криывые. Тема 3 Кривые роста-перетворено. Тема к ри в ы е рос т а
 Скачать 71.12 Kb.
|
tРис. 3.3. Полином третьего порядка Первые же разности ординат при нанесении на график пред- ставляют собой ординаты параболы второго порядка, (рис.3.4), т.е: и(1) уˆ уˆ (а а а) (2а 3а)t 3аt2 . t t t1 1 2 3 2 3 3 Соответственно, вторые разности изменяются линейно: (рис. 3.5): и(2) (2а 6а ) 6а t, t 2 3 3 uˆ(1) t  t Рис. 3.4. Первые разности ординат полинома третьего порядка uˆ( 2) t  t Рис. 3.5. Вторые разности ординат полинома третьего порядка Постоянными здесь являются разности третьего порядка: и(3) (и(2) и(2) 6а . t t t1 3 К первому классу относятся также экспоненциальные кри- вые. Для рассмотренных выше кривых, представленных много- членами, характерно то, что приросты ординат в явном виде не связаны со значениями ординат. В отличие от них экспоненци- альные кривые предполагают, что прирост зависит от величины самой функции. Самая простая экспоненциальная (показатель- ная) кривая имеет вид (рис. 3.6): уˆ авtилиуˆ аеа1t (3.5). t t 0 Этот вид кривой мы рассматривали при изучении темпов роста. Отметим еще раз, что данная кривая характеризуется по- стоянными темпами роста и прироста, т.е.: в 1 пр. иt : уt 1 соnst или а1 пр. соnst. Если в1, а11 то кривая растет вместе с ростом t, и, наоборот, падает, если многочлен: в1; а1 1. Прологарифмировав (3.5), получим простой log уˆt log a tlog в(3.6) или приняв: log уt t . log a; log в, перепишем (3.6) в виде: Таким образом, логарифм ординаты t линейно зависит от t. Соответственно, на полулогарифмической сетке изображается прямая, (рис.3.7), а на метрической – экспонента (рис. 3.6). а0   t t Рис. 3.6 Графики ординаты экспоненциальной (показательной) кривой Графики логарифмов ординаты и темпов прироста экспо- ненциальной кривой представлены на рис. 3.7; 3.8. Итак, можно обобщить основные свойства экспоненциаль- ной кривой; абсолютные изменения уровней пропорциональны самим уровням; экспонента экстремумов не имеет: при в1 или а1 0 тренд стремится к +∞; отражает ускоряю- щийся и неравномерный (равноускоренный) рост уровней; при в1, а1 0 тренд стремится к 0; отражает замедляющееся неравномерное уменьшение уровней. log yˆt  t Рис. 3.7 Логарифм ординаты экспоненциальной кривой t  Рис. 3.8. Темпы прироста экспоненциальной кривой Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви- вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для роста уровней. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая сре- да рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со вре- менем исчерпываются. Экспоненциальный рост объема реализа- ции и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоении промышленностью. Например, при п о- явлении цветных телевизоров, видеомагнитофонов, пейджеров и т.п., но когда производство начинает наполнять рынок, прибли- жаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается. По свое- му существу экспоненциальное развитие процесса и есть пре- дельно возможное, так как оно осуществляется в среде, не огра- ничивающей развитие данного процесса. Но следует отметить, что это происходит только до определенного периода времени, так как каждая среда, каждый ресурс в природе ограничен. Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка- кого-либо явления, но при этом рост не прекращается, не стре- мится к какому-то ограничению, то такая тенденция может быть отражена логарифмическим трендом: yˆt a0 a1 ln t(3.7) Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами уровни, но рост логарифмов не ограничен. Основные свойства логарифмического тренда: если a1 0 , то уровни увеличиваются, но с замедлением; абсолютные изменения уровней по модулю всегда умень- шаются со временем; ускорение абсолютных изменений имеет знак, противопо- ложный самим абсолютным изменением, а по модулю постоянно уменьшается. темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при t . Более усложненным вариантом экспоненциальной кривой является кривая, функция которой имеет вид: уˆt авtсt2 (3.8) Эта кривая получила название логарифмической параболы. В самом деле, прологарифмировав выражение, получим парабо- лу: log уˆ log a tlog в t2 log c (3.9) На полулогарифмической сетке эта кривая изображается в виде параболы второй степени. t Найдем теперь выражение для темпов прироста этой кривой в виде отношения первой производной к ординате. Производная в этом случае равна: у авtсt2 ln в 2вtсt2 t ln c . t Тогда темп прироста составит: * пр. ft ln в 2tln c. Таким об- f t разом, темп прироста линейно зависит от времени. Все рассмотренные выше кривые не имеют асимптот, их рост ничем не ограничен. Теоретически ордината может прини- мать любое значение. Но в свою очередь экспоненциальная кри- вая и логарифмическая парабола имеют асимптоты. Например, уˆt экспоненциальной кривой: уˆt 0, при t ,если в1, a10; и уˆt 0, при t ,если в1, а10. В ряде случаев, а именно тогда, когда процесс характеризу- ется насыщением, его описание имеет смысл лишь при помощи кривой, имеющей асимптоту, отличающуюся от нуля. Эти кри- вые образуют второй класс, функций или кривых роста. Наиболее простым представителем семейства таких кривых является кривая, получившая название модифицированной экс- поненты (рис. 3.9 – 3.12). уˆt k авt (3.10) Эта функция имеет горизонтальную асимптоту yˆt k, ее гра- фик стремится к асимптоте при приt , либоприt . Параметр а равен разности между ординатой кривой (при t =0) и асимптотой. Если параметр а отрицателен, то асимптота находится выше кри- вой, если а – положителен, то асимптота проходит ниже ее. Па- раметр в равен отношению последовательных приростов. Отли- чительная особенность модифицированной экспоненты заключа- ется в том, что отношения последовательных приростов при рав- номерном распределении ординат по оси времени постоянны, т.е. и2 иt3 t иt иt иt иt 1 ...в const . t  Рис. 3.10. Ордината модифицированной экспоненты при a 0; в1 k  |
