Русский язык. Новый документ в формате RTF. Тема Действительные числа
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
Числа и векторы Тема 1. Действительные числа Развитие понятия числа Наиболее общие закономерности и законы экономических явлений выясняются путем качественного анализа, но конкретное выражение их возможно лишь с помощью меры и числа. Число — важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков. Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ... При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число и делить ее на доли не нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли. Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел. Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей. Обозначаются: где m и n — целые числа; — сокращение дроби; — расширение. Дроби со знаменателем 10n , где n — целое число, называются десятичными: Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби: — чистая периодическая дробь, — смешанная периодическая дробь. Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа. Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической. Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа — введение действительных (вещественных) чисел — присоединением к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа — это бесконечные десятичные непериодические дроби. Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре — при извлечении корней примером трансцендентного, иррационального числа являются Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс / Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 2.1. Числа натуральные (1, 2, 3, ...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...), рациональные (представимые в виде m / n, где m и n ≠ 0 — целые числа) и иррациональные (не представимые в виде m / n) образуют множество действительных (вещественных) чисел. Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 24. Все действительные числа можно изобразить на числовой оси. Числовая ось (числовая прямая): а) горизонтальная прямая с выбранным на ней направлением; б) начало отсчета — точка 0; в) единица масштаба. Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс / Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 2.1. Свойства действительных чисел a + b = b + a. а + (b + с) = (а + b) + с. а + 0 = а. а + (–а) = 0. ab = b а. a (bc) = (ab) с. а · 0 = 0. а · 1 = a. a (b + c) = ab + ac . Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных и других алгебраических уравнений. Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , где x и y — действительные числа, i - мнимая единица. Число x называется действительной частью, а y - мнимой частью числа z (обозначаются соответственно x = Re (z), y = Im (z)). Действительное число x является частным случаем комплексного числа z = x + iy при y = 0. Если y ≠ 0, то комплексные числа вида z = x + iy называются мнимыми, а при x = 0, y ≠ 0, т.е. числа вида z = iy , — чисто мнимыми. Числа z = x + iy и z = x – iy называются комплексно-сопряженными. Два комплексных числа z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 pавны, если x1 = x2, y1 = y2. Число z = 0, если x = 0, y = 0. Отношений «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует. Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 25. Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 46. Степенью с натуральным показателем n называется произведение n одинаковых сомножителей, равных где — основание степени; n — показатель степени. В частности, 1n = 1; 0n = 0 (n ≠ 0). По определению Правила действий со степенями (а ≥ 0, b > 0, с ≥ 0) (2.2). (abc)n = an bn cn; am × an = am + n; (am)n = amn; Основные алгебраические формулы: а2 – b2 = (а – b) (а + b); (а ± b)3 = а3 ± 3а2b + 3а b2 ± b3; (а ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; a3 ± b3 = (а ± b) (a2 ± ab + b2); (2.3) (а + b + ... + k + l)2 = а2 + b2 + ... + k2 + l2 + 2 (ab + ... + ak + al + bc +...+ bk + bl + ... + kl); an – bn = (a – b)(an–1 + an–2 b + an–3 b2 + ... + a bn–2+ bn–1). (Например, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc); a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4). Корнем степени n из числа а называется число, n-я степень которого равна заданному числу (2.4) где — подкоренное выражение; n — показатель корня (n ∈ N). (Например, так как 35 = 243.) По определению (2.4′) Действие нахождения корня называется извлечением корня. Арифметическим корнем, или арифметическим значением корня, n-й степени называется неотрицательное число (n -я степень которого равна а). (Например, — арифметические, — неарифметические корни.) На множестве действительных чисел под корнем четной степени (n = 2k) из неотрицательного числа подразумевается его арифметическое значение (например, а не –3). (На множестве комплексных чисел имеет n значений.) Выражения, содержащие знак корня (радикал), называются иррациональными. Правила действий с корнями (а ≥ 0, b > 0, с ≥ 0; n ≥ 2, p ≥ 2 (n, m ∈ N)): (Например, Указанные правила безоговорочно верны для арифметических корней. (Например, а не Для четного n = 2k. т.е. (например, так как так как По определению степень с рациональным (дробным) показателем где m ∈ M , n ∈ N. (Например, Для степеней с дробным показателем сохраняются те же правила действий со степенями (2.2), приведенные выше. Формула сложного радикала Пример 2.1. Упростить выражения: Решение, а) Учитывая формулы (2.2), (2.3), получаем: или по формуле (2.7′) Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 34–37. Запись n ∈ N означает, что n принадлежит множеству натуральных чисел. Z означает множество целых чисел. Тема 2. Скалярные величины и векторы. Действия над векторами. Величины, которые полностью характеризуются своим численным значением, называются скалярными (скалярами): t °, V , m , время, ... Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление: F , скорость, ускорение. Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс / Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 3.1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе (рис. 4.4)). Рис. 4.4 Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например или Длиной (модулем, или нормой) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор. Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными. Если начало и конец вектора совпадают, например то такой вектор называют нулевым и обозначают Длина нулевого вектора равна нулю: Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору. Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119. Произведением вектора на число λ называется вектор имеющий длину направление которого совпадает с направлением вектора если λ > 0, и противоположно ему, если λ < 0 (рис. 4.5). Рис. 4.5 Вектором, противоположным вектору называется произведение вектора на число (–1), т.е. Суммой двух векторов и называется вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец — с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис. 4.6) (правило треугольника). Рис. 4.6 Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (см. рис. 4.6) (правило параллелограмма). Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма трех векторов есть вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец с концом вектора (правило многоугольника) (рис. 4.7). Рис. 4.7 Если же векторы некомпланарны, то вектор представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах (правило параллелепипеда) (рис. 4.8). Рис. 4.8 Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, координатами вектора на плоскости Оху являются два числа х и у (— рис. 4.9), а в пространстве Oxyz — три числа х , у , z ( — рис. 4.10). Рис. 4.9 Рис. 4.10 Вектор может быть записан в виде где — единичные векторы, или орты, совпадающие с положительными направлениями соответственно осей Ох, Оу, Oz . Векторы называются компонентами вектора а формула (4.35) — разложением вектора по векторам Длина вектора (см. рис. 4.9 и 4.10) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат: или Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119–121. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов α, β, γ, образуемых вектором с осями координат: при этом Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121. Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 16. Тема 3. Проекция вектора на ось. Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка А'В' (где АА' ВВ' — рис. 4.11), т.е. число, взятое со знаком «+», если направление А'В' совпадает с направлением оси l , и со знаком «–», если эти направления противоположны: Рис. 4.11 Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121. Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 17. 3.4. Даны два единичных вектора и угол между которыми 120°. Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и б) проекцию вектора на направление вектора Решение: Рис.3.4 а) Искомый угол φ (рис. 3.4) определим по формуле (3.13): По формулам найдем скалярное произведение векторов и и их длины: Теперь и б) По формуле Найдем Теперь Цит. по: Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 66–67. Пример 4.12. Даны векторы и Найти: а) скалярное произведение векторов где б) угол между векторами и Решение, а) По определению По формуле найдем длины векторов и По формуле скалярное произведение б) По формуле угол между векторами и определяется равенством откуда φ = arccos 0,52 » 58°. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор удовлетворяющий условиям (рис. 4.12): а) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними, т.е. б) вектор перпендикулярен каждому из векторов и в) вектор направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (иными словами, векторы образуют правую тройку векторов). Рис. 4.12 Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 122–123. Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 18. Примеры 1. Дано: , . Найти: . Решение: . . . 2. Дано: , . Найти: S sin α Решение: Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс / Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 3.3. Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторов и где есть векторное произведение векторов и Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 123. Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 19. Линейная алгебра Тема 1. Матрицы. Определитель матрицы Матрицы Определение 8.18. Прямоугольная таблица чисел вида называется прямоугольной матрицей размера m × n , где m - количество строк, а n - количество столбцов. Определение 8.19. Числа, которые образуют матрицу, - a ij, где называются элементами матрицы. Определение 8.20. Числа i и j называются индексами элемента a ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент. Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. Виды матриц Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n . Матрица размера m × 1 называется матрицей-столбцом. Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой. Определение 8.21. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы. Определение 8.22. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю. Определение 8.23. Диагональная матрица n -го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n -го порядка и обозначается Е. Определение 8.24. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю. Примеры. Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - С. 125–126. Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. - Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. - С. 6, 10. 2. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или правилу Сарруса. где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «–» (правая схема): 5. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения: Цит. по: Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - (Серия «Золотой фонд российских учебников») - С. 11, 12. Свойства определителей Теорема 8.8. При транспонировании величина определителя не меняется. Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т. е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов. Теорема 8.9. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число. Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя. Теорема 8.10. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный. Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю. Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю. Теорема 8.11. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т. д. Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю. Теорема 8.12. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. Миноры и алгебраические дополнения Пусть дана прямоугольная матрица А размера m × n . Определение 8.30. Минором порядка k данной матрицы, где k ≤ min (m; n), называется определитель k -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m - k) строк и (n - k) столбцов. Пример 8.13. Определение 8.31. Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы An × n называется определитель (n - 1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен. Пример 8.14. Найдем дополнительный минор к элементу a31 . Определение 8.32. Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij квадратной матрицы An × n называется число Aij = (- 1)i+j × Mij . Пример 8.15. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a33 . Теорема 8.13. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. - разложение определителя по i -й строке. Теорема 8.14. Сумма попарных произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки (столбца) равна нулю. Вычисление определителей порядка n > 3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теорем 8.12 и 8.13. Пример 8.16. разложение определителя по первому столбцу Перед разложением определителя для удобства получают в одном из столбцов нули. Это сокращает объемы вычислений. Для этого используют теорему 8.12. Одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками. Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - С. 131–134. 1.24. Вычислить определители матрицы A : Решение: а) По формуле б) Определитель вычисляется по формуле (1.8). Запоминать эту формулу не следует, достаточно применить правило треугольников, согласно которому три произведения элементов, показанных на левой схеме (п. 2), берутся со знаком «+», а три других произведения элементов, показанных на правой схеме (п. 2), берутся со знаком «–» | A | = 1 × 1 × 1 + 0 × 2 × 2 + 0 × 5 × 3 – 0 × 1 × 0 – 1 × 2 × 3 – 1 × 2 × 5 = –15. 1.25. Вычислить тот же определитель, приведенный в задаче 1.24 , б , используя его разложение по элементам: а ) первой строки; б ) второго столбца. Решение: а) Находим алгебраические дополнения элементов первой строки по формуле : Теперь по теореме Лапласа (1.10) : | A | = a11 × A11 + a12 × A12 + a13 × A13 = 1 × (– 5) + 2 × (– 5) + 0 × 15 = –15. б) Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца: Теперь по формуле (1.8) : | A | = a21 × A21 + a22 × A22 + a32 × A32 = 2 × (– 5) + 1 × 1 – 3 × 2 = –15. 1.26. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка: Решение: С помощью эквивалентных преобразований приведем матрицу A к треугольному виду. Если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся того, чтобы элемент a11 = 1. В данном случае достаточно поменять местами 1-й и 3-й столбцы; при этом меняется знак определителя матрицы A : Умножая элементы 1-й строки на числа (–aij); i = 1, 2, 3, 4, т.е. в данном случае на числа 1, (–2), (–1), и прибавляя их соответственно к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк, добиваемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме a11) равнялись нулю: Далее, если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся, чтобы новый элемент a22 = 1. В данном случае это возможно, если переставить 2-ю и 3-ю строки; при этом меняется знак определителя. Умножая элементы 2-й строки, полученной матрицы на числа (–a12) (i = 3, 4), в данном случае на числа (–2) и 1, добиваемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме a22) равнялись нулю. Для получения треугольной матрицы в данном случае достаточно прибавить элементы 3-й строки полученной матрицы к элементам 4-й. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов: Цит. по: Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - (Серия «Золотой фонд российских учебников») - С. 13–14. Тема 2. Метод решения систем линейных уравнений Крамера Решение системы с помощью формул Крамера Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными: Теорема 8.22. (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля (|A| ≠ 0), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: где D =|A| - главный определитель, Dj - j -й вспомогательный определитель, который получен из определителя D заменой j -го столбца столбцом свободных членов. Пример 8.20. Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными справедливы свойства: если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет; если главный определитель и оба вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений. Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - С. 145–146. Рассмотрим систему уравнений: (1) Введем обозначения: Если определитель системы Δ ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение: . Пример: решить систему уравнений: Решение: Составим и вычислим определители: . Система имеет единственное решение: Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными. (2) Введем обозначения: - определитель системы. Определители Δx, Δy, Δz получаются из определителя системы Δ путем замены соответственно первого, второго и третьего столбца столбцом свободных членов d1, d2, d3. Если определитель системы Δ ≠ 0, то существует единственное решение системы (2): Пример. Решить систему уравнений: Вычисляем определитель системы Δ и определители Δx , Δy , Δz разложением определителей по элементам первой строки: Так как Δ ≠ 0, то система имеет только одно решение: Рассмотрим применение систем в прикладных задачах. Пример. Из двух сортов бензина образуются две смеси A и B. Смесь A содержит 60% бензина 1-го сорта и 40% 2-го сорта, смесь B содержит 80% бензина 1-го сорта и 20% 2-го сорта. |