криывые. Тема 3 Кривые роста-перетворено. Тема к ри в ы е рос т а

• Название: Тема к ри в ы е рос т а
• Анкор: криывые
• Дата: 17.03.2020
• Размер: 71.12 Kb.
• Имя файла: Тема 3 Кривые роста-перетворено.docx
• Тип: Анализ; #112249
• страница: 5 из 6

t

Рис. 3.17. Ордината кривой Гомперца при log a0, b1


t
Рис. 3.18. Ордината кривой Гомперца при log a0, b1
Если log a0 , то верхний предел ординаты равен k, нижний – 0, если же log a0 , то асимптота проходит ниже кривой. Наиболь- ший интерес для экономиста, естественно, представляет кривая

Гомперца, у которой log a0, b1 (рис. 3.15).

При анализе кривой Гомперца можно выделить четыре эта- па в развитии уровня, границы между которыми более менее

условны. Если b1 , при log a0 , то обнаруживается, что на первом

этапе прирост незначителен, причем он медленно увеличивается по мере роста t, на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, затем, после перегиба, приросты начинают уменьшать- ся. Вблизи от линии асимптоты приросты опять незначительны.

Данная кривая имеет следующую характерную особенность: Отношение последовательных приростов ординат в лога- рифмах (ординаты равноудалены друг от друга во времени) по-

стоянно.

log у^ˆ_t1  log у^ˆ<sub>t

</sub> log (в^t1  в^t_{  .}

log у^ˆ

_t log у^ˆ_t1

log (в^t в^t1

в сonst.

Прологарифмируем выражение (3.12), тогда получим:

log у^ˆ  log k  в^tlog a
t


(3.13)

Как видно,

log у^ˆ_t

представляет собой модифицированную

экспоненту для логарифмов уровней (см.уравнение 3.10).Найдем теперь для этой кривой такое преобразование характеристик при- ростов и уровней, которое было бы линейным относительно t. Для этого определим с помощью производной темп прироста:

 ^*  в^tln a ln в .
пр.


Прологарифмируем полученный результат, получим иско-

мое линейное выражение: ln^*  ln(ln a)  ln(ln в)  tln в. Таким образом,
пр


для кривой Гомперца линейно относительно времени изменяются логарифмы темпов прироста ординат.

Кривая Гомперца часто используется в демографических прогнозах и страховых расчетах.

Если в модифицированной экспоненте (3.10) вместо

у^ˆ_t

вве-

сти обратную величину, т.е. ¹

у^ˆ_t

, то получим второй тип S- образ-

ной кривой – логистическую кривую:

1

у^ˆ_t

 k  aв^t

(3.14)

Ее иногда называют кривой Перла-Рида. Логистическую кривую чаще всего записывают в виде:

y^ˆ<sub>t

</sub> k

_{1 be} f (t )

(3.15)

где е – основание натурального логарифма;

f (t) - некоторая функция от t, обычно: f (t)  at . Тогда

у^ˆ<sub>t

</sub> k

1 ве^at

(3.16)

Если в = 1, а вместо основания натуральных логарифмов ^{взять основание десятичных, и принять, что f} ^t  ^{ a  bt , то получим} один из часто встречающихся видов логистической кривой:

у^ˆ<sub>t

</sub> k

_110a вt

(3.17)

Логистическая кривая центрально симметрична относитель-

но точки перегиба. При ^k , ордината стремится к 0, а при t  ,

y^ˆ_t

стремится к асимптоте. Если взять вторую производную от у^ˆ_tпо

времени (например, для варианта функции (3.16), то находим ме-

стоположение точек перегиба кривой:

t_пер.  ln b: a,

у^ˆ_t k:2 . Как и

для всех приведенных выше кривых, найдем такое преобразова- ние приростов и ординат кривой, которое линейно относительно

kве^at(a)

t. Для этого вычислим производную функции (3.16):

^уˆt (1 ве^at) ^.

Полученное выражение можно привести к линейному виду,

относительно t, разделив его на у^ˆ2 и прологарифмировав полу-
t

ченный результат:

ln ^уt  ln ав аt_у2

представляет собой прямую.

t

Логистическая кривая схожа с кривой Гомперца. Обе кри- вые характеризуют рост с изменяющимся отношением прироста к ординате. Распределение во времени первых разностей ординат кривой Гомперца асимметрично, в то время как у логистической кривой распределение этих величин симметрично и напоминает нормальное распределение.

Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, и раз- вивается сначала медленно, но с ускорением, затем ускорение становится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост за- медляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателей. Если диапазон изменения уровней от 0 до

1, то уравнение логистической кривой будет:

у^ˆ_t^ 

1


_ea₀ a₁t_1

; (3.18)

– если

a₀ 0 и

a₁ 0

при t  получаем логистическую тенден-

цию роста уровней, причем, если нужно начинать рост почти от

нулевой величины, то

a₀  10 , так как при:

у_t .

у^ˆ 1:(е⁹ 1)  0, 000123 .

Чем больше модуль а ₁, тем быстрее будут возрастать уровни;
0

– при

a₀ 0 и a₀ 0

имеем логистический тренд со снижением

уровней, причем, если снижение должно начаться почти от еди-

^{ницы, то а 0 должно быть}  10 ^{, и чем больше а 1, тем быстрее бу-} дут снижаться уровни.

Если же диапазон изменений ограничен любыми значения- ми, определяемые из существа задачи, то есть ^k идентифициру- ются по эмпирическому ряду, то формула логистической кривой

принимает вид:

у^ˆ<sub>t

</sub> ^уmax ^{ у}min _{ у e}a₀ a₁t_1

min ^.

С помощью логистических кривых хорошо описывается развитие новой отрасли (нового производства), то есть полный цикл развития. Сначала технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства велики и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, поэтому произ- водство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовер- шенствованию технических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка для дан- ного товара, производство растет быстрее. Затем наступает пери- од насыщения рынка и рост производства все более замедляется и, наконец, почти прекращается. Наступает стабилизация произ- водства на определенном уровне.

Итак, можно выделить следующие типы функций, диффе- ренцированно по разным критериям.

І. По характеру роста:

а) монотонно-возрастающие: линейная; параболическая; степенная; экспоненциальная; простая модифицированная экс- поненциальная, логистическая; функция Гомперца; комбиниро- ванная экспоненциально-степенная;

б) монотонно-убывающие функции: гиперболическая, уни- версальная модифицированная, экспоненциальная; в) комбини- рованные формы (функции с экстремальными значениями).

П. По степени насыщения: а) функции насыщения: простая модифицированная экспонента; логистическая; запаздывающая логистическая; функция Гомперца и др.

Для анализа законов роста для каждой функции в таблице

1. 
   представлены основные характеристики, в частности, абсо- лютный прирост, относительный прирост или темп прироста и показатели эластичности.
   

Таблица 3.1.

Прогностические функции и соответствующие им функции роста

Название функции	Функция уˆt f(t)	Абсолют- ный при- рост  (t)  dуˆt dt	Относи- тельный прирост w(t)  (t) уˆ(t)	Эластич- ность  (t)  dуˆt t dtуˆt
Линейная	уˆt a вt	(t )  в	w(t) в a  вt	 (t) в в  а t
Параболи- ческая	уˆ  a  вt  ct2 t	 (t)  в  2ct	w(t) в 2сt a вt сt2	  вt  2сt2 (t) a  вt  сt 2
Степенная	уˆ  atв t	(t)  авtв1	вtв1 в w(t)   tвt	 (t)  в
Экспонен- циальная	уˆ  aet t	(t)  аet	w(t)  1	 (t)  t
Гиперболи- ческая	уˆ  a в t c  t	(t)  в (c  t)2	w(t)  в а(c  t)2  в(c  t)	 (t)  вt а(с  t)2  в(c  t)
Логистиче- ская	уˆ k t1 веat	аt (t)  kaвe (1 веаt)2	w(t)  а 1 еаt1 в	 (t)  аt 1 еаt1 в
Простая мо- дифициро- ванная экс- понента	уˆ  k  aet t	(t)  aet	w(t)  а kеt a	 (t)  t k et 1 a