Русский язык. Новый документ в формате RTF. Тема Действительные числа

• Название: Тема Действительные числа
• Анкор: Русский язык
• Дата: 12.02.2022
• Размер: 1.39 Mb.
• Имя файла: Новый документ в формате RTF.rtf
• Тип: Закон; #359684
• страница: 9 из 14

Какой процент начисляет каждый банк?

Решение. Введем следующие неизвестные:

x1 — процент, начисляемый вкладчику в первом банке;

x2 — процент, начисляемый вкладчику во втором банке;

x3 — процент, начисляемый вкладчику в третьем банке.

Вклад в первый банк составил (3/8) × 800 = 300 тыс. руб.

Вклад во второй банк составил (1/8) × 800 = 100 тыс. руб.

Вклад в третий банк составил (4/8) × 800 = 400 тыс. руб.

Начислено в первом банке за год тыс. руб.

Начислено во втором банке за год тыс. руб.

Начислено в третьем банке за год тыс. руб.

Всего на вклад в 800 тыс. руб., сделанный в три банка (в первый было начислено 300 тыс. руб., во второй — 100 тыс. руб., в третий — 400 тыс. руб.), было начислено за год:

907 — 800 = 107 тыс. руб.

Таким образом, первое уравнение системы:

3x1 + x2 + 4x3 = 107

Аналогично получим два других уравнения системы:

x1 + 4x2 + 3x3 = 894 – 800 = 94

4x1 + 3x2 + x3 = 903 – 800 = 103.

Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решим эту систему методом Гаусса.

Система решена, она имеет единственное решение:

x1 = 15; x2 = 10; x3 = 13.

Таким образом, решив систему уравнений, мы нашли, что первый банк выплачивает 15% годовых, второй банк — 10% годовых, а третий банк — 13%.

Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /

Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —

Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 6.11.

2.1. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

Решение. Обозначим:

Тогда в матричной форме система имеет вид: АХ = В. Определитель матрицы т.е. обратная матрица А –1 существует :

Теперь по формуле X = A-1 B:

Ответ :(3; 2; – 1).

Цит. по: Высшая математика для экономистов:

Практикум для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям /

[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —

2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —

(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 35.

Точнее данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.

Аналитическая геометрия

Тема 1. Прямая на плоскости

Пример 1

Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x – 2y = 0 и 5x + y = 0 и точку M1 (5; 17).

План решения

1. Найти точку пересечения прямых, которую обозначим M2, для этого требуется решить систему уравнений

2. Использовать уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1 ; y1) и M2 (x2 ; y2):

.

3. Привести полученное уравнение к общему виду Ax + By + C = 0, воспользовавшись свойством пропорции (

).

Решение Комментарий

Решим систему уравнений

Подставим найденное значение х = 3 в одно из уравнений, например, в первое уравнение:

9 - 2у - 5 = 0,

2y = 4,

y = 2.

Таким образом, M2 (3; 2) ‑ точка пересечения прямых.

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки: .

Целесообразно использовать метод алгебраического сложения. Для этого уравнять коэффициенты перед одной из переменных, а затем сложить уравнения.

Можно обе части разделить на 2, тогда уравнение примет вид: x + y – 1 = 0.

Пример 3

Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 5y – 9 = 0 и –3x + 2y + 1 = 0.

План решения

1. Решить систему уравнений

Решение

Решим систему уравнений методом алгебраического сложения (можно методом подстановки).

Подставим y = 1 в первое (второе) уравнение системы. Получим 4x + 5 × 1 – 9 = 0, 4x – 4 = 0, x = 1. Точка пересечения имеет координаты (1; 1).

Пример 5

Даны вершины ΔABC , A (1; 2), B (–3; 3), C (5; 0). Найдите уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины A .

План решения

1. Найти координаты вектора

2. Высота, опущенная из вершины A, это прямая, проходящая через точку A и перпендикулярно стороне BC. Поэтому воспользоваться уравнением прямой, проходящей через точку и перпендикулярно вектору:

A (x – x0 ) + B (y – y0) = 0.

3. В это уравнение вместо x0, y0 подставить координаты точки A , вместо A и B подставить координаты вектора

4. Привести уравнение к виду Ax + By + C = 0.

Решение

Подставим координаты точки и вектора в уравнение прямой A (x – x0) + B (y – y0) = 0:

8(x – 1) – 3(y – 2) = 0,

8x – 8 – 3y + 6 = 0,

8x – 3y – 2 = 0.

Пример 7

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки M1 (–4; 3) и M2 (5; –2).

План решения

1. Использовать уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1 ; y1) и M2 (x2 ; y2):

2. В это уравнение вместо x1, y1 подставить координаты точки M1, а вместо x2, y2 подставить координаты точки M2 .

3. Пользуясь свойством пропорции, привести полученное уравнение к виду Ax + By + C = 0.

Решение

, .

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

,

,

–5(x + 4) = 9(y – 3),

–5x – 20 – 9y + 27 = 0,

–5x – 9y + 7 = 0.

Пример 9

Найдите угол между прямыми y = 5x + 7 и 3x + 2y – 1 = 0.

План решения

1. Привести уравнения прямых к виду l 1 : k1x + b1 и l 2 : k2x + b2 и определить угловые коэффициенты прямых k1 и k2 .

2. Воспользоваться формулой для нахождения угла φ между прямыми l1 и l2:

.

Решение

l 1 : y = 5x + 7, k = 5.

Следовательно, φ = 45°.

Замечание

Если tg φ < 0, то φ — тупой угол.

Пример 11

Уравнение 4x – 3y + 24 = 0 преобразовать к уравнению «в отрезках».

План решения

Уравнение «в отрезках» имеет вид

.

1. Перенести свободный член вправо и разделить обе части уравнения на него.

2. Все коэффициенты и знаки убрать в знаменатели дробей.

Решение

4x – 3y + 24 = 0,

,

.

Пример 13

Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 3 и составляющей с осью Ox угол φ = 60°.

План решения

1. Воспользоваться уравнением прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b , где k = tg φ, φ — угол между прямой и осью Ox , b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy .

Решение

y = kx + b , b = 3.

Пример 15

Стороны AB , BC , AC треугольника ABC заданы соответственно уравнениями 8x + 3y + 1 = 0, 2х + у - 1 = 0, 3x + 2y + 3 = 0. Определить координаты вершин треугольника.

План решения

Вершины ΔABC — это точки пересечения соответствующих сторон.

1. Решить три системы уравнений, беря попарно уравнения сторон ΔABC .

Решение

Решение Комментарий

AB: 8x + 3y + 1 = 0,

BC: 2x + y – 1 = 0,

AC: 3x + 2y + 3 = 0.

8 × 1 + 3y + 1 = 0,

3y = –9,

y = –3.

Таким образом, A (1; –3).

8 × (–2) + 3y + 1 = 0,

3y = 15,

y = 5.

Таким образом, B (–2; 5).

2 × 5 + y – 1 = 0,

y = –9.

Таким образом, C (5; –9).

В итоге: A (1; –3), B (–2; 5), C (5; –9).

Вершина A образована пересечением сторон AB и AC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон.

Систему решаем методом алгебраического сложения. Уравниваем коэффициенты перед y . Найденное значение x подставим в первое (или второе) уравнение. Все остальные системы решаем аналогично.

Вершина B образована пересечением сторон AB и BC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон.

Подставим x = –2 в первое уравнение.

Вершина C образована пересечением сторон AC и BC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон.

Подставим x = 5 во второе уравнение системы.

Пример 17

Даны вершины ΔABC , A (2; –2), B (3; –5), C (5; 7). Напишите уравнения его сторон.

План решения

Каждая сторона треугольника — это прямая, проходящая через две точки.

1. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки M1 (x1 ; y1) и M2 (x2 ; y2):

.

2. Определить через какие точки проходит каждая сторона.

Решение

, , , .

Приведем уравнение к общему виду

–3(x – 2) = 1(y + 2),

–3x + 6 = y + 2.

–3x – y + 4 = 0 или 3x + y – 4 = 0.

, , , .

12(x – 3) = 2(y + 5),

12x – 36 = 2y + 10,

12x – 2y – 46 = 0 или 6x – y – 23 = 0.

, , , .

9(x – 2) = 3(y + 2),

9x – 18 = 3y + 6,

9x – 3y – 24 = 0 или 3x – y – 8 = 0.

В итоге уравнения сторон имеют вид:

AB: 3x + y – 4 = 0, BC: 6x – y – 23 = 0, AC: 3x – y – 8 = 0.

Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 5–11.

Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве

Пример 19*

Найти расстояние от точки P (2; 3; –1) до прямой

План решения

1. Определить координаты направляющего вектора прямой, заданной уравнением

и координаты точки M1 (x0; y0; z0).

2. Найти векторное произведение векторов и

3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

4. Найти расстояние d, которое является высотой параллелограмма: , где — длина вектора

Решение

Решение Комментарий

координаты точки M1 (1; 2; 13), координаты направляющего вектора

Найдем векторное произведение векторов и

.

Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах и

.

Высота параллелограмма и есть искомое расстояние .

Тогда — расстояние от точки P до прямой.

Векторное произведение векторов и - это вектор, координаты которого определяются формулой

, т.е. площадь параллелограмма равна длине вектора векторного произведения.

Пример 21

Найдите координаты точки K пересечения прямой с плоскостью x + 2y – 3z – 4 = 0.

План решения

1. Уравнение прямой записать в параметрическом виде:

где M0 (x0; y0; z0) — координаты точки, — координаты направляющего вектора.

2. Решить систему уравнений:

Решение

Из канонического уравнения прямой возьмем точку M0 (2; 3; –1) и направляющий вектор и запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Решим систему уравнений, состоящую из параметрических уравнений и уравнения плоскости:

Выражения для x, y и z подставим в последнее уравнение и найдем t :

(2 + 4 t) + 2 (3 + 2t) – 3 (–1 + 5 t) – 4 = 0,

2 + 4 t + 6 + 4 t + 3 – 15 t – 4 = 0,

–7 t + 7 = 0,

t = 1.

Делая обратную подстановку, найдем x, y и z:

, , .

Таким образом, координаты точки пересечения прямой и плоскости K (6; 5; 4).

Пример 23

Найти острый угол между прямыми

План решения

1. Найти координаты направляющих векторов

2. Воспользоваться формулой

где

— модуль скалярного произведения векторов и

— длины векторов и

Решение

Из уравнения прямых имеем

Пример 25

Составить канонические уравнения прямой

План решения

1. Записать канонические уравнения прямой

Чтобы их составить нужно знать координаты точки M0 (x0; y0; z0) и координаты направляющего вектора

2. Найти координаты точки M0. Для этого одну из переменных приравнять к нулю и решить полученную систему.

3. Найти координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора взять вектор

где — координаты нормальных векторов плоскостей, определяющих прямую как линию их пересечения, т.е.

если

то

Тогда

Решение

1. Найдем координаты точки M0. Для этого приравняем в данной системе z к нулю, т.е. пусть z = 0. Тогда система примет вид

Подставим найденное значение x в первое уравнение системы.

2(–14) – 2y + 3 = 0,

–28 – 2y + 3 = 0,

– 2y – 25 = 0,

Таким образом, M0 (–14; –12,5; 0) .

Замечание

Точка M0 может иметь другие координаты. Всё зависит от того, какое значение и какой переменной придается.

2. Найдем координаты направляющего вектора. Для этого определим координаты нормальных векторов: и

Тогда

Таким образом, канонические уравнения имеют вид

Пример 27

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (3; –4; 2) и (2; 5; –1).

План решения

1. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки M1 (x1; y1; z1) и M2 (x2; y2; z2):

Решение

и .

Пример 29

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M1 (5; –3; 2) и параллельно вектору

План решения

1. Воспользоваться уравнением

где M0 (x0; y0; z0) — координаты точки; — координаты направляющего вектора.

Решение

Пример 31*

Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Oy и точку M1 (3; –2; 5).

План решения

Для составления данного уравнения плоскости следует воспользоваться условием компланарности трех векторов.

1. Взять точку M (x; y; z) с текущими координатами, лежащую в искомой плоскости.

2. Найти координаты векторов и

3. На оси Oy взять единичный вектор

4. Составить уравнение плоскости в виде т.е. .

Решение

Возьмем точку M (x; y; z).

Найдем координаты векторов и

Составим уравнение ,

,

–5x + 3z = 0.

Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 11–16.

Тема 3. Взаимное расположение прямых

Пример 33*

Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми

и

План решения

1. Найти координаты точек, лежащих на прямых. Если прямая задана параметрическими уравнениями

и то M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2).

2. Найти координаты направляющих векторов

3. Воспользоваться формулой

,

знак «+» берется, если определитель третьего порядка положителен, «–» — в противном случае.

Решение

M1 (3; 7; 1), M 2 (5; 8; 2),

;

вычислим отдельно

.

Таким образом,

Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 16–17.

Тема 4. Прямая и плоскость

Пример 35*

Найдите координаты точки Q, симметричной точке P (2; 1; –1) относительно плоскости, проходящей через точки M1 (1; 2; –3), M2 (2; 0; 1), M3 (–3; 1; 2).

План решения

1. Составить уравнение плоскости α, проходящей через точки M1 (x1 ; y1 ; z 1), M 2 (x2 ; y2 ; z2), M3 (x3 ; y3 ; z3) по формуле

2. Найти точку R, проекцию точки P на плоскость Для этого:

2.1. Составить уравнение перпендикуляра к плоскости проходящего через точку P , воспользовавшись уравнением где (x 0 ; y 0 ; z 0) — координаты точки P , (p ; q ; r ) — координаты направляющего вектора, в качестве которого выступает нормальный вектор плоскости

2.2. Найти точку R, как пересечение прямой PR и плоскости решив систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и плоскости.

3. Найти точку Q, которая является вторым концом отрезка PQ, для которого серединой будет точка R — проекция точки P на плоскость Для этого воспользоваться формулами

x2 = 2x – x1 , y 2 = 2y – y1 , z2 = 2z – z1 , где (x1 ; y1 ; z1) — координаты точки P , (x ; y ; z) — координаты точки R .

Решение

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M1 , M2 , M3:

,

,

–2x – 7y – 3z + 7 = 0 — уравнение плоскости.

Координаты нормального вектора плоскости:

Составим уравнение перпендикуляра к плоскости проходящего через точку P :

Найдем точку R, пересечения перпендикуляра и плоскости:

Следовательно,

, , .

Точка

Найдем координаты точки Q по формулам:

,

,

.

Пример 37

Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

План решения

1. Взять точку M (x ; y ; z) с текущими координатами.

2. Записать координаты направляющего вектора и координаты точек M1 (x1 ; y1 ; z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2), лежащих на прямых.

3. Найти координаты векторов

4. Составить уравнение плоскости по формуле

.

Решение

M (x ; y ; z), M1 (–2; 1; –3) , M2 (1; –2; 2) ,

Уравнение плоскости

,

,

–21x – y + 12z –5 = 0 — уравнение плоскости.

Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 17–19.

Тема 5. Окружность

Определение 9.9. Геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до данной точки О , называемой центром, есть величина постоянная, называется окружностью.

— каноническое уравнение окружности.

Окружность является частным случаем эллипса, когда большая и малая полуоси равны, с = 0, фокусы сливаются в центр. Эксцентриситет окружности равен нулю.

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /

С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 177–178.

2. Нормальное уравнение окружности радиуса R с центром в точках C ( x0 , y0) и O (0, 0) соответственно имеют вид:

(x – x 0 )2 + ( y – y0 )2 = R 2, (4.19)

x 2 + y 2 = R 2. (4.20)

4.47. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A (1; 5), B (–4; 0) и D (4; –4).

Решение

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке C (x0 , y0) имеет вид (4.19): (x – x0)2 + ( y – y0 )2 = R 2 . Так как точки A, B, D лежат на окружности, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению:

Вычитая из первого уравнения системы второе, а затем третье, получим x0 = 1, y0 = 0, а далее и R = 5, т.е. уравнение окружности: ( x – 1)2 + y 2 = 25 (рис. 4.8).

Рис. 4.8

4.48. Найти значение параметра a , при котором окружность x 2 + y 2 – 4x + a = 0 касается прямой Найти радиус окружности, ее центр и точку касания.

Решение

По условию окружность и прямая имеют одну общую точку, следовательно, система

или уравнение

должны иметь единственное решение.

Это произойдет, если дискриминант полученного квадратного уравнения 4 x 2 – 4x + a = 0 будет равен нулю, т.е. D = (–4)2 – 4 × 4 a = 16 (1 – a ) = 0, откуда a = 1.

Решая квадратное уравнение при a = 1, находим x = 0,5, т.е. точка касания

Для определения радиуса окружности приведем ее уравнение к нормальному виду, группируя члены, содержащие x , и дополняя их до полного квадрата:

(x 2 – 4x) + y 2 + 1 = 0, (x2 – 4x + 4) – 4 + y2 + 1 = 0,

откуда ( x – 2)2 + y 2 = 3, т.е. центр окружности (2; 0) и радиус (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Цит. по: Высшая математика для экономистов:

Практикум для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям /

[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —

2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —

(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 110, 112–113.

Тема 6. Эллипс

Определение 9.5. Геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом.

— каноническое уравнение эллипса.

Исследуем форму эллипса.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX: y = 0, x = ± a ;

OY: x = 0, y = ± b ;

A (a ; 0); B (- a ; 0); C (0; b); D (0; - b).

Определение 9.6. Точки A, B, C, D называются вершинами эллипса.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX и OY и начала координат.

3.

Следовательно, кривая расположена в прямоугольнике со сторонами 2а и 2 b .

Построим данную кривую (рис. 9.9).

Рис. 9.9

Определение 9.7. Отношение фокусного расстояния к большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса.

Определение 9.8. Параметр a называется большой полуосью эллипса, параметр b называется малой полуосью эллипса.

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /

С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 176–177.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 23.

4.49. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 9 x 2 + 4 y 2 = 36.

Решение

Разделив на 36, приведем уравнение к виду

Отсюда следует, что большая полуось эллипса a = 3, а малая полуось b = 2. При этом большая ось эллипса и ее фокусы расположены на оси Oy (рис. 4.10).

Рис. 4.10

По формуле расстояние от фокуса эллипса до начала координат т.е. координаты фокусов F1 (0; -√5) и F2 (0; √5).

Эксцентриситет эллипса по формуле

Цит. по: Высшая математика для экономистов:

Практикум для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям /

[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —

2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —

(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 113.

Тема 7. Гипербола

Определение 9.10. Геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется гиперболой.

(4.25)

— каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем форму гиперболы.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX: y = 0, x = ±

OY: x = 0, y ∈ Ø.

Определение 9.11. Точки A и B называются вершинами гиперболы.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX, OY и начала координат.

3.

Следовательно, кривая расположена вне прямоугольника со сторонами

Построим данную кривую (рис. 9.10).

Рис. 9.10

Определение 9.12. Параметр называется действительной полуосью гиперболы, а параметр b называется мнимой полуосью.

Определение 9.13. Прямые называются асимптотами гиперболы.

При возрастании х гипербола неограниченно приближается к асимптотам.

Определение 9.14. Отношение фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси называется эксцентриситетом.

Определение 9.15. Кривые эллипс, гипербола, окружность называются кривыми второго порядка с эксцентриситетом, причем для окружности ε = 0, для эллипса ε ∈ (0; 1) и для гиперболы ε ∈ (1; + ∞). При ε = 1 гипербола вырождается в две параллельные прямые.

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /

С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 178–179.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 24.

4.50. Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы 9x 2 – 16 y 2 + 144 = 0.

Решение

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив обе части уравнения на (–144):

Следовательно, гипербола имеет фокусы на оси Oy , ее действительная полуось а мнимая полуось b = 4 (рис. 9.11).

Рис. 9.11

Асимптоты гиперболы по формуле: или Вершины данной гиперболы A1 (0; –3), A2 (0; 3). Далее, по формуле: поэтому фокусы расположены в точках F1 (0; –5), F1 (0; 5). Эксцентриситет гиперболы по формуле ε = 5/3.

4.51. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями и гипербола проходит через точку M (10; -3√3). Найти расстояние между фокусами и вершинами гиперболы.

Решение

Так как точка (10; -3√3) лежит на гиперболе (причем выше асимптоты рис. 9.12), то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4.25) Кроме этоготак как асимптоты гиперболы

Рис. 9.12

Решив полученную систему двух уравнений, найдем т.е. уравнение гиперболы Расстояние между вершинами гиперболы между фокусами где

4.52. Дан эллипс Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.

Решение

Полуоси эллипса

По условию для гиперболы а г = сэ = 2, сг = аэ = 3. Следовательно, по формуле и уравнение искомой гиперболы (рис. 9.13).

Рис. 9.13

Цит. по: Высшая математика для экономистов:

Практикум для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям /

[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —

2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —

(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 114–115.

Тема 8. Парабола

Определение 9.16. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, именуется параболой.

у2 = 2 px

— каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OX.

Исследуем форму параболы.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX , OY : y = 0, х = 0, О(0; 0).

Определение 9.17. Точка О называется вершиной параболы.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно оси OX .

3. x ∈ [0; + ∞). Следовательно, кривая расположена правее оси OY .

Построим данную кривую (рис. 9.11).

Рис. 9.11

Если парабола симметрична относительно OY и имеет вершину в начале координат, то ее каноническое уравнение имеет вид x2 = 2 py (рис. 9.12).

Рис. 9.12

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /

С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 180–181.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 25.

4.53. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку A (2; 4) и симметрична относительно оси Ox. Найти фокус и уравнения параболы и ее директрисы.

Решение

Так как парабола проходит через точку O (0; 0) и симметрична относительно оси Ox, то ее уравнение y2 = 2 px. Подставляя координаты точки А в это уравнение, т.е. 42 = 2p × 2, найдем параметр p = 4. Следовательно, уравнение параболы y2 = 8 x. Уравнение ее директрисы x = –2, фокус параболы F (2; 0) ( рис. 9.14 ) .

Рис. 9.14

4.54. Через точку А (3; –1) провести такую хорду параболы которая делилась бы в данной точке пополам.

Решение

Для построения параболы представим ее в виде

т.е. вершина параболы (2; –3). Уравнение прямой (хорды), проходящей через точку А (3; –1) в соответствии с имеет вид: y + 1 = k ( x – 3). Точки пересечения хорды с параболой определяются системой:

решение которой, после исключения y , сводится к уравнению:

или x 2 – 4( k + 1) x + 4(3 k – 1) = 0. (*)

По условию точка А (3; –1) делит хорду пополам, следовательно, где x1 и x2 — корни уравнения (*).

По теореме Виета x1 + x2 = 4( k + 1), следовательно, или xA = 2( k + 1) = 3, откуда и уравнение хорды: или x – 2 y – 5 = 0 (рис. 9.15).

Рис. 9.15

Цит. по: Высшая математика для экономистов:

Практикум для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям /

[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —

2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —

(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 112, 115–116.

Числа и векторы

Тема 1. Действительные числа

Развитие понятия числа

Наиболее общие закономерности и законы экономических явлений выясняются путем качественного анализа, но конкретное выражение их возможно лишь с помощью меры и числа.

Число — важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков.

Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ...

При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число и делить ее на доли не нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли. Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел.

Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.

Обозначаются: где m и n — целые числа; — сокращение дроби; — расширение. Дроби со знаменателем 10n , где n — целое число, называются десятичными:

Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби: — чистая периодическая дробь, — смешанная периодическая дробь.

Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа.

Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической.

Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа — введение действительных (вещественных) чисел — присоединением к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа — это бесконечные десятичные непериодические дроби.

Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре — при извлечении корней примером трансцендентного, иррационального числа являются

Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /

Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —

Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 2.1.

Числа натуральные (1, 2, 3, ...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...), рациональные (представимые в виде m / n, где m и n ≠ 0 — целые числа) и иррациональные (не представимые в виде m / n) образуют множество действительных (вещественных) чисел.

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —

М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 24.

Все действительные числа можно изобразить на числовой оси. Числовая ось (числовая прямая):

а) горизонтальная прямая с выбранным на ней направлением;

б) начало отсчета — точка 0;

в) единица масштаба.

Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /

Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —

Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 2.1.

Свойства действительных чисел

a + b = b + a.

а + (b + с) = (а + b) + с.

а + 0 = а.

а + (–а) = 0.

ab = b а.

a (bc) = (ab) с.

а · 0 = 0.

а · 1 = a.

a (b + c) = ab + ac .

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных и других алгебраических уравнений.

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , где x и y — действительные числа, i - мнимая единица. Число x называется действительной частью, а y - мнимой частью числа z (обозначаются соответственно x = Re (z), y = Im (z)).

Действительное число x является частным случаем комплексного числа z = x + iy при y = 0. Если y ≠ 0, то комплексные числа вида z = x + iy называются мнимыми, а при x = 0, y ≠ 0, т.е. числа вида z = iy , — чисто мнимыми.

Числа z = x + iy и z = x – iy называются комплексно-сопряженными.

Два комплексных числа z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 pавны, если x1 = x2, y1 = y2. Число z = 0, если x = 0, y = 0.

Отношений «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует.

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —

М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 25.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 46.

Степенью с натуральным показателем n называется произведение n одинаковых сомножителей, равных

где — основание степени; n — показатель степени.

В частности, 1n = 1; 0n = 0 (n ≠ 0).

По определению

Правила действий со степенями (а ≥ 0, b > 0, с ≥ 0) (2.2).

(abc)n = an bn cn;

am × an = am + n;

(am)n = amn;

Основные алгебраические формулы:

а2 – b2 = (а – b) (а + b);

(а ± b)3 = а3 ± 3а2b + 3а b2 ± b3;

(а ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ;

a3 ± b3 = (а ± b) (a2 ± ab + b2); (2.3)

(а + b + ... + k + l)2 = а2 + b2 + ... + k2 + l2 + 2 (ab + ... + ak + al + bc +...+ bk + bl + ... + kl);

an – bn = (a – b)(an–1 + an–2 b + an–3 b2 + ... + a bn–2+ bn–1).

(Например, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc); a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4).

Корнем степени n из числа а называется число, n-я степень которого равна заданному числу

(2.4)

где — подкоренное выражение; n — показатель корня (n ∈ N).

(Например, так как 35 = 243.)

По определению

(2.4′)

Действие нахождения корня называется извлечением корня.

Арифметическим корнем, или арифметическим значением корня, n-й степени называется неотрицательное число (n -я степень которого равна а). (Например, — арифметические, — неарифметические корни.) На множестве действительных чисел под корнем четной степени (n = 2k) из неотрицательного числа подразумевается его арифметическое значение (например, а не –3). (На множестве комплексных чисел имеет n значений.)

Выражения, содержащие знак корня (радикал), называются иррациональными.

Правила действий с корнями (а ≥ 0, b > 0, с ≥ 0; n ≥ 2, p ≥ 2 (n, m ∈ N)):

(Например,

Указанные правила безоговорочно верны для арифметических корней.

(Например,

а не

Для четного n = 2k.

т.е.

(например,

так как

так как

По определению степень с рациональным (дробным) показателем

где m ∈ M , n ∈ N.

(Например,

Для степеней с дробным показателем сохраняются те же правила действий со степенями (2.2), приведенные выше.

Формула сложного радикала

Пример 2.1. Упростить выражения:

Решение, а) Учитывая формулы (2.2), (2.3), получаем:

или по формуле (2.7′)

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —

М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 34–37.

Запись n ∈ N означает, что n принадлежит множеству натуральных чисел.

Z означает множество целых чисел.

Тема 2. Скалярные величины и векторы. Действия над векторами.

Величины, которые полностью характеризуются своим численным значением, называются скалярными (скалярами): t °, V , m , время, ...

Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление: F , скорость, ускорение.

Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /

Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —

Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 3.1.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе (рис. 4.4)).

Рис. 4.4

Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например или

Длиной (модулем, или нормой) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными.

Если начало и конец вектора совпадают, например то такой вектор называют нулевым и обозначают Длина нулевого вектора равна нулю: Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119.

Произведением вектора на число λ называется вектор имеющий длину направление которого совпадает с направлением вектора если λ > 0, и противоположно ему, если λ < 0 (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Вектором, противоположным вектору называется произведение вектора на число (–1), т.е.

Суммой двух векторов и называется вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец — с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис. 4.6) (правило треугольника).

Рис. 4.6

Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (см. рис. 4.6) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма трех векторов есть вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец с концом вектора (правило многоугольника) (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Если же векторы некомпланарны, то вектор представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах (правило параллелепипеда) (рис. 4.8).

Рис. 4.8

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат.

Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, координатами вектора на плоскости Оху являются два числа х и у (— рис. 4.9), а в пространстве Oxyz — три числа х , у , z ( — рис. 4.10).

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Вектор может быть записан в виде

где — единичные векторы, или орты, совпадающие с положительными направлениями соответственно осей Ох, Оу, Oz . Векторы называются компонентами вектора а формула (4.35) — разложением вектора по векторам

Длина вектора (см. рис. 4.9 и 4.10) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

или

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —

М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119–121.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов α, β, γ, образуемых вектором с осями координат:

при этом

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 16.

Тема 3. Проекция вектора на ось.

Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка А'В' (где АА' ВВ' — рис. 4.11), т.е. число, взятое со знаком «+», если направление А'В' совпадает с направлением оси l , и со знаком «–», если эти направления противоположны:

Рис. 4.11

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними:

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —

М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 17.

3.4. Даны два единичных вектора и угол между которыми 120°.

Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и б) проекцию вектора на направление вектора

Решение:

Рис.3.4

а) Искомый угол φ (рис. 3.4) определим по формуле (3.13):

По формулам найдем скалярное произведение векторов и и их длины:

Теперь

и

б) По формуле

Найдем

Теперь

Цит. по: Высшая математика для экономистов:

Практикум для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям /

[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —

2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —

(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 66–67.

Пример 4.12. Даны векторы и

Найти: а) скалярное произведение векторов где б) угол между векторами и

Решение, а) По определению

По формуле найдем длины векторов и

По формуле скалярное произведение

б) По формуле угол между векторами и определяется равенством

откуда φ = arccos 0,52 » 58°.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор удовлетворяющий условиям (рис. 4.12):

а) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними, т.е.

б) вектор перпендикулярен каждому из векторов и

в) вектор направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (иными словами, векторы образуют правую тройку векторов).

Рис. 4.12

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —

М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 122–123.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 18.

Примеры

1. Дано: , .

Найти: .

Решение:

.

.

.

2. Дано: , .

Найти: S sin α

Решение:

Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /

Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —

Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 3.3.

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторов и где есть векторное произведение векторов и

Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:

учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —

М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 123.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /

Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 19.

Линейная алгебра

Тема 1. Матрицы. Определитель матрицы

Матрицы

Определение 8.18. Прямоугольная таблица чисел вида

называется прямоугольной матрицей размера m × n , где m - количество строк, а n - количество столбцов.

Определение 8.19. Числа, которые образуют матрицу, - a ij, где называются элементами матрицы.

Определение 8.20. Числа i и j называются индексами элемента a ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент.

Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.

Виды матриц

Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n .

Матрица размера m × 1 называется матрицей-столбцом.

Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой.

Определение 8.21. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.

Определение 8.22. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю.

Определение 8.23. Диагональная матрица n -го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n -го порядка и обозначается Е.

Определение 8.24. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю.

Примеры.

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /

С.И. Макаров. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - С. 125–126.

Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /

Н.С. Знаенко. - Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. - С. 6, 10.

2. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или правилу Сарруса.

где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «–» (правая схема):

5. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

Цит. по: Высшая математика для экономистов:

Практикум для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям /

[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. -

2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -

(Серия «Золотой фонд российских учебников») - С. 11, 12.

Свойства определителей

Теорема 8.8. При транспонировании величина определителя не меняется.

Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т. е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.

Теорема 8.9. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.

Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.

Теорема 8.10. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.

Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.

Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

Теорема 8.11. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т. д.

Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.

Теорема 8.12. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дана прямоугольная матрица А размера m × n .

Определение 8.30. Минором порядка k данной матрицы, где k ≤ min (m; n), называется определитель k -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m - k) строк и (n - k) столбцов.

Пример 8.13.

Определение 8.31. Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы An × n называется определитель (n - 1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен.

Пример 8.14.

Найдем дополнительный минор к элементу a31 .

Определение 8.32. Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij квадратной матрицы An × n называется число Aij = (- 1)i+j × Mij .

Пример 8.15. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a33 .

Теорема 8.13. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

- разложение определителя по i -й строке.

Теорема 8.14. Сумма попарных произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки (столбца) равна нулю.

Вычисление определителей порядка n > 3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теорем 8.12 и 8.13.

Пример 8.16.

разложение определителя по первому столбцу

Перед разложением определителя для удобства получают в одном из столбцов нули. Это сокращает объемы вычислений. Для этого используют теорему 8.12. Одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками.

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /

С.И. Макаров. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - С. 131–134.

1.24. Вычислить определители матрицы A :

Решение:

а) По формуле

б) Определитель вычисляется по формуле (1.8). Запоминать эту формулу не следует, достаточно применить правило треугольников, согласно которому три произведения элементов, показанных на левой схеме (п. 2), берутся со знаком «+», а три других произведения элементов, показанных на правой схеме (п. 2), берутся со знаком «–»

| A | = 1 × 1 × 1 + 0 × 2 × 2 + 0 × 5 × 3 – 0 × 1 × 0 – 1 × 2 × 3 – 1 × 2 × 5 = –15.

1.25. Вычислить тот же определитель, приведенный в задаче 1.24 , б , используя его разложение по элементам: а ) первой строки; б ) второго столбца.

Решение:

а) Находим алгебраические дополнения элементов первой строки по формуле :

Теперь по теореме Лапласа (1.10) :

| A | = a11 × A11 + a12 × A12 + a13 × A13 = 1 × (– 5) + 2 × (– 5) + 0 × 15 = –15.

б) Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца:

Теперь по формуле (1.8) :

| A | = a21 × A21 + a22 × A22 + a32 × A32 = 2 × (– 5) + 1 × 1 – 3 × 2 = –15.

1.26. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

Решение: С помощью эквивалентных преобразований приведем матрицу A к треугольному виду. Если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся того, чтобы элемент a11 = 1. В данном случае достаточно поменять местами 1-й и 3-й столбцы; при этом меняется знак определителя матрицы A :

Умножая элементы 1-й строки на числа (–aij); i = 1, 2, 3, 4, т.е. в данном случае на числа 1, (–2), (–1), и прибавляя их соответственно к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк, добиваемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме a11) равнялись нулю:

Далее, если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся, чтобы новый элемент a22 = 1. В данном случае это возможно, если переставить 2-ю и 3-ю строки; при этом меняется знак определителя. Умножая элементы 2-й строки, полученной матрицы на числа (–a12) (i = 3, 4), в данном случае на числа (–2) и 1, добиваемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме a22) равнялись нулю.

Для получения треугольной матрицы в данном случае достаточно прибавить элементы 3-й строки полученной матрицы к элементам 4-й. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:

Цит. по: Высшая математика для экономистов:

Практикум для студентов вузов,

обучающихся по экономическим специальностям /

[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. -

2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -

(Серия «Золотой фонд российских учебников») - С. 13–14.

Тема 2. Метод решения систем линейных уравнений Крамера

Решение системы с помощью формул Крамера

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Теорема 8.22. (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля (|A| ≠ 0), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

где D =|A| - главный определитель,

Dj - j -й вспомогательный определитель, который получен из определителя D заменой j -го столбца столбцом свободных членов.

Пример 8.20.

Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными справедливы свойства:

если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет;

если главный определитель и оба вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /

С.И. Макаров. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - С. 145–146.

Рассмотрим систему уравнений:

(1)

Введем обозначения:

Если определитель системы Δ ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение: .

Пример: решить систему уравнений:

Решение:

Составим и вычислим определители:

.

Система имеет единственное решение:

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными.

(2)

Введем обозначения:

- определитель системы.

Определители Δx, Δy, Δz получаются из определителя системы Δ путем замены соответственно первого, второго и третьего столбца столбцом свободных членов d1, d2, d3.

Если определитель системы Δ ≠ 0, то существует единственное решение системы (2):

Пример. Решить систему уравнений:

Вычисляем определитель системы Δ и определители Δx , Δy , Δz разложением определителей по элементам первой строки:

Так как Δ ≠ 0, то система имеет только одно решение:

Рассмотрим применение систем в прикладных задачах.

Пример. Из двух сортов бензина образуются две смеси A и B. Смесь A содержит 60% бензина 1-го сорта и 40% 2-го сорта, смесь B содержит 80% бензина 1-го сорта и 20% 2-го сорта.