криывые. Тема 3 Кривые роста-перетворено. Тема к ри в ы е рос т а
 Скачать 71.12 Kb.
|
|
Общие замечания по характеристике законов роста и обос- нования выбора конкретного вида тренда для моделирования тенденции: экспоненциальные кривые роста хорошо описывают про- цессы, имеющие «лавинообразный» характер, т.е. когда прирост зависит в основном от уже достигнутого уровня, при этом раз- личного рода ограничения для роста не оказывают какого-нибудь заметного влияния. Если же ограничивающий фактор все время воздействует, причем эффективность его влияния растет вместе с ростом достигнутого уровня, то хорошее описание этого процес- са можно получить с помощью модифицированной экспоненты. Наконец, если ограничивающий фактор начинает влиять только после некоторого момента (точка перегиба), до которого процесс развивался, следуя близко к некоторому экспоненциальному за- кону, то наилучшее приближение дают S-образные кривые. В сущности S-образные кривые описывают два последова- тельных лавинообразных процесса: один с ускорением развития, другой – с замедлением. Модифицированная экспонента, кривая Гомперца и логи- стическая кривая при определенных значениях своих параметров имеют асимптоты, проходящие выше этих кривых. То есть, такие типы кривых пригодны для описания различного вида процессов «с насыщением». В частности, S-образные кривые находят себе применение не только в различного рода работах, связанных с развитием популяций, в демографических и страховых расчетах, они оказываются также полезными при решении отдельных задач прогнозирования научно-технического прогресса. Такие кривые хорошо описывают развитие во времени функциональных харак- теристик различных технических устройств (скорость самолетов, эффективность потребления угля на электростанциях и т.д.). Они могут применяться и для описания распространения новшеств и изобретений. Методы выбора формы кривой роста Решение выбора формы кривой во многом определяет ре- зультаты экстраполяции тренда. Самым обоснованным подходом к решению проблемы был бы подход, при котором форма кривой определялась бы путем исследования изучаемого процесса разви- тия по существу, то есть на основе анализа, характеризующего внутреннюю логику, специфику и взаимосвязь с другими процес- сами и окружающими условиями. Однако, как правило, такой анализ в лучшем случае может вскрыть характер динамики лишь в самых общих чертах. Содержательный анализ обязательно предшествует эмпирическому подходу к выбору кривой. Существует несколько практических подходов, которые позволяют более или менее удовлетворительно выбрать адекват- ную действительной тенденции форму кривой роста. Наиболее простой путь – визуальный (глазомерный) – выбор формы на основе графического изображения ряда динами- ки. Правда, риск субъективного выбора здесь велик, а при срав- нительно коротких рядах динамики не всегда тенденция развития достаточно четко просматривается. В этом случае можно прове- сти некоторые стандартные преобразования (например, сглажи- вание ряда), а потом подобрать функцию, отвечающую графику сглаженного ряда. В современных пакетах стандартных программ статистической обработки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графическо- го изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позволяет существенно упростить проведение данного этапа. В большинстве случаев путем содержательного анализа закономер- ностей и графического метода чаще всего подбирается класс функций, которые соответствуют анализируемому процессу ро- ста. Второй метод – метод последовательных разностей. Он используется только для выбора кривых полиномиального типа. Этот метод основывается, во-первых, на предположении о том, что уровень ряда может быть представлен как сумма двух компо- нент: уt уˆt t, уˆt- структурная (систематическая) компонента, t - случайная компонента. Во-вторых, последовательные разности величин уt стремят- ся к некоторому пределу. Предполагается, что на некотором эта- пе расчета мы получили разности, которые будут представлять собой независимые случайные величины с одинаковой дисперси- ей. Например, пусть тренд строго следует графику полинома степени . Разности ординат го -го порядка тогда равны друг другу, а разности ( +1)-го порядка равны 0. Отсюда примерное равенство последовательных разностей уровней ряда рассматри- вается как симптом того, что уt следует в своем развитии поли- ному соответствующей степени. Соответственно этому методу рекомендуется исчислять первые, вторые и т. д. разности уровней ряда, т.е.: ; и(2) и и ; и(3) и(2) и(2) т.д. иt уt уt 1 t t t1 t t t1 Расчет ведется до тех пор, пока разности не будет примерно равными друг другу. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома. Однако такой подход далеко не уни- версален, так как он возможен при подборе только кривых, опи- сываемых многочленами. В большинстве случаев практически приемлемым являет- ся метод, который основывается на сравнении характеристик ис- следуемого ряда динамики с соответствующими характеристика- ми кривых роста. Для выравнивания выбирается та кривая, закон изменения прироста в которой наиболее близок к закономерности изменения соответствующих приростов фактических данных. Этот метод называется методом сравнения характеристик приро- ста. Процедура выбора формы данным методом включает пред- варительную статистическую обработку ряда и сам выбор форм кривых роста. Предварительная обработка состоит из 3-х этапов: сглаживание ряда по скользящей средней; определение средних приростов; определение ряда производных характеристик прироста. Сглаживание ряда скользящей средней дает возможность «грубо» наметить тенденцию изменения ряда динамики. Получив «черновой» тренд можно легко определить средние приросты , методика расчета которых зависит от порядка скользящей сред- ней (m): при m = 3: и уt 1 уt 1 ; t 2 при m = 5: при m = 7: и 2 уt 2 уt 1 уt 1 2 уt 2 ; t10 и 3уt 3 2 уt 2 уt 1 уt 1 2 уt 2 3уt 3 , t28 где m - число объединяемых уровней при расчете скользя- щей средней. Раньше мы рассматривали свойства кривых роста и были найдены различные преобразования приростов ( иt ). Причем, для каждой формы кривой было найдено такое преобразование иt , ко- торое характеризуется линейной зависимостью относитель- но t. Аналогичные характеристики приростов можно определить и для эмпирических рядов. В этом случае вместо прироста иt надо взять средний прирост ut . Если какая-либо из найденных по эм- пирическому ряду характеристик показывает близкое к линейно- му развитие во времени, то последнее служит симптомом того, что тенденция развития может быть описана с помощью соответ- ствующей кривой (табл. 3.2). В качестве таких характеристик у у у приростов приняты: и , и (2) иt , loq t loq иt , loq иt . t t t 2 t t Таблица 3.2 Характер изменения показателей, основанных на средних приростах, для различных видов кривых
В таблице 3.2. приводится перечень наиболее употребитель- ных при анализе экономических рядов виды кривых и указаны соответствующие «симптомы» (характеристики приростов), по которым можно определить, какой вид кривых подходит для вы- равнивания. Иногда последние три характеристики не могут быть полу- чены для некоторых t , поскольку значения иt оказываются отри- цательными. Соответственно ряд характеристик прироста преры- вается. Это бывает в тех случаях, когда отдельные уровни «выпа- дают» из общего ряда развития или же когда ряд имеет понижа- ющую тенденцию. В этом случае можно применить такие прие- мы: увеличить интервал усреднения, принятый для скользя- щей средней; 2) заменить «анормальные» данные расчетными ве- личинами, например, средними из предшествующих и последу- ющих уровней; 3) «перевернуть» ряд и все характеристики рас- считывать по такому ряду динамики. Выбор формы кривой можно осуществить, исходя из значения принятого критерия. Обычно в качестве критерия при- нимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, полученных выравниванием, т.е. критерий МНК. Из совокупности кривых выбирается та кривая, которой соответствует минимальное значение данного критерия. Иногда выбор формы кривой осуществляется на основе сле- дующего соотношения формальных критериев аппроксимации: min y yˆ 2 – критерий МНК; t t max F критерий – критерий Фишера-Снедекора; min отн. – относительная ошибка аппроксимации; отсутствие автокорреляции в остатках , то есть в отклоне- ниях от тренда, которое проверяется на основе d-критерия (кри- терий Дарбина-Уотсона). Применение указанных формальных критериев для выбора формы кривой даст практически хорошие результаты в том слу- чае, если отбор будет проходить в два этапа: на первом этапе отбираются зависимости, пригодные с по- зиции содержательного подхода к задаче, в результате чего про- исходит ограничение круга потенциально приемлемых функций; на втором этапе для этих функций подсчитываются значе- ния критериев и выбирается та из кривых, которой соответствует оптимальное их соотношение. Если анализу с помощью средних приростов подвергается ряд с понижающейся тенденцией, о средние приросты, есте- ственно, отрицательны. В этих случаях можно прибегнуть к рас- чету иt в обратном порядке, т.е. начинать с конца ряда. И еще несколько советов при выборе формы кривой. если первые разности имеют тенденцию уменьшаться с постоянным темпом, то следует остановиться на модифициро- ванной экспоненте, если же они образуют кривую, напоминаю- щую асимметричное одновершинное распределение (с вершиной, сдвинутой влево), то следует обратиться к кривой Гомперца, и, если распределение первых разностей близко к нормальному, то выбирается логистическая кривая; если средние уровни, нанесенные на полулогарифмиче- скую бумагу, близки к прямой линии, то предпочтительнее про- стая экспонента, если же эти уровни образуют кривую, близкую к модифицированной экспоненте, то выбирают кривую Гомперца; если первые разности логарифмов уровней примерно по- стоянны, то выравнивание лучше вести по экспоненциальной кривой, а если они изменяются с постоянным темпом, то по кри- вой Гомперца. если первые разности обратных значений средних уров- ней изменяются на один и тот же процент, то лучше выбрать ло- гистическую кривую. Для выбора кривых роста нет жестких рекомендаций. Осо- бенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполяции найден- ных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявлен- ной тенденции в прогнозируемом периоде. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||