Русский язык. Новый документ в формате RTF. Тема Действительные числа
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
Какой процент начисляет каждый банк? Решение. Введем следующие неизвестные: x1 — процент, начисляемый вкладчику в первом банке; x2 — процент, начисляемый вкладчику во втором банке; x3 — процент, начисляемый вкладчику в третьем банке. Вклад в первый банк составил (3/8) × 800 = 300 тыс. руб. Вклад во второй банк составил (1/8) × 800 = 100 тыс. руб. Вклад в третий банк составил (4/8) × 800 = 400 тыс. руб. Начислено в первом банке за год тыс. руб. Начислено во втором банке за год тыс. руб. Начислено в третьем банке за год тыс. руб. Всего на вклад в 800 тыс. руб., сделанный в три банка (в первый было начислено 300 тыс. руб., во второй — 100 тыс. руб., в третий — 400 тыс. руб.), было начислено за год: 907 — 800 = 107 тыс. руб. Таким образом, первое уравнение системы: 3x1 + x2 + 4x3 = 107 Аналогично получим два других уравнения системы: x1 + 4x2 + 3x3 = 894 – 800 = 94 4x1 + 3x2 + x3 = 903 – 800 = 103. Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: Решим эту систему методом Гаусса. Система решена, она имеет единственное решение: x1 = 15; x2 = 10; x3 = 13. Таким образом, решив систему уравнений, мы нашли, что первый банк выплачивает 15% годовых, второй банк — 10% годовых, а третий банк — 13%. Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс / Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 6.11. 2.1. Методом обратной матрицы решить систему уравнений: Решение. Обозначим: Тогда в матричной форме система имеет вид: АХ = В. Определитель матрицы т.е. обратная матрица А –1 существует : Теперь по формуле X = A-1 B: Ответ :(3; 2; – 1). Цит. по: Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 35. Точнее данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа. Аналитическая геометрия Тема 1. Прямая на плоскости Пример 1 Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x – 2y = 0 и 5x + y = 0 и точку M1 (5; 17). План решения 1. Найти точку пересечения прямых, которую обозначим M2, для этого требуется решить систему уравнений 2. Использовать уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1 ; y1) и M2 (x2 ; y2): . 3. Привести полученное уравнение к общему виду Ax + By + C = 0, воспользовавшись свойством пропорции ( ). Решение Комментарий Решим систему уравнений Подставим найденное значение х = 3 в одно из уравнений, например, в первое уравнение: 9 - 2у - 5 = 0, 2y = 4, y = 2. Таким образом, M2 (3; 2) ‑ точка пересечения прямых. Составим уравнение прямой, проходящей через две точки: . Целесообразно использовать метод алгебраического сложения. Для этого уравнять коэффициенты перед одной из переменных, а затем сложить уравнения. Можно обе части разделить на 2, тогда уравнение примет вид: x + y – 1 = 0. Пример 3 Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 5y – 9 = 0 и –3x + 2y + 1 = 0. План решения 1. Решить систему уравнений Решение Решим систему уравнений методом алгебраического сложения (можно методом подстановки). Подставим y = 1 в первое (второе) уравнение системы. Получим 4x + 5 × 1 – 9 = 0, 4x – 4 = 0, x = 1. Точка пересечения имеет координаты (1; 1). Пример 5 Даны вершины ΔABC , A (1; 2), B (–3; 3), C (5; 0). Найдите уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины A . План решения 1. Найти координаты вектора 2. Высота, опущенная из вершины A, это прямая, проходящая через точку A и перпендикулярно стороне BC. Поэтому воспользоваться уравнением прямой, проходящей через точку и перпендикулярно вектору: A (x – x0 ) + B (y – y0) = 0. 3. В это уравнение вместо x0, y0 подставить координаты точки A , вместо A и B подставить координаты вектора 4. Привести уравнение к виду Ax + By + C = 0. Решение Подставим координаты точки и вектора в уравнение прямой A (x – x0) + B (y – y0) = 0: 8(x – 1) – 3(y – 2) = 0, 8x – 8 – 3y + 6 = 0, 8x – 3y – 2 = 0. Пример 7 Найдите уравнение прямой, проходящей через точки M1 (–4; 3) и M2 (5; –2). План решения 1. Использовать уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1 ; y1) и M2 (x2 ; y2): 2. В это уравнение вместо x1, y1 подставить координаты точки M1, а вместо x2, y2 подставить координаты точки M2 . 3. Пользуясь свойством пропорции, привести полученное уравнение к виду Ax + By + C = 0. Решение , . Подставим координаты этих точек в уравнение прямой: , , –5(x + 4) = 9(y – 3), –5x – 20 – 9y + 27 = 0, –5x – 9y + 7 = 0. Пример 9 Найдите угол между прямыми y = 5x + 7 и 3x + 2y – 1 = 0. План решения 1. Привести уравнения прямых к виду l 1 : k1x + b1 и l 2 : k2x + b2 и определить угловые коэффициенты прямых k1 и k2 . 2. Воспользоваться формулой для нахождения угла φ между прямыми l1 и l2: . Решение l 1 : y = 5x + 7, k = 5. Следовательно, φ = 45°. Замечание Если tg φ < 0, то φ — тупой угол. Пример 11 Уравнение 4x – 3y + 24 = 0 преобразовать к уравнению «в отрезках». План решения Уравнение «в отрезках» имеет вид . 1. Перенести свободный член вправо и разделить обе части уравнения на него. 2. Все коэффициенты и знаки убрать в знаменатели дробей. Решение 4x – 3y + 24 = 0, , . Пример 13 Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 3 и составляющей с осью Ox угол φ = 60°. План решения 1. Воспользоваться уравнением прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b , где k = tg φ, φ — угол между прямой и осью Ox , b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy . Решение y = kx + b , b = 3. Пример 15 Стороны AB , BC , AC треугольника ABC заданы соответственно уравнениями 8x + 3y + 1 = 0, 2х + у - 1 = 0, 3x + 2y + 3 = 0. Определить координаты вершин треугольника. План решения Вершины ΔABC — это точки пересечения соответствующих сторон. 1. Решить три системы уравнений, беря попарно уравнения сторон ΔABC . Решение Решение Комментарий AB: 8x + 3y + 1 = 0, BC: 2x + y – 1 = 0, AC: 3x + 2y + 3 = 0. 8 × 1 + 3y + 1 = 0, 3y = –9, y = –3. Таким образом, A (1; –3). 8 × (–2) + 3y + 1 = 0, 3y = 15, y = 5. Таким образом, B (–2; 5). 2 × 5 + y – 1 = 0, y = –9. Таким образом, C (5; –9). В итоге: A (1; –3), B (–2; 5), C (5; –9). Вершина A образована пересечением сторон AB и AC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон. Систему решаем методом алгебраического сложения. Уравниваем коэффициенты перед y . Найденное значение x подставим в первое (или второе) уравнение. Все остальные системы решаем аналогично. Вершина B образована пересечением сторон AB и BC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон. Подставим x = –2 в первое уравнение. Вершина C образована пересечением сторон AC и BC, поэтому решим систему уравнений, составленную из уравнений этих сторон. Подставим x = 5 во второе уравнение системы. Пример 17 Даны вершины ΔABC , A (2; –2), B (3; –5), C (5; 7). Напишите уравнения его сторон. План решения Каждая сторона треугольника — это прямая, проходящая через две точки. 1. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки M1 (x1 ; y1) и M2 (x2 ; y2): . 2. Определить через какие точки проходит каждая сторона. Решение , , , . Приведем уравнение к общему виду –3(x – 2) = 1(y + 2), –3x + 6 = y + 2. –3x – y + 4 = 0 или 3x + y – 4 = 0. , , , . 12(x – 3) = 2(y + 5), 12x – 36 = 2y + 10, 12x – 2y – 46 = 0 или 6x – y – 23 = 0. , , , . 9(x – 2) = 3(y + 2), 9x – 18 = 3y + 6, 9x – 3y – 24 = 0 или 3x – y – 8 = 0. В итоге уравнения сторон имеют вид: AB: 3x + y – 4 = 0, BC: 6x – y – 23 = 0, AC: 3x – y – 8 = 0. Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 5–11. Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве Пример 19* Найти расстояние от точки P (2; 3; –1) до прямой План решения 1. Определить координаты направляющего вектора прямой, заданной уравнением и координаты точки M1 (x0; y0; z0). 2. Найти векторное произведение векторов и 3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и 4. Найти расстояние d, которое является высотой параллелограмма: , где — длина вектора Решение Решение Комментарий координаты точки M1 (1; 2; 13), координаты направляющего вектора Найдем векторное произведение векторов и . Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Высота параллелограмма и есть искомое расстояние . Тогда — расстояние от точки P до прямой. Векторное произведение векторов и - это вектор, координаты которого определяются формулой , т.е. площадь параллелограмма равна длине вектора векторного произведения. Пример 21 Найдите координаты точки K пересечения прямой с плоскостью x + 2y – 3z – 4 = 0. План решения 1. Уравнение прямой записать в параметрическом виде: где M0 (x0; y0; z0) — координаты точки, — координаты направляющего вектора. 2. Решить систему уравнений: Решение Из канонического уравнения прямой возьмем точку M0 (2; 3; –1) и направляющий вектор и запишем уравнение прямой в параметрическом виде: Решим систему уравнений, состоящую из параметрических уравнений и уравнения плоскости: Выражения для x, y и z подставим в последнее уравнение и найдем t : (2 + 4 t) + 2 (3 + 2t) – 3 (–1 + 5 t) – 4 = 0, 2 + 4 t + 6 + 4 t + 3 – 15 t – 4 = 0, –7 t + 7 = 0, t = 1. Делая обратную подстановку, найдем x, y и z: , , . Таким образом, координаты точки пересечения прямой и плоскости K (6; 5; 4). Пример 23 Найти острый угол между прямыми План решения 1. Найти координаты направляющих векторов 2. Воспользоваться формулой где — модуль скалярного произведения векторов и — длины векторов и Решение Из уравнения прямых имеем Пример 25 Составить канонические уравнения прямой План решения 1. Записать канонические уравнения прямой Чтобы их составить нужно знать координаты точки M0 (x0; y0; z0) и координаты направляющего вектора 2. Найти координаты точки M0. Для этого одну из переменных приравнять к нулю и решить полученную систему. 3. Найти координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора взять вектор где — координаты нормальных векторов плоскостей, определяющих прямую как линию их пересечения, т.е. если то Тогда Решение 1. Найдем координаты точки M0. Для этого приравняем в данной системе z к нулю, т.е. пусть z = 0. Тогда система примет вид Подставим найденное значение x в первое уравнение системы. 2(–14) – 2y + 3 = 0, –28 – 2y + 3 = 0, – 2y – 25 = 0, Таким образом, M0 (–14; –12,5; 0) . Замечание Точка M0 может иметь другие координаты. Всё зависит от того, какое значение и какой переменной придается. 2. Найдем координаты направляющего вектора. Для этого определим координаты нормальных векторов: и Тогда Таким образом, канонические уравнения имеют вид Пример 27 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (3; –4; 2) и (2; 5; –1). План решения 1. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки M1 (x1; y1; z1) и M2 (x2; y2; z2): Решение и . Пример 29 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M1 (5; –3; 2) и параллельно вектору План решения 1. Воспользоваться уравнением где M0 (x0; y0; z0) — координаты точки; — координаты направляющего вектора. Решение Пример 31* Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Oy и точку M1 (3; –2; 5). План решения Для составления данного уравнения плоскости следует воспользоваться условием компланарности трех векторов. 1. Взять точку M (x; y; z) с текущими координатами, лежащую в искомой плоскости. 2. Найти координаты векторов и 3. На оси Oy взять единичный вектор 4. Составить уравнение плоскости в виде т.е. . Решение Возьмем точку M (x; y; z). Найдем координаты векторов и Составим уравнение , , –5x + 3z = 0. Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 11–16. Тема 3. Взаимное расположение прямых Пример 33* Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми и План решения 1. Найти координаты точек, лежащих на прямых. Если прямая задана параметрическими уравнениями и то M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2). 2. Найти координаты направляющих векторов 3. Воспользоваться формулой , знак «+» берется, если определитель третьего порядка положителен, «–» — в противном случае. Решение M1 (3; 7; 1), M 2 (5; 8; 2), ; вычислим отдельно . Таким образом, Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 16–17. Тема 4. Прямая и плоскость Пример 35* Найдите координаты точки Q, симметричной точке P (2; 1; –1) относительно плоскости, проходящей через точки M1 (1; 2; –3), M2 (2; 0; 1), M3 (–3; 1; 2). План решения 1. Составить уравнение плоскости α, проходящей через точки M1 (x1 ; y1 ; z 1), M 2 (x2 ; y2 ; z2), M3 (x3 ; y3 ; z3) по формуле 2. Найти точку R, проекцию точки P на плоскость Для этого: 2.1. Составить уравнение перпендикуляра к плоскости проходящего через точку P , воспользовавшись уравнением где (x 0 ; y 0 ; z 0) — координаты точки P , (p ; q ; r ) — координаты направляющего вектора, в качестве которого выступает нормальный вектор плоскости 2.2. Найти точку R, как пересечение прямой PR и плоскости решив систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и плоскости. 3. Найти точку Q, которая является вторым концом отрезка PQ, для которого серединой будет точка R — проекция точки P на плоскость Для этого воспользоваться формулами x2 = 2x – x1 , y 2 = 2y – y1 , z2 = 2z – z1 , где (x1 ; y1 ; z1) — координаты точки P , (x ; y ; z) — координаты точки R . Решение Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M1 , M2 , M3: , , –2x – 7y – 3z + 7 = 0 — уравнение плоскости. Координаты нормального вектора плоскости: Составим уравнение перпендикуляра к плоскости проходящего через точку P : Найдем точку R, пересечения перпендикуляра и плоскости: Следовательно, , , . Точка Найдем координаты точки Q по формулам: , , . Пример 37 Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые План решения 1. Взять точку M (x ; y ; z) с текущими координатами. 2. Записать координаты направляющего вектора и координаты точек M1 (x1 ; y1 ; z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2), лежащих на прямых. 3. Найти координаты векторов 4. Составить уравнение плоскости по формуле . Решение M (x ; y ; z), M1 (–2; 1; –3) , M2 (1; –2; 2) , Уравнение плоскости , , –21x – y + 12z –5 = 0 — уравнение плоскости. Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 17–19. Тема 5. Окружность Определение 9.9. Геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до данной точки О , называемой центром, есть величина постоянная, называется окружностью. — каноническое уравнение окружности. Окружность является частным случаем эллипса, когда большая и малая полуоси равны, с = 0, фокусы сливаются в центр. Эксцентриситет окружности равен нулю. |