

Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Oy и точку M
1
(3; –2; План решения
Для составления данного уравнения плоскости следует воспользоваться условием компланарности трех векторов. Взять точку M (x; y; z) с текущими координатами, лежащую в искомой плоскости. Найти координаты векторов и
3. На оси Oy взять единичный вектор
4. Составить уравнение плоскости в виде те.
Решение
Возьмем точку M (x; y; Найдем координаты векторов и Составим уравнение
,
,
–5x + 3z = 0.
Цит. по Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике НС. Знаенко. — Ульяновск ИНФОФОНД, 2008. — С. Тема 3. Взаимное расположение прямых
Пример 33*

Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми и План решения. Найти координаты точек, лежащих на прямых. Если прямая задана параметрическими уравнениями и то M
1
(x
1
; y
1
; z
1
) и M
2
(x
2
; y
2
; z
2
).
2. Найти координаты направляющих векторов. Воспользоваться формулой
,
знак «+» берется, если определитель третьего порядка положителен, «–» — в противном случае.
Решение
M
1
(3; 7; 1), M
2
(5; 8; 2), вычислим отдельно
Таким образом

Цит. по Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике НС. Знаенко. — Ульяновск ИНФОФОНД, 2008. — С. Тема 4. Прямая и плоскость
Пример Найдите координаты точки Q, симметричной точке P (2; 1; –1) относительно плоскости, проходящей через точки M
1
(1; 2; –3), M
2
(2; 0; 1), M
3
(–3; 1; План решения. Составить уравнение плоскости α, проходящей через точки M
1
(x
1
; y
1
; z
1
), M
2
(x
2
; y
2
; z
2
), M
3
(x
3
; y
3
; z
3
) по формуле. Найти точку R, проекцию точки P на плоскость Для этого. Составить уравнение перпендикуляра к плоскости проходящего через точку P воспользовавшись уравнением где (x
0
; y
0
; z
0
) — координаты точки P ,
(p ; q ; r ) — координаты направляющего вектора, в качестве которого выступает нормальный вектор плоскости
2.2. Найти точку R, как пересечение прямой PR и плоскости решив систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и плоскости. Найти точку Q, которая является вторым концом отрезка PQ, для которого серединой будет точка R — проекция точки P на плоскость Для этого воспользоваться формулами = 2x – x
1
, y
2
= 2y – y
1
, z
2
= 2z – z
1
, где (x
1
; y
1
; z
1
) — координаты точки P , (x ; y ; z) координаты точки R .
Решение
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M
1
, M
2
, M
3
:

,
,
–2x – 7y – 3z + 7 = 0 — уравнение плоскости.
Координаты нормального вектора плоскости Составим уравнение перпендикуляра к плоскости проходящего через точку P Найдем точку R, пересечения перпендикуляра и плоскости:
Следовательно,
,
, Точка Найдем координаты точки Q по формулам

Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
План решения. Взять точку M (x ; y ; z) с текущими координатами. Записать координаты направляющего вектора и координаты точек M
1
(x
1
; y
1
; z
1
) и M
2
(x
2
; y
2
; z
2
), лежащих на прямых. Найти координаты векторов
4. Составить уравнение плоскости по формуле
Решение
M (x ; y ; z), M
1
(–2; 1; –3) , M
2
(1; –2; 2) , Уравнение плоскости

,
–21x – y + 12z –5 = 0 — уравнение плоскости.
Цит. по Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике НС. Знаенко. — Ульяновск ИНФОФОНД, 2008. — С. Тема 5. Окружность
Определение 9.9. Геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых доданной точки О , называемой центром, есть величина постоянная, называется окружностью — каноническое уравнение окружности.
Окружность является частным случаем эллипса, когда большая и малая полуоси равны, с = 0, фокусы сливаются в центр. Эксцентриситет окружности равен нулю.
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. — е изд, стер. — М КНОРУС, 2008. — С. 177–178.
2. Нормальное уравнение окружности радиуса R с центром в точках C ( x
0
, y
0
) и O (0,
0) соответственно имеют вид – x
0
)
2
+ ( y – y
0
)
2
= R
2
, (4.19)
x
2
+ y
2
= R
2
. (4.20)
4.47. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A (1; 5), B (–4; 0) и D
(4; –4).
Решение
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке C (x
0
, y
0
) имеет вид (4.19): (x –
x
0
)
2
+ ( y – y
0
)
2
= R
2
. Так как точки A, B, D лежат на окружности, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению

Вычитая из первого уравнения системы второе, а затем третье, получим x
0
= 1, y
0
= а далее и R = 5, те. уравнение окружности ( x – 1)
2
+ y
2
= 25 (рис. Рис. 4.8
4.48. Найти значение параметра a , при котором окружность x
2
+ y
2
– 4x + a = касается прямой
Найти радиус окружности, ее центр и точку касания.
Решение
По условию окружность и прямая имеют одну общую точку, следовательно, система или уравнение должны иметь единственное решение

Это произойдет, если дискриминант полученного квадратного уравнения 4 x
2
– 4x +
a = 0 будет равен нулю, те. D = (–4)
2
– 4 × 4 a = 16 (1 – a ) = 0, откуда a = Решая квадратное уравнение при a = 1, находим x = 0,5, те. точка касания Для определения радиуса окружности приведем ее уравнение к нормальному виду,
группируя члены, содержащие x , и дополняя их до полного квадрата
2
– 4x) + y
2
+ 1 = 0, (x
2
– 4x + 4) – 4 + y
2
+ 1 = откуда ( x – 2)
2
+ y
2
= 3, те. центр окружности (2; 0) и радиус
(рис. Рис. 4.9
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. Серия Золотой фонд российских учебников) — С. 110, 112–113.

Тема 6. Эллипс