Методичекое пособие по математике 2011. Тема Представления о множествах Интуитивные представления (Элемент, принадлежность, равенство, интуитивный принцип объемности)

• Название: Тема Представления о множествах Интуитивные представления (Элемент, принадлежность, равенство, интуитивный принцип объемности)
• Дата: 12.12.2022
• Размер: 231.99 Kb.
• Имя файла: Методичекое пособие по математике 2011.docx
• Тип: Документы; #839968
• страница: 4 из 6

Определение 2 Нетривиальное множество элементов, обладающих свойствами 1. – 6., называется множеством действительных чисел (R). Каждый элемент этого множества называется действительным числом.

Операции на множестве действительных чисел и их свойства.

Для любой упорядоченной пары чисел а  R и b  R число а + (-b) называется разностью чисел a и b, и обозначается через (a – b), т.е. a – b = a + + (- b).

Если a + b = c, то, прибавляя к обеим частям этого равенства число (-b), получаем (a + b) + (-b) = c + (-b). Отсюда, согласно ассоциативному закону сложения, следует a + (b + (-b)) = c – b.

Таким образом, после прибавления к числу а числа b число а восстанавливается вычитанием из суммы a + b числа b, поэтому операция вычитания называется операцией обратной операции сложения.

Перейдем теперь к свойствам сложения действительных чисел:

1). Число, обладающее свойством нуля, единственно.

Доказательство: Пусть  два нуля – 0 и 0 в силу 1.3): 0 + 0 = 0, 0 + 0 = 0. Согласно коммутативному закону сложения левые части этих равенств равны  равны и правые, т.е. 0 = 0.

2). Число, противоположное данному, единственно.

Доказательство:

Пусть числа b и с противоположны некоторому числу а, т.е. a + b = 0 и c + b = 0. Тогда имеем (a + b) + c = 0 + c, т.е. (a + b) + c = c  (a + c) + b = c, но а + с = 0  b = c.

3) Для любого числа а справедливо равенство: - (- а) = а.

Доказательство:

а = (- а)  - а + а = 0  а = - а.

4) Для любого числа а справедливо равенство а – а = 0.

5) Для любых чисел а и b имеем: - a – b= - (a + b), т.е. число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме противоположных им чисел.

6) Уравнение a + x = b имеет в R решение и притом только единственное: x= b – a.

Упражнение: Докажите самостоятельно свойства 4) - 6).

Для операции умножения также существует обратная операция – деления и определяется следующим образом: для любой упорядоченной пары чисел a и b, b  0. Число a * 1/b называется частным от деления a на b и обозначается через a/b, т.е. a/b = (a*1/b), b  0.

Свойства, аналогичные свойствам 1) – 6) для сложения, справедливы и для операции умножения:

7) Число, обладающее свойством единицы, единственно.

8) Число, обратное данному, отличное от нуля, единственно.

9) Для любого числа а  0 справедливо равенство 1/(1/a) = a.

10) Для любого числа а  0 справедливо равенство а/a = 1.

11) Для любых чисел а  0 и b 0 имеем равенство (1/а)(1/b) = 1/(ab) (т.е. число, обратное произведению двух чисел, отличных от нуля, равно произведению обратных к ним чисел).

12) Уравнение ax = b, а 0 имеет в R решение и притом только единственное.

Упражнение: Докажите самостоятельно свойства 7) - 12). Доказываются свойства аналогично свойствам 1) - 6).

Отметим теперь несколько свойств, касающихся операций сложения и умножения:

13) Для любых чисел a, b и с имеет место равенство a (b - c) = ab – ac.

Доказательство: a(b – c) = a (b – c) + ac – ac = a(b – c + c) – ac = ab – ac.

14. 
    Для любого числа а выполняется равенство а*0 = 0.
    

Из этого свойства вытекает, что утверждение 1  0 при наличии других рассматриваемых свойств 1. – 3. эквивалентно тому, что существует хотя бы одно число, отличное от нуля. Достаточно показать, что если существует число a  0, то 1  0 (доказательство: пусть  а  0, тогда из равенства а*1 = а  1  0, т.к. в противном случае согласно свойству 14) имело бы место равенство а = 0).

14. 
    Если ab = 0, то, по крайней мере, один из сомножителей а и b равен нулю.
    

Доказательство: Пусть а  0  умножав равенство ab = 0 на 1/a, получим (1/a)(ab) = = (1/a)*0  ((1/a)*a)b = 0  b =0.

14. 
    Для любых чисел a и b имеем: (-a)b = - ab, (-a)(-b) = ab; в частности (-1)а = -а.
    

17) Равенство a/b = c/d, b  0, d  0, справедливо тогда и только тогда, когда ad = bc.

Следствие (основное свойство дроби):

Каковы бы ни были дробь a/b, b  0, и число с  0, имеет место равенство a/b = ac/bc.

Доказательство: Умножим обе части a/b = c/d на bd и используя определение деления получим цепочку эквивалентных равенств: a/b = c/d   (a/b)bd = (c/d)bd  a(1/b)bd = c(1/d)bd  ad = cb.

18. 
    Сложение дробей производится по правилу (a/c) + (b/d) = (ad+ bc)/ /(cd), c0, d0.
    
19. 
    Умножение дробей производится по правилу (a/b)(c/d) = (ac)/(bd).
    
20. 
    Обратным элементам дроби a/b, a  0, b  0 является дробь b/a, т.е. (a/b)(b/a) = 1.
    
21. 
    Деление дробей производится по правилу (a/c)(c/d) = (ad)/(bc), b  0, c  0, d  0.
    

22) Если m и n целые числа, причем в случае, когда m  0 или n  0 имеет место а  0, то a^maⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.

Упражнение: Докажите самостоятельно свойства 14), 16), 17) – 22).

Определение 3 Множества удовлетворяющие свойствам 1. – 3. и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называются полями.

Примером множеств иллюстрирующих это определение являются рациональные числа, действительные числа, комплексные числа, рациональные функции (т.е. функции вида f(x) = P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены).

Проанализируем теперь свойства, выделяющие поле действительных чисел среди всех других полей. Одним из таких свойств является свойство упорядоченности его элементов.

Введем некоторые следствия из свойств упорядоченности и свойств сложения и умножения. Прежде всего, определим понятие сравнение по величине для любых двух чисел (при этом в свойстве 4. говорилось о сравнении чисел только с нулем).

Определение 4 Число а называется числом, большим числа b, и пишется a > b, или, то же, число b называется меньшим числа а и пишется b < a, если a – b> 0.

Свойства:

1. Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность).

Доказательство: Если a > b и b > c, то согласно определению это означает, что a – b > 0 и b –c >0. Складывая эти неравенства, получаем:(a – b) + + (b - c) > 0, т.е. a – c >0  a > c.

2. Если a > b, то для любого числа с имеем: a + c > b + c.

Доказательство:

Неравенство a > b означает, что a - b > 0. По свойству 5) сложения действительных чисел получаем: a – b = a + c – c – b = (a + c) – (b + c), то (a + + c) – (b + c) > 0  a + c > b + c.

3. Для любых двух чисел a и b имеется в точности одно из трех соотношений порядка a > b, a = b и a < b.

Доказательство:

Пусть есть два числа a и b. Для их разности a – b согласно свойству 4. имеет место в точности одно из соотношений a – b > 0, a – b = 0 или 0 > a – b. Если a – b > 0, то по определению a > b. Если a - b =0, то, прибавив к обеим частям равенства число b, получим a = b. Наконец, если 0 > a – b, то прибавив последовательно к обеим частям неравенства 0 > a – b числа - a и b (см. предыдущее доказательство), получим b – a > 0. Это и означает, что b > a, или, что то же, a < b.

Наличие транзитивного отношение порядка «<», «>» между любыми двумя числами называется обычно свойством упорядоченности действительных чисел, или отношением порядка.

Запись a  b равнозначна записи b  a и означает, что либо a = b, либо a < b. Например, можно написать 3  3, 1  5. Конечно, можно написать более точно: 3 = 3, 1 < 5, однако неравенства 3  3, 1  5 также верны, так как означают, что “два не больше двух”, и, что ”один не больше пяти”.

Соотношения a < b, a  b, a > b, a  b называются неравенствами. Неравенства a < b, a > b называются строгими неравенствами.

4. Если а > b,то - a < - b. В частности, если a > 0,то - a < 0, а если a < 0, то - a > 0.

5. Если a < b и c  d, то a + c < b + d, т.е. можно производить почленное сложение неравенств одного знака.
6. Если a < b и c  d, то a – c < b – d, т.е. неравенства противоположных знаков можно вычитать в указанном смысле.

7. Если a < b и c < 0, то ac > bc.

Из свойства 7. (при a = 0) и из свойства 4. вытекает правило знаков при умножении действительных чисел: произведение двух сомножителей одного знака (либо одновременно положительных, либо одновременно отрицательных) положительно, а произведение двух сомножителей разных знаков (один из них положительный, другой отрицательный) отрицательно.

8. В упорядоченном поле всегда справедливо неравенство 1 > 0.

Доказательство:

Как было уже выше сказано в замечании к свойству 14), что из условия существования элемента а  0 (это условие входит в определение поля) следует, что 1  0. Покажем, что неравенство 1 < 0 невозможно. Пусть 1 < 0, возьмем  а*1 = а. По правилу знаков произведения положительного числа а и отрицательного (по предположению) 1 является отрицательным числом, т.е. а < 0 – противоречие.

Определение 5 Множества, для которых справедливы аксиомы 1. – 4., называются упорядоченными полями.

Пример. Примером упорядоченного поля, отличного от поля действительных чисел, является поле рациональных чисел. Однако ни поле комплексных чисел, ни поле рациональных функций не являются упорядоченным полем.

Рассмотрим теперь свойство непрерывности, которое выделяет поле действительных чисел среди всех прочих упорядоченных полей.

Определение 6 Упорядоченное поле удовлетворяющее свойству 5. называется непрерывным упорядоченным полем.

Пример. Поле рациональных чисел уже не является непрерывным упорядоченным полем: в нем имеются сечения, которые не определяются никаким рациональным числом. Но можно показать, что если к верхнему классу В отнести все положительные рациональные числа m/n, удовлетворяющих неравенству (m/n)² > 2, а к нижнему классу все остальные рациональные числа, то получится сечение рациональных чисел АВ, которое не определяется никаким рациональным числом. Оказывается, что множество всех действительных чисел является в некотором смысле единственным непрерывным упорядоченным полем.
Определение 8 Множеством действительных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.

3.7. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИНИЯ
Рассмотрим теорему о делении натуральных чисел с остатком. В общей теории арифметики существует (см. предыдущий пункт)

Теорема. Для любых натуральных чисел a и b, b, существуют (единственные) числа s и r такие, что a = sb + r, r < b. Если рассматривать арифметику с 0, тогда r находится в пределах 0 rb.

Доказательство:

(единственность): Пусть существует два таких разложения: a = s₁b + r₁иa = sb + r, тогда можно считать, что r  r₁ и вычитая первое из второго будем иметь:

0 = b(s – s₁) + (r – r₁)  r – r₁ = b( s₁ – s),

поскольку (r – r₁)  0 и r,r₁ < b, то (r – r₁) < b, из этого следует, что b(s – s₁) = 0 и (r – r₁) = 0, тогда r=r₁ и s=s₁.

(существование): доказательство с использованием математической индукции по числу а при фиксированном b:

1. 
   если a = 0, то 0 = 0b + 0. Теорема доказана;
   
2. 
   пусть для a = nТеорема доказана, т.е. n = sb+ r и r< b. Тогда n +1 = sb+ r +1. Если r +1 < b, то теорема доказана (по разложению). Если r +1 = b (r +1 не может быть больше b, т.к. r< b), то (n +1) = sb+ b = b(s +1) +0, тогда теорема доказана, т.к. 0 < b.
   

Исходя из того, что b у нас было все-таки произвольным, то Теорема в целом доказана.

В арифметике эта Теорема называется Теоремой о делении с остатком, где a– делимое,b – делитель, s– частное, а r– остаток. Как правило, результат получается при делении столбиком.

С помощью теоремы о делении с остатком можно доказать следующую

Теорему: Пусть р – фиксированное натуральное число и p > 1, тогда для любого а существуют числа а₀, а₁, а₂, …, а_n такие, что a_ip (i= 0, …, n) и а = а₀р⁰ + а₁р¹ +а₂р² + … + а_npⁿ, при чем это разложение единственно.

Доказательство: (доказательство с использование математической индукции по числу а):

1. 
   Пусть a = 0, то 0 = 0р. Теорема доказана;
   
2. 
   Предположим, что для любых чисел строго меньших a теорема верна. Докажем ее для a. Пусть т удовлетворяет следующему условию: р^т+1 а  р^т, такое т всегда существует (потому что снизу ряд р^т ограничен 1, а сверху ряд р^т не ограничен). Тогда по теореме о делении с остатком будем иметь следующее выражение: a = = s р^т + r, т.к. s 0,r < a, следовательно, для него теорема верна и мы получаем, что а = sp^m + а₀р⁰ + а₁р¹ + а₂р² + … + + а_kp^k. Для того, чтобы Теорема была доказана необходимо показать, что k < m и s < p (Теорема будет доказана поскольку некоторые слагаемые могут быть равны нулю):
   

а) если sp, то sр^тp^т+1, а т.к. a = s р^т + r, то а  р^т+1, противоречие с условием;

б) пусть k m и a_k0, тогда a_kp^k > p^m, что противоречит условию r < p^m.

Таким образом, теорема доказана.

Для практического нахождения числа a сначала, исходя из условия р^т+1 а  р^т, делим число a на р^т (a/р^т) получаемый остаток делим на р^т-1и т.д. до р¹.

Эта Теорема позволяет теоретически рассматривать любую позиционную систему счисления. Основанием системы будет являться число р, а цифрами такой системы могут являться все числа от 0 до (р – 1), либо специально придуманные значки. Если р = 10, то мы получаем известную нам десятичную систему счисления, где цифрами являются значки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Если р = 6 – это шестеричная система счисления, где цифр 6 и это значки 0, 1, 2, 3, 4, 5; а если р = 12, то в качестве цифр можно взять 0, …, 9 и потом придумать еще два значка для замены чисел 11 и 12. Например: сосчитаем чему будет равно следующее выражение 11*12⁰ + 10*12¹ + 4*12² = 707. Число 707 в двенадцатеричной системе счисления будет иметь вид: 4₍₁₂₎, где  заменяет цифру 10, а  цифру 11. Рассмотрим теперь запись числа 707 в восьмеричной системе счисления: 8³ = 512, 8⁴ = 2048, поэтому 8⁴  707  8³. Тогда имеет место, следующее выражение: 707 = 1*8³ + 195 = 1*8³ + 3*8² + 0*8¹ + 3*8⁰. Таким образом, число 707 в восьмеричной системе счисления будет иметь вид: 1303₍₈₎.

Все позиционные формы записи чисел возникли из решений проблемы записи чисел. Интересным образом название чисел связано с самими числами, но уже при больших числах эти названия напрямую связаны с тем как они записаны.

Пример.

Число 11 в десятичной системе счисления в русском тексте может быть понято как один-на-дцать (т.е. один над десятью), а в английском уже такого смысла нет. С другой стороны число 41 вообще не использует число 4, также как и число 90. в тоже время число 3 482 000 читается строго по позициям, разрядам и названиям цифр.

Более наглядным является чтение чисел записанных в другой системе счисления. Например, в двоичной системе пусть это будут числа 1, 10, 11, 100, 101, названия этих чисел «один», «два», «три», и т.д. Меняется запись, но не меняются названия.