Методичекое пособие по математике 2011. Тема Представления о множествах Интуитивные представления (Элемент, принадлежность, равенство, интуитивный принцип объемности)

• Название: Тема Представления о множествах Интуитивные представления (Элемент, принадлежность, равенство, интуитивный принцип объемности)
• Дата: 12.12.2022
• Размер: 231.99 Kb.
• Имя файла: Методичекое пособие по математике 2011.docx
• Тип: Документы; #839968
• страница: 6 из 6

§ 1. Задачи математической статистики

Установление закономерностей, которым подчи­нены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики - разрабо­тать методы анализа статистических данных в зависи­мости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависи­мости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвест­ного распределения или о величине параметров распре­ деления, вид которого известен.
Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в со­здании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
§ 2. Краткая историческая справка

Математическая статистика возникла (XVII в.) и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Даль­нейшее развитие математической статистики (вторая по­ловина XIX - начало XX в.) обязано, в первую очередь, П. Л. Чебышеву, А. А. Маркову, А. М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А. Кетле, Ф. Гальтону, К. Пирсону и др.

В XX в. наиболее существенный вклад в математи­ческую статистику был сделан советскими математиками (В. И. Романовский, Е. Е. Слуцкий, А. Н. Колмогоров, Н. В. Смирнов), а также английскими (Стьюдент, Р. Фи­шер, Э, Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.

§ 3. Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность однород­ных объектов относительно некоторого качествен­ного или количественного признака, характе­ризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным — контролируе­мый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т, е. обсле­дуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование фи­зически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой назы­вают совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.
Замечание. Часто генеральная совокупность содержит ко­нечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоре­тических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправды­вается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (доста­точно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

§ 4. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо

{не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бес­повторные.

Повторной называют выборку, при которой отобран­ный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобран­ный объект в генеральную совокупность не возвращается. |На практике обычно пользуются бесповторным слу­чайным отбором. Для того чтобы по данным выборки можно было до­статочно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формули­руют так: выборка должна быть репрезентативной (пред­ставительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют оди­наковую вероятность попасть в выборку.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокуп­ность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.
§ 5. Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1. 
   Отбор, не требующий расчленения генеральной со­вокупности на части. Сюда относятся: а) простой слу­чайный бесповторный отбор; б) простой случайный по­вторный отбор.
   
2. 
   Отбор, при котором генеральная совокупность раз­бивается на части. Сюда относятся: а)типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.
   

Простым случайным называют такой отбор, при ко­тором объекты извлекают по одному из всей генераль­ной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения nобъ­ектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписывают номера от 1 до N па карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну кар­точку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, т. е. карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Так поступают п раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема п.

Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной.

При большом объеме генеральной совокупности опи­санный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронуме­рованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают под­ряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы пре­вышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если про­дукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типи­ческий отбор целесообразен.

Механическим называют отбор, при котором генераль­ную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отб"-рают каждую пятую деталь; если требуется отобрав 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затуплен­ными резцами. В таком случае следует устранить совпа­дение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двад­цати обточенных.

Серийным называют отбор, при котором объекты от­бирают из генеральной совокупности не по одному, г «сериями», которые подвергаются сплошному обследова­нию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначитель­но.

Подчеркнем, что на практике часто применяется ком­бинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.
§ 6. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁наблюдалось п₁раз, х_г- п₂раз, ∑п_i = n - объем выборки. Наблюдаемые значения х_iназывают вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариа­ционным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки n_i/n = W_i - относи­тельными частотами.

Статистическим распределением выборки называют пе­речень вариант и соответствующих им частот или относи­тельных частот. Статистическое распределение можно за­дать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математи­ческой статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.
Примеp. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

Х_i - 2, 6, 12 ;

n_i. 3 10 7.

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим

частоты на объем выборки:

W1 = 3/20 = 0,15, W2 = 10/20=0,50, W3 = 7/20=0,35.

Напишем распределение относительных частот:

_Xi2 6 12

W; 0,15 0,50 0,35

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0.35 = 1.
§ 7. Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики ста­тистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁ ; n₁), (х₂; п₂), ..., (х_к; n_k). Для по­строения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_к, а на оси ординат — соответствующие им частоты п_k. Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки {х_х; W_t), {x₂; W₂), ... (x_k; W_k;).

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_kа на оси ординат—соответствующие им относительные ча­стоты W_k;. Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон отно­сительных частот.

На рис. 20 изображен полигон относительных ча­стот следующего распре­деления:

X1,5 .4,5 5,5 7,5

W 0,1 0,2 0,4 0,3


Задача
Построить полигоны частот и относительных частот распре­ деления

Х_i 1 3 5 7 9

n_i10 15 30 33 12