Траектория, путь, перемещение. Скорость движения точки по прямой. Нахождение координаты по известной зависимости скорости от времени
![]()
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Материальная точка – это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию, которая называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение. ![]() Путь - это расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории. Перемещение - это прямолинейный отрезок, проведенный из точки 1 в точку 2. Существуют три способа описания движения материальной точки: координатный, векторный и естественный. ![]() ![]() 2. Векторный и координатный способы описания движения точки в пространстве. Скорость (средняя, линейная, мгновенная) и ускорение. Вычисление пройденного пути и перемещения. 1) Координатный способ: Если с системой отсчета связать декартову систему координат (X, Y, Z) , то положение материальной точки А можно задать с помощью координат (x, y, z). Траекторию движения мы определим, если будем знать функцию x(t), y(t), z(t).
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В механике вводится еще одна важная характеристика движения – ускорение, т.е. скорость изменения вектора скорости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3. Движение материальной точки по окружности (равномерное и произвольное). Баллистическое движение. Криволинейное движение точки в пространстве. Дв по окр это движ-е по траектории к-ая я-ся дугой окружности. При этом положение м/т м. определить углом пофорота φ и радиус вектора проведенного из центра окр в данную точку. Для описания вводится понятие угловой скорости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() x=Rcosφ y=Rsinφ, ![]() ![]() ![]() ![]() Если угол поворота произвольным образом зависит от времени, то и ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Скалярное произведение первого на второе равно нулю→ перпендикулярны ![]() ![]() ![]() 4. 3акон инерции. Инерциальные системы отсчета. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона и область его применимости. Существуют с/сы отсчета названные инерциальными в зависимости к-х тела достаточно удалены д/д и движутся прямолинейно и равномерно В основе классической механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687г. Первый закон Ньютона: Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной системой отсчета. Инерциальных систем отсчета существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью), будет также инерциальной. Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, являются инерциальной. Эта система называется гелиоцентрической системой отсчета. Всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела m. Для количественной характеристики взаимодействия тел или полей вводится физическая величина, называемая силой ![]() ![]() Второй закон Ньютона: Скорость изменения импульса тела равна геометрической сумме сил, действующих на данное тело: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Третий закон Ньютона: Силы с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению: ![]() При формулировке фундаментальных законов физики (в том числе и законов Ньютона) важно понимать, что эти законы (как и любые законы естествознания) имеют ограниченную область применимости. Так, законы классической механики применимы только для описания движения достаточно массивных макроскопических тел, при условии их движения с малыми (по сравнению со скоростью света) скоростями. 5. Сила упругости. Закон Гука Равновесному положению молекул в жидкости и твердом теле соответствует равенство сил притяжения и отталкивания. При деформации тел (как жидких, так и твердых) равновесные расстояния между молекулами изменяются, поэтому возникают силы, стремящиеся вернуть их в исходное состояние. Эти силы проявляются как силы упругости. Отметим, что силы упругости не относятся к фундаментальным, законы позволяющие вычислять их значения, как правило, являются экспериментальными и выполняются приближенно. В общем случае зависимость сил упругости от деформации может быть очень сложной, однако при малых деформации справедлив закон Р.Гука: сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону противоположную деформации. В простейшем случае деформации растяжения и сжатия закон Р. Гука выражается формулой где x - изменение длины тела, k - коэффициент пропорциональности (так же называемый коэффициентом упругости), зависящий от материала тела, его размеров и формы. Знак минус явно указывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации. Для того чтобы деформировать тело, к нему необходимо приложить внешнюю силу, тогда возникающие деформации приведут к появлению сил упругости (рис. 62). Итак, причиной деформаций являются внешние воздействия, а сами деформации являются причиной сил упругости. Если деформированное тело находится в состоянии равновесия, то возникающая сила упругости оказывается равной по величине и противоположной по направлению внешней силе . Таким образом, соотношение справедливо только в состоянии равновесия и является следствием условий равновесия, а не 3 закона Ньютона. 6. Силы трения. проявлением межмолекулярных взаимодействий являются силы трения скольжения – силы, возникающие при относительном движении двух тел и направленные вдоль границы их соприкосновения. Одна из причин появления трения очевидна – поверхности взаимодействующих тел не являются идеально гладкими, микроскопические выступы и впадины зацепляются друг за друга, в них возникают силы упругости, направленные вдоль поверхности соприкосновения законы, описывающие рассматриваемый вид взаимодействия носят экспериментальный (эмпирический) характер. Наиболее простой вид закона, описывающего силу трения скольжения, установлен экспериментально и носит название закона Кулона-Амонтона. Это закон утверждает, что сила трения скольжения пропорциональна силе нормальной реакции взаимодействующих тел и направлена в сторону, противоположную скорости относительного движения тел (рис.68) , (1) безразмерный коэффициент пропорциональности (называемый коэффициент трения) μ зависит от материала соприкасающихся поверхностей и степени их обработки. Как правило, этот коэффициент определяется экспериментально. Сила трения может возникнуть и в том случае, когда тела не движутся друг относительно друга, такую силу называют силой трения покоя. Повседневный опыт указывает, что для того чтобы сдвинуть одно тело относительно другого, необходимо приложить силу, превышающую определенное пороговое значение Таким образом, сила трения покоя может принимать максимальное значение, после чего трение покоя переходит в терние скольжения. Силы, препятствующие движению, наблюдаются и при качении одного тела по поверхности другого. Эти силы называются силами трения качения. Сразу подчеркнем, что природа этих сил отличается от сил сухого трения. Основной причиной возникновения трения качения являются неупругие деформации самого катящегося тела и поверхности, по которой происходит качение. Так колесо, расположенное на горизонтальной поверхности деформирует последнюю. При движении колеса деформации не успевают восстановиться, поэтому колесу, приходится, как бы все время взбираться на небольшую горку, из-за чего появляется момент сил, тормозящий качение (рис. 72). Неупругие деформации колеса также приводят к появлению тормозящих сил. Таким образом, силы трения качения определяются упругими свойствами взаимодействующих тел. Закон для силы трения также является экспериментальным и приближенным, его принято записывать в форме ![]() где N - сила нормальной реакции, R - радиус катящегося тела, k - коэффициент трения качения, имеющий размерность длины. При записи формулы в такой форме, коэффициент трения качения определяется, главным образом, материалом взаимодействующих тел и не зависит от радиуса катящегося тела. 7. Закон сохранения импульса в изолированной системе из двух материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек. Импульс силы. Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Между материальными точками действуют силы внутреннего взаимодействия ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный импульс системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени. Если система не замкнута ![]() ![]() 8. Теорема о движении центра масс. Важное значение для системы материальных точек имеет такое понятие, как центр масс. Сначала рассмотрим две материальные точки с массами m1 и m2 и найдём их центр масс. В данном случае центр масс - это точка С, которая лежит на прямой соединяющей материальные точки. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, при отсутствии внешних сил центр масс системы материальных точек остается в покое или движется прямолинейно и равномерно Центр масс системы движется так как двигалась бы м/т с массой равной масс всей системы под действием результирующей всех внешних сил действующих на систему. 9. Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского, уравнение Циолковского. Уравнение движения тела с переменной массой На выполнении закона сохранения импульса основано движение ракеты, если её рассматривать как замкнутую систему. Мы рассмотрим более общий случай движения тела с переменной массой при наличии внешней силы, например, движение ракеты в гравитационном поле Земли. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение Циолковского Рассмотрим движение ракеты в невесомости, т.е. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 10. Работа силы. Мощность. Геометрическая форма представления работы. Механическая работа и мощность Если на тело действует сила, то эта сила совершает работу по перемещению этого тела. Прежде чем дать определение работе при криволинейном движении материальной точки, рассмотрим частные случаи:
Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называется консервативными. 11. Кинетическая энергия материальной точки. Связь кинетической энергии с работой сил. Теорема Кенига. Кинетическая энергия(или энергия движения) определяется массами и скоростями рассматриваемых тел. Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теперь рассмотрим связь кинетической энергии с работой. Если постоянная сила действует на тело, то оно будет двигаться в направлении силы. Тогда элементарная работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2, будет равна произведению силы F на перемещение dr : dA = F dr, отсюда , , ![]() Рассмотрим 2 с/сы отсчета S и S’, ![]() ![]() Полученное выражение представляет собой сумму трех слагаемых: ![]() Кинетическая энергия твердого тела состоит из кинетической энергии его поступательного движения и энергии его движения E' относительно СО, связанной с центром масс. Это утверждение называется теоремой Кёнига. Eк = E' + M·Vc2/2. Для точки обода ![]() 12. Потенциальная энергия в поле центральных сил (потенциальное поле, консервативные силы). Закон сохранения механической энергии. Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называется консервативными. Потенциальная энергия (или энергия положения тел) определяется действием на тело консервативных сил и зависит только от положения тела. Мы видели, что работу силы тяжести ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Закон сохранения механической энергии системы материальных точек. Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек, между которыми действуют консервативные силы внутреннего взаимодействия ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 13. Понятие момента силы и момента импульса, связь между ними. Закон динамики вращательного движения (для материальной точки и системы материальных точек). Закон сохранения момента импульса. Для простоты рассмотрим случай плоского движения, т.е. траектория движения материальной точки лежит в одной плоскости, которую мы расположим перпендикулярно плоскости листа. Выберем на плоскости начало координат О и положение материальной точки будем описывать радиус-вектором ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Закон сохранения момента импульса системы материальных точек Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек: Выберем начало координат О, тогда положение точек будет задаваться радиус-векторами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 14. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение как векторные величины. Связь между векторами скорости и угловой скорости. Угловая скорость и угловое ускорение Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 1). Ее положение через промежуток времени Δt зададим углом Δφ. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются Δφ или dφ). Модуль вектора dφ равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис. 1). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени: ![]() ![]() ![]() Рис.1 т.е v=ωR. В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: ![]() ![]() Рис.2 Если ω=const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt=Т соответствует Δφ=2π, то ω=2π/T, откуда Т=2π/ω. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения: n=1/T=ω/(2π), откуда ω=2πn. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной yгловой скорости по времени: ![]() ![]() Рис.3 При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 3), при замедленном - противонаправлен ему (рис. 4). ![]() Рис.4 Тангенциальная составляющая ускорения aτ=dv/dt , v=ωR и ![]() ![]() 15. Момент инерции. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. |