Главная страница
Навигация по странице:

  • Тема 2. Многочлены

  • Тема 3. Матрицы и определители

  • Тема 6. Прямая на плоскости

  • Тема 7. Прямая и плоскость в пространстве.

    		•

    задачи для экзамена 1 курс. задачи для экзамена. Тема Комплексные числа


    Скачать 142.23 Kb.
    НазваниеТема Комплексные числа
    Анкорзадачи для экзамена 1 курс
    Дата16.01.2021
    Размер142.23 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлазадачи для экзамена.docx
    ТипДокументы
    #168670

    Тема 1. Комплексные числа

    1.1. Вычислить



    Записать действительную и мнимую части комплексного числа.

    1.2. Найти x и yR:



    1.3.Извлечь корень из комплексного числа



    1.4. Вычислить, ответ записать в тригонометрической, алгебраической и показательной формах:



    1.5. Изобразить область на комплексной плоскости, задаваемую неравенством:



    1.6. Вычислить, ответ записать в тригонометрической, алгебраической и показательной формах:



    Тема 2. Многочлены

    2.1. Выполнить деление с остатком

    на

    2.2. Не осуществляя деления и не используя схему Горнера найти остаток от деления полинома на

    2.3. Определить кратность корня полинома

    .

    Разложить полином на множители.

    2.4. Разложить полином по степеням , используя схему Горнера.

    2.5. Построить полином наименьшей степени с действительными коэффициентами, если его корни:

    кратности 1, кратности 1 и кратности 2.

    2.6. Найти НОД двух полиномов

    и

    2.7. Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы M1(x) и M2(x) так, чтобы f(x)M1(x) + g(x)M2(x) = (x), где (x) – НОД полиномов f(x) и g(x), и .

    2.8. Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы M1(x) и M2(x) так, чтобы f(x)M1(x) + g(x)M2(x) = 1, где и .

    Тема 3. Матрицы и определители

    3.1. Вычислить определитель

    a) ,

    b)

    c)

    3.2. Вычислить ранг матрицы методом окаймления миноров.

    3.3. Найти обратную матрицу к матрице A:

    a)

    b)

    3.4.* Вычислить A2, если

    , при

    3.5. Вычислить

    a)

    b)

    Тема 4. Системы линейных уравнений

    4.1. Решить с помощью формул Крамера систему уравнений:



    4.2. Найти фундаментальную систему решений для СЛОУ



    4.3. Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц





    фундаментальную систему решений для системы уравнений:



    4.4. Исследовать систему уравнений на совместность, используя метод исключения неизвестных



    На оценку «3» будет система с меньшим количеством переменных.

    Тема 5. Векторная алгебра

    5.1. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если и .

    5.2. Векторы и образуют угол 60°, причем , . Определить угол между векторами и .

    5.3. Вычислить синус угла, образованного векторами и .

    5.4. Зная векторы, образующие треугольник: , , , где и взаимно перпендикулярные орты, определить внутренние углы этого треугольника.

    5.5. Средствами векторной алгебры вычислить длину высоты СН треугольника с вершинами в точках , и .

    5.6. Векторы и образуют угол 120°, причем , . Определить угол между векторами и .

    5.7. Будут ли компланарными векторы , и ?

    5.8. Найти разложение вектора по базису состоящему из векторов , , .

    5.9. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что , , вычислить при условии, что , .

    5.10. Средствами векторной алгебры вычислить площадь треугольника АВС, если , .

    5.11. Даны координаты точек , , , D(2, 1,0). Вычислить , , .

    5.13. Определить, будет ли параллелограмм, построенных на приведенных к общему началу векторах и как на сторонах, прямоугольником или ромбом, если и взаимно перпендикулярные орты.

    Тема 6. Прямая на плоскости

    6.1. Зная две соседние вершины А (-6; 1) и В (-9; 12) параллелограмма ABCD и точку О (0; 7) пересечения диагоналей, найти его площадь.

    6.2. Зная две соседние вершины А (6; 1) и В (9; 16) параллелограмма ABCD и точку О(10; 7) пересечения диагоналей, составить уравнения его сторон.

    6.3. В треугольнике, вершинами которого являются точки К (2; -6), М(6; -1) и Р(4;0), найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины К на медиану МН.

    6.4. Составить уравнение прямой, параллельной прямым x-3y+10=0 и x-3y+15=0 и проходящей посередине между ними.

    6.5. Составить уравнения высот треугольника АВС, если известны уравнения его сторон 5x-4y-1=0, x+10y-11=0 и 3х-у-7=0.

    6.6. Составить уравнение прямой, параллельной прямой 5x-12y+18 =0, расстояние которой до точки М (1;7) равно 9.

    6.7. Составить уравнение прямой, параллельной прямой 8x-6y+7=0, отклонение от которой точки М(0;0) равно -7.

    6.8. В треугольнике, вершинами которого являются точки К(1; 4), М(-2; 0) и Р(1;2), найти угол между стороной МР и медианой, проведенной из вершины К.

    6.9. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершин В (3; -7) и уравнения двух высот 8x+3y+1=0 и 5x+y-17=0.

    6.10. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершин С (-9; -3) и уравнения высоты 9x-8y-1=0 и медианы 5x+4y-9=0, проведенных из одной вершины.

    6.11. Зная вершины А (-6; -1), В (-9; 16) и С (10; 7) треугольника, составить уравнение высоты, проведенной из вершины В.

    6.12. Зная вершины А (-6; 0), В(0; 16) и С(10; -3) треугольника, составить уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А.

    6.13. Зная вершины А (-6; 1), В (-9; 16) и С (10; -7) треугольника, составить уравнение медианы, проведенной из вершины С.

    Тема 7. Прямая и плоскость в пространстве.

    7.1. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и отсекающей на оси Ох отрезок .

    7.2. Составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранный угол, образованный плоскостями и .

    7.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси .

    7.4. Две грани куба лежат на плоскостях и . Вычислить объем этого куба.

    7.5. Составить канонические уравнения прямой

    7.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей и параллельно вектору .

    7.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей и и перпендикулярно плоскости .

    7.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей и параллельно отрезку, ограниченному точками и .

    7.9. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки 3 и -7 соответственно.

    7.10. Даны вершины треугольника А(3; -1; -1), В(1; 2; -7) и С(-5; 14; -3). Составить параметрические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

    7.11. Составить уравнение плоскости, отклонение точек которой от плоскости равно -3.

    7.12. Пересекает ли плоскость отрезок, ограниченный точками и . Ответ обосновать.

    7.13. Найти расстояние между прямыми и .

    7.14. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точки и плоскости .

    7.15. Вычислить расстояние от точки до прямой .

    7.16. Вычислить углы, образуемые нормалью к плоскости , и расстояние от начала координат до плоскости.

    7.17. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.

    7.18. Вычислить радиус сферы, которая касается плоскостей и .

    7.19. Определить, лежат ли точка и начало координат по одну или по разные стороны относительно плоскости .

    7.20. Даны вершины треугольника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3) и С(4; -7; -2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С.

    написать администратору сайта