Сколько тонн смеси A и смеси B можно образовать, полностью, используя 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта?
Решение. Расположим все данные в таблице.
Наличие бензина Вид смеси Процентное содержание
1-го сорта 2-го сорта 1-го сорта 2-го сорта
50 т 30 т А 60% 40%
В 80% 20%
Обозначим через x1 количество тонн смеси A, через x2 количество тонн смеси B, которые можно образовать из наличного бензина, полностью его используя. На каждую тонну смеси A идет 0,6 т (60%) бензина 1-го сорта, на x1 тонн - 0,6 x1 тонн бензина 1-го сорта. Аналогично, на x2 тонн смеси B уходит 0,8 x2 тонн бензина 1- го сорта. Следовательно, должно быть: 0,6 x1 + 0,8 x2 = 50.
Расход бензина второго сорта на смеси A и B составляет 0,4 x1 + 0,2 x2 тонн, то есть 0,4 x1 + 0,2 x2 = 30.
Итак, получили систему:
Решаем ее методом Крамера:
Таким образом, из 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта образуют 70 т смеси A и 10 т смеси B .
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. - Электронный курс. - М: МИЭМП, 2007. -
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. - П. 6.4.
2.2. По формулам Крамера решить систему:
Решение: Определитель следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц Δ1, Δ2, Δ3, полученных из матрицы A заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
Теперь по формулам Крамера :
Ответ: (1; 0; –2).
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. -
2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -
(Серия «Золотой фонд российских учебников») - С. 36.
Тема 3. Ранг и базисные строки матрицы
1. Рангом матрицы A (rang А или r (А)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
2. Свойства ранга матрицы:
а) если матрица А имеет размеры m × n , то rang A ≤ min (m; n);
б) rang A = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны 0;
в) если матрица А — квадратная порядка n, то rang A = n тогда и только тогда, когда |А| ≠ 0.
3. Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:
а) отбрасывание нулевой строки (столбца);
б) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;
в) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;
г) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
д) транспонирование матрицы.
4. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:
Ранг ступенчатой матрицы равен r .
5. Строки (столбцы) матрицы е1 , е2 , ..., еm называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ1 , λ2 , …, λm не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: λ1е1 + λ2е2 + … + λmеm , где 0 = (0, 0, …, 0). В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.
6. Теорема о ранге матрицы:
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 19–20.
Определение. Рангом матрицы называется число ненулевых строк в ее ступенчатом виде.
Ранг матрицы A обозначается r (A) = rang (A). Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях и не зависит от способа приведения матрицы A к ступенчатому виду.
Пример. Найти ранг матрицы:
Решение. Приведем матрицу A к ступенчатому виду.
Ранг матрицы A равен двум, r (A) = rang (A). В любой матрице A с рангом r (А) = k найдутся такие k строки, что ранг матрицы, составленной их этих строк, также равен k . Такие строки матрицы A называются базисными . Если при приведении матрицы A к ступенчатому виду не использовать прибавление какой-либо строки низшей, чем данная, то базисные строки матрицы A — это в точности те строки, которые при приведении к ступенчатому виду перешли в ненулевые строки. Найдем базисные строки матрицы в последнем примере. Для этого будем отмечать ненулевые строки слева, начиная с последней матрицы (ступенчатого вида матрицы A). Затем отметим соответствующие им строки у каждой матрицы, учитывая изменение положения строк (элементарные преобразования 1-го типа). У матрицы A базисные строки 3-я и 4-я.
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 6.5.
1.51. Найти ранг матрицы:
Решение. Матрица А имеет размер 4 × 3, значит, r (А) ≤ 3. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы, приведем матрицу А к ступенчатому виду.
1) Транспонируем матрицу А :
2) Умножим элементы 1-й строки на (–1), сложим ее со 2-й и 3-й строками матрицы. В новой матрице поменяем местами 2-ю и 3-ю строки:
3) Умножим элементы 2-й строки на 3 и сложим с элементами 3-й строки:
Получили ступенчатую матрицу размера 3 × 4, у которой 3 ненулевых элемента на главной диагонали, значит, r (А) = 3. Эта матрица имеет ненулевой минор 3-го порядка, например,
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 20–21.
Тема 4. Операции над матрицами
Определение 8.25. Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица обозначается АТ .
Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали.
Определение 8.26. Суммой (разностью) двух матриц одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц.
Определение 8.27. Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число.
Пример 8.7.
Определение 8.28. Произведением двух матриц А и В , размеры которых заданы соотношением: количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, называется матрица С , у которой количество строк равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.
Пример 8.8.
Умножить В на А нельзя, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А .
Пример 8.9.
В · С ≠ С · В. Произведение матриц не коммутативно!
Пример 8.10.
А · Е = Е · А = А
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 127–129.
5. Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень m (m > 1):
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 7.
Тема 5. Свойства операций над матрицами
Обратная матрица
Определение 8.33. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной - в противном случае.
Определение 8.34. Матрица называется обратной к квадратной матрице А n -го порядка, если А × А - 1 = А - 1 × А = Е .
Теорема 8.15. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.
Доказательство. 1 часть (единственность).
Предположим, что обратная матрица существует. Докажем, что она единственная. Предположим противное, т. е. существует две обратные матрицы:
Тогда А × А - 1 = А - 1 × А = Е и
Рассмотрим равенство
А × А - 1 = Е .
Умножим его слева на
Получили противоречие.
2 часть (существование). Дана матрица
Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий:
1) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями:
-матрица, присоединенная к матрице А ;
2) транспонируем полученную матрицу:
3) разделим все элементы на число |А|
Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на Элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце матрицы произведения, будет равен
Элементы матрицы-результата совпадают с элементами единичной матрицы Е . Следовательно, А × А - 1 = Е , т. е. - обратная матрица к А .
Таким образом, для произвольной невырожденной матрицы можно построить обратную матрицу и, следовательно, обратная матрица существует. Теорема полностью доказана.
Элементарные преобразования над матрицей.
Нахождение обратной матрицы
Определение 8.35. Элементарными преобразованиями над матрицей называются:
1) умножение любой строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и то же число;
3) перестановка строк;
4) отбрасывание строки из нулей.
Определение 8.36. Две матрицы называются эквивалентными (А
В), если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.
Теорема 8.16. Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице того же порядка. Применяя ту же последовательность элементарных преобразований к единичной матрице, можно получить обратную матрицу к данной.
Обычно элементарные преобразования производят над данной матрицей и единичной одновременно. Для этого составляют расширенную матрицу, в левой части которой стоит исходная матрица, а в правой -единичная матрица того же порядка. С помощью элементарных преобразований в левой части создают единичную матрицу, параллельно в правой части автоматически создается обратная матрица.
Пример 8.17. Пусть дана матрица
Составим расширенную матрицу:
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. -2-е изд., стер. -М.: КНОРУС, 2008. -С. 134–137.
Обратная матрица
где Δ - определитель матрицы A (Δ ≠ 0)
A ij - алгебраические дополнения элементов a ij матрицы А.
A × A –1 = A –1 × A = E
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. -Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. -С. 9.
Пример. Для матрицы найти обратную матрицу
Решение:
.
Итак, .
Мы проверили ранее, что | A | ≠ 0, следовательно, A имеет обратную матрицу. Запишем рядом с матрицей A матрицу E размерности 4 × 4 и приведем (A / E) к ступенчатому виду Гаусса.
Легко сделать проверку умножением матриц
A × A –1 = A –1 × A = E .
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. -Электронный курс. -М: МИЭМП, 2007. -
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. - П. 6.7.
Приведем основные свойства операций над матрицами.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. -2-е изд., стер. -М.: КНОРУС, 2008. -С. 129–130.
Тема 6. Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений
Система m линейных уравнений с n неизвестными:
где x1, x2, …, xn — неизвестные;
— коэффициенты при неизвестных;
bi — свободные члены.
— решение системы, т. е. набор чисел, при подстановке которых в систему каждое уравнение системы превращается в тождество.
— однородная система
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 13.
Системы линейных уравнений
Определение 8.40. Система вида
называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x1, x2, …, xn — неизвестные, aij , i = , j = — коэффициенты при неизвестных, b1, b2, …, bm — свободные члены.
Определение 8.41. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной — в противном случае.
Определение 8.42. Решением системы называется совокупность из n чисел с1, с2, …, сn, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.
Определение 8.43. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
Определение 8.44. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной — в противном случае.
При изучении систем исследуют три вопроса:
1) совместна система или нет;
2) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;
3) нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 142.
Тема 7. Матрица системы
Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид
или в краткой записи с помощью знаков суммирования:
В матричной форме система (4.22) имеет вид
AX = B, (4.24)
где
называются соответственно матрицей системы, матрицами-столбцами переменных и свободных членов. В векторной форме система (4.22) имеет вид
где - векторы-столбцы при переменных x1 , х2, ..., хn; В - вектор-столбец свободных членов.
Если число уравнений равно числу переменных, т.е. m = n, и квадратная матрица А - невырожденная (|A | ≠ 0), то система (4.22) имеет единственное решение:
X = A –1B. (4.26)
Рассмотрим систему
в общем виде, когда число уравнений m не равно числу переменных, т.е. m ≠ n.
Расширенной матрицей системы называется матрица (A \ В), полученная из матрицы системы А добавлением к ней столбца свободных членов этой системы, т.е.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы ( A \ В) этой системы.
Результаты исследования системы (4.22) приведены в виде схемы (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Пусть r < n; r переменных x1 , х2 , …, xr , называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r переменных называются неосновными (или свободными).
Решение системы (4.22), в котором все n - r неосновных переменных равны нулю, называется базисным. Базисное решение, в котором хотя бы одна из основных переменных равна нулю, называется вырожденным.
Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m < n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее числа сочетаний где r ≤ m.
Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. -
М.: Высшее образование, 2009. - (Основы наук) - С. 110, 112–113.
Решение произвольных систем линейных неоднородных уравнений
Пусть дана неоднородная система m линейных уравнений с n неизвестными
Предположим, что система совместна, т. е. r (A ) = = r ≤ min (m ; n). Следовательно, существует минор порядка r матрицы А, отличный от нуля. Предположим, что он расположен в левом верхнем углу матрицы. Если это не так, то можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные.
Первые r уравнений системы линейно независимы. Остальные выражаются через них. Следовательно, их можно отбросить.
Определение 8.45. Переменные, коэффициенты при которых образуют минор, отличный от нуля (базисный минор), называются базисными переменными (x1 , x2 , …, xr ). Остальные переменные xr + 1 , …, xn называются свободными.
Дадим свободным переменным произвольные числовые значения xr+ 1 = сr+ 1 , xr+ 2 = с r+ 2 , …, xn = cn .
Запишем систему в виде
Мы получили систему из r линейных уравнений с r неизвестными, определитель которой отличен от нуля. Она имеет единственное решение.
- общее решение.
Определение 8.46. Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы.
Определение 8.47. Решение системы, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных, называется частным решением. Частных решений у системы бесконечно много, все они содержатся в общем решении.
Определение 8.48. Частное решение, полученное из общего, когда свободные переменные равны нулю, называется базисным решением системы.
Определение 8.49. Базисное решение, координаты которого неотрицательны, называется опорным решением системы.
Пример 8.21.
Переменные х1 и х2 - базисные, х3 и х4 - свободные.
Сложим уравнения и результат разделим на 2. Вычтем из второго уравнения первое и результат разделим на 2. Получим
- общее решение.
Из него можно получить частные и базисное решения.
- частное решение, полученное при х3 = 2 и х4 = 1.
- базисное решение при х3 = х4 = 0. Оно же является опорным.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. - 2-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2008. - С. 147–149.
Тема 8. Метод Гаусса
4. Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида (4.22 - см. Тема 7). Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (АВ), приписывая к матрице А столбец свободных членов В , затем матрицу (АВ) с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду (так называемый «прямой ход»); далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных: начиная с последних (по номеру) переменных находят все остальные (так называемый «обратный ход»).
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 35.
Определение 8.50. Элементарными преобразованиями системы называются:
1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
3) перестановка двух уравнений;
4) отбрасывание уравнения 0 = 0.
Если получено уравнение 0 = k , то система несовместна.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 149–150.
2.3. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы. Необходимо на первом шаге, чтобы а11 ≠ 0, но удобнее для вычислений, чтобы а11 = 1. Поэтому поменяем местами первую и четвертую строки, чтобы а11 стал равным 1:
Шаг 1. Умножим элементы первой строки на – 5, 3 и – 2 и прибавим их соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк, чтобы под элементом а 11 в первом столбце образовалась «ступенька» из нулей.
Для проведения второго шага необходимо, чтобы в новой матрице а22 ≠ 0 , но удобнее, чтобы а22 = 1 или а22 = –1. Поэтому переставим вторую и третью строки:
Шаг 2. Элементы второй строки умножаем на 4 и 3 и прибавляем соответственно к элементам третьей и четвертой строк, тогда под элементом a22 во втором столбце появится вторая «ступенька».
Шаг 3. Так как в полученной матрице а33 = 26 ≠ 0 , умножаем элементы третьей строки на и прибавляем к элементам четвертой строки. Получим:
Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система имеет вид:
Из последнего уравнения х4 = 1, из третьего
из второго х2 = 11 + 11х3 – 4х 4 = 11 + 110 – 41 = 7,
из первого х1= –4 + х2 – 4х3 + 2х4 = –4 + 7 – 4 × 0 + 2 × 1 = 5.
Ответ: (5; 7; 0; 1) .
Замечание. Обратный ход метода Гаусса можно проводить и с расширенной матрицей, не переходя к системе, если эту матрицу с помощью элементарных преобразований привести к диагональной. Умножим элементы четвертой строки на 13/19. Затем элементы последней строки (а44 =1 ≠ 0) умножим на 7, 4, 2 и прибавим соответственно к элементам третьей, второй и первой строк:
Далее умножим элементы третьей строки на 1/26, а затем, учитывая, что а33= 1 ≠ 0, — на (–4) и (–11) и прибавим к элементам первой и второй строк, а потом от первой строки отнимаем вторую (а22= – 1 ≠ 0):
Левая часть расширенной матрицы приведена к диагональному виду. Выпишем систему:
Ответ: (5; 7; 0; 1) .
2.4. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам первой строки элементы второй:
Последняя строка соответствует уравнению 0 × x1 + 0 × х2 + 0 × x3 = –7, которое не имеет решений; следовательно, система несовместна.
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 36–39.
Пример. Найти общее решение системы:
Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду Гаусса:
.
Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы, которая равносильна исходной. Выпишем систему линейных уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Неизвестные x1 и x2 , соответствующие опорным элементам строк полученной матрицы, называются базисными, каждое из них входит в новую систему с коэффициентом единица и только в одно уравнение. Остальные неизвестные называются свободными . Выразим базисные неизвестные через свободные:
Свободные неизвестные — это произвольные числа, которые можно обозначить: x3 = с1 ; x4 = c2 , тогда x1 и x2 однозначно вычисляются и общее решение системы имеет вид:
Число констант равно разности между числом неизвестных 4 и рангом матрицы системы 2.
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 6.10.
Тема 9. Матричная форма решения системы
Матричная форма решения системы
Обозначим через X столбец неизвестных, а через B столбец свободных членов. A — матрица системы:
.
Тогда система может быть записана в виде: A × X = B (4).
Это матричный вид системы .
Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных. Тогда матрица системы A является квадратной. Если определитель A отличен от нуля, то r ( A ) = n. Так как r ( A / B ) = n, следовательно, r ( A / B) = r (A) = n и по теореме Кронекера-Капелли система имеет решение. Это решение может быть записано формулой:
X = A –1 × B, A –1 существует, так как | A | ≠ 0.
Пример. Решить систему уравнений:
Решение. Составим матрицу этой системы:
Ранее мы нашли обратную матрицу для A :
Ответ: x1 = 2; x2 = 3; x3 = –1; x4 = –2 .
Рассмотрим применение систем линейных уравнений в экономике.
Пример. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка).
В начале года 3/8 вклада, который составляет 800 тыс. руб., вложили в первый банк, 1/8 во второй банк и оставшуюся часть вклада в третий банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 907 тыс. руб. Если бы первоначально 1/8 вклада положили в первый банк, 4/8 вклада — во второй банк, оставшуюся часть вклада — в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 894 тыс. руб. Если бы 4/8 вклада вложили в первый банк, 3/8 вклада — во второй банк, оставшуюся часть вклада — в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов была бы равна 903 тыс. руб.
|
Скачать 1.39 Mb.