Дубровский В.И., Федорова В.Н. Биомеханика. Учебник для вузов
 Скачать 6.47 Mb.
|
5.3. Законы Ньютона для произвольного тела. Поступательное движениеПокажем, как понятие центра масс используется в законах Ньютона. На каждую материальную точку, входящую в состав тела, действуют силы как со стороны других тел — внешние силы, так и со стороны остальных точек самого тела — внутренние силы. Например, для падающего тела внешними являются сила тяжести и сила сопротивления воздуха, а внутренними являются силы взаимодействия между молекулами. Обозначим Fiсумму всех сил, действующих на точку с номером i, и запишем второй закон Ньютона для всех точек: F1 = т1·а1 F2 = т2·а2, …………… Fп = тn·аn, Сложив все равенства, получим: F1+F2+... + Fn=m1·a1+m2·a2+... + mn·an. (5.5) Слева стоит сумма всех сил, действующих на все точки тела. Среди них есть как внешние, так и внутренние силы. В соответствие с третьим законом Ньютона сумма всех внутренних,сил равна нулю(силы, с которыми материальные точки действуют друг на друга, равныпо величине и противоположныпо направлению и при сложении дают ноль). Поэтому сумма всех сил в равенстве (5.5) равна сумме внешнихсил: F1+F2+... + Fn = Fвн В правой части равенства (5.5) стоит числитель формулы (5.3). Поэтому m1·а1 + т2·а2 + ... + тп · ап = (m1 + т2 + ... + тп) ·а = т·а. С учетом этого равенство (5.5) принимает следующий вид: F=т·а .. (5.6) Или Соотношение (5.7) является вторым законом Ньютона для произвольного тела. В инерциальной системе отсчета ускорение центра масс тела равно отношению суммы внешних сил к массе тела. Первый и третий законы Ньютона для произвольного тела обобщаются следующим образом. Существует система отсчета, относительно которой центр масс тела движется равномерно и прямолинейно или сохраняет состояние покоя, если на него не действуют другие тела. Такая система называется инерциальной. Любые взаимодействующие тела действуют друг на друга с силой, одинаковой по величине и противоположной по направлению: F = —F Отметим один вид движения тела, к которому законы движения материальной точки применимы без всяких изменений. Пусть тело движется так, что любой его отрезок остается параллельным своему начальному положению (рис. 5.7). Такое движение называется поступательным.  Рис. 5.7. Поступательное движение При таком движении траектории движения всех точек одинаковы. Поэтому одинаковы и все характеристики движения (скорость, ускорение и т. д.). 5.4. Принцип относительности ГалилеяВ подразделе (4.1) было отмечено, что инерциальных систем отсчета существует бесчисленное множество. Возникает вопрос о равноправности различных инерциальных систем, ответ на который дает принцип относительности,сформулированный Галилеем. Любое механическое явление во всех инерциальных системах протекает одинаково и подчиняется одним и тем же законам. Это означает, что опыт, поставленный в различных инерциальных системах в одинаковых условиях, даст один и тот же результат. Например, если гимнаст выполняет какое-то упражнение в спортзале (система отсчета, связанная с Землей), то точно так же он выполнит это упражнение и на палубе корабля, который движется равномерно и прямолинейно по спокойному морю. 5.5. Работа сил, действующих на тело, и его кинетическая энергияПри переходе от рассмотрения движения материальной точки к рассмотрению движения тела законы Ньютона претерпели лишь небольшие уточнения. Иначе обстоит дело с понятиями «работа» и «кинетическая энергия». Поясним это на следующем примере. Пример Пусть человек сжимает двумя руками резиновый мяч, прикладывая к нему одинаковые по величине и противоположные по направлению силы (рис. 5.8).  Рис. 5.8. Работа, совершенная при сжатии мяча, отлична от нуля Перемещение каждой руки направлено в сторону приложенной силы. Поэтому каждая рука совершила положительную работу. В тоже время мяч остался на месте, и его кинетическая энергия не изменилась (осталась равной нулю). Видимым результатом действия сил явилось лишь изменение его формы. Соотношение (4.8) между работой и кинетической энергией в этом случае не выполняется! Кинетическая энергия тела, движение которого не является поступательным, тоже нуждается в уточнении, так как скорости точек тела различны. Введем поправки и уточнения, необходимые для получения формул, которые можно использовать в практических расчетах. Механической работойсилы, действующей на тело, называется скалярная величина, равная произведению силы на путь, пройденный точкой, к которой она приложена и на косинус угла между направлением силы и направлением движения этой точки: A = F·s·соs(а). (5.8) При вычислении кинетической энергии ограничимся рассмотрением движения твердого тела, т. е. тела, которое не изменяет форму и размеры. В этом случае кинетическая энергия равна сумме двух слагаемых:  где vцм —скорость движения центра масс тела, а евр— кинетическая энергия, связанная со вращением тела относительно центра масс. Формула для вычисления кинетической энергии вращения вокруг центра масс будет приведена в подразделе (7.1 ). При поступательном движении тела скорости всех его точек одинаковы (v), а вращение отсутствует (Евр = 0). Поэтому кинетическая энергия при поступательном движении рассчитывается так же, как для материальной точки Связь между изменением кинетической энергии и работой внешних сил для твердого тела такая же, как для материальной точки: Изменение кинетической энергии твердого тела равно сумме работ всех действующих на него внешних сил: Fk2 – Fk1 = AI +AII + … (5.10) |