Дубровский В.И., Федорова В.Н. Биомеханика. Учебник для вузов

• Название: Учебник для вузов
• Анкор: Дубровский В.И., Федорова В.Н. Биомеханика.doc
• Дата: 28.01.2017
• Размер: 6.47 Mb.
• Имя файла: Дубровский В.И., Федорова В.Н. Биомеханика.doc
• Тип: Учебник; #922
• страница: 27 из 65

Глава 9 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

9.1. Консервативные силы, потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике

В механике есть силы, работа которых при перемещении тела по замкнутому контуру равняется нулю. Такие силы называются потенциальными, или консервативными.

Консервативной называется сила, работа которой при перемещении тела по замкнутому контуру равняется нулю.

Нетрудно показать, что консервативные силы обладают еще двумя свойствами:

1) работа консервативной силы при переходе тела из одного положения в другое не зависит от траектории движения, а определяется только начальным и конечным положениями тела;

2) при изменении направления перехода работа консервативной силы изменяет свой знак, не меняя величины A_1-2 = —A_2-1.

Опираясь на закон всемирного тяготения и закон Гука, можно доказать, что сила тяготения и упругая сила являются потенциальными.

Потенциальность этих сил связана с тем, что на одном участке замкнутой траектории силы совершают положительную работу, а на другом — отрицательную так, что в сумме получается ноль. Покажем это на примере силы тяготения, действующей у поверхности Земли. Пусть тело проходит по замкнутой прямоугольной траектории 1—2—3—4—1 (рис. 9.1).


Рис. 9.1. Работа силы тяжести на замкнутой траектории
На участке 1—2 сила тяготения мешает движению, и ее работа отрицательна: А_1-2=—mgh. На участках 2—3 и 4—1 сила тяготения перпендикулярна направлению движения, и ее работа равна нулю: A₂-₃ = A_4-1 = 0. На участке 3—4 сила тяготения помогает движению, и ее работа положительна:A₃-₄= mgh. Полная работа на всем пути получается равной нулю:

А_1-2+ A₂-₃ + A₃-₄ +A_4-1 = —mgh + mgh +0 = 0.

Не все силы являются потенциальными. Например, сила трения скольжения всегда направлена против движения тела и ее работа на всем пути — отрицательна. Сила трения не консервативна.

Работу консервативной силы удобно рассчитывать через уменьшение специальной величины — потенциальной энергии. Получим соответствующую формулу.

Пусть тело переходит из положения 1 в положение 2 (рис. 9.2). Выберем некоторую точку пространства (О) в качестве точки отсчета и рассмотрим траекторию движения, проходящую через эту точку: 1—О—2.



Рис. 9.2. Работа на траектории, проходящей через точку отсчета (О)
По свойству 1 работа на этой траектории такая же, как для прямого перехода 1—2: A_1-0+ А₀-₂ = А₁-₂.

По свойству 2: А₀-₂ = —A₂-₀. Поэтому выполняется равенство:

А₁-₂= A_1-0 — A₂-₀(9.1)

Потенциальной энергией тела (E_n) называется скалярная величина, равная работе, совершаемой консервативной силой, при переходе тела из данного положения на выбранный уровень отсчета (О).

В соответствии с этим определением A_1-0 = E_n1 и А₂-₀ = Е_п2. Поэтому формулу (9.1) можно записать в следующем виде:

А₁-_{2 =} E_n1 — Е_п2 (9.2)

Таким образом, доказано, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.
Гравитационная потенциальная энергия
Найдем потенциальную энергию тела, поднятого над землей. За уровень отсчета возьмем любой удобный горизонтальный уровень (О). Пусть тело массой m находится над этим уровнем на высоте h (рис. 9.3).


Рис. 9.3. Потенциальная энергия тела, поднятого над уровнем отсчета
Согласно определению, потенциальная энергия тела равна работе, совершенной силой тяготения при переходе тела с высоты h на уровень отсчета (h = 0):


E_n=m·g·h. (9.3)
Формула (9.3) определяет потенциальную энергию, связанную с гравитационным взаимодействием.

Потенциальная энергия упругих тел
Существует еще один вид потенциальной энергии, связанный с упругим взаимодействием молекул при небольших деформациях почти всех тел. Для наглядности рассмотрим сжатую пружину (рис. 9.4, а), которую мы возвращаем в исходное (недеформированное) состояние (рис. 9.4, б), придерживая рукой. При этом на руку действует сила упругости, совершающая работу. Выберем в качестве уровня отсчета положение, в котором пружина не деформирована (б). Тогда, согласно определению, совершенная силой упругости работа равна потенциальной энергии деформированной пружины. Вычислим ее величину.



Рис. 9.4. Потенциальная энергия пружины: а) сжатая пружина, б) пружина в исходном состоянии
В соответствии с законом Гука сила упругости, действующая на руку, пропорциональна величине деформации (х) и направлена в сторону уменьшения деформации F_y= —kx. Пусть пружина, распрямляясь, переместила руку на небольшой отрезок dx. Тогда она совершила работу

dA = F_y·dx = -k·x· dx. (9.4)

Полная работа вычисляется с помощью определенного интеграла:



Потенциальная энергия деформированной пружины определяется такой же формулой:



где k — жесткость пружины; х — ее деформация.

Из приведенных примеров видно, что энергию можно накопить в форме потенциальной энергии (поднять тело, сжать пружину) для последующего использования. Кроме того, следует заметить, что, если для кинетической энергии тела (частицы) существует единое универсальное выражение, то для потенциальной энергии такого выражения нет; аналитический вид формул для вычисления потенциальной энергии зависит от рассматриваемых сил. Потенциальная энергия всегда связана с той или иной силой, действующей со стороны одного тела на другое. Например, Земля силой тяжести действует на падающий предмет, сжатая пружина — на шарик, натянутая тетива — на стрелу. Потенциальная энергия это не то, что присуще самому телу: она всегда связана со взаимодействием тел.

Потенциальная энергия — это энергия, которой обладает тело благодаря своему положению по отношению к другим телам, или благодаря взаимному расположению частей одного тела.

Рассмотрим случай, когда в процессе движения тела работу совершают только консервативные силы. Тогда можно записать:

Е _к2 -Е _к1 = А=Е _n1 -Е _n2,
ИЛИ

Е _к2 +Е _n2 = Е _к1+Е _n2
Таким образом, в данном случае сумма кинетической и потенциальной энергий тела осталась неизменной. Эта сумма называется полной механической энергией тела.

Полной механической энергиейтела называется сумма его потенциальной и кинетической энергий:

Е = Е _к+Е _n(9.6)

Мы получили закон сохранения механической энергии.

Если в системе действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия входящих в систему тел не изменяется: Е = const.

Иными словами, для любых двух моментов времени полные механические энергии одинаковы:

E₂ = E₁ (9.7)

Закон сохранения энергии в механике имеет ограниченный характер. Он не утверждает, что механическая энергия всегда

сохраняется, а лишь указывает условие, при котором такое сохранение имеет место: работу должны совершать только консервативные силы. В этом случае при движении тела происходит переход кинетической энергии в потенциальную или наоборот.

Если при движении на тело действуют не консервативные силы, которые совершают работу, то полная механическая энергия не сохраняется. В этом случае ее изменение равно этой работе:


Примеры
1) Падение камня
Тело падает на землю с высоты h_oбез начальной скорости, а силой сопротивления воздуха можно пренебречь (рис. 9.5). На тело действует только сила тяжести, которая является консервативной. Следовательно, полная механическая энергия сохраняется.



Рис. 9.5. При падении тела его потенциальная энергия переходит в кинетическую
Запишем закон сохранения энергии для двух положений: начального (1) и конечного (2) — тело подлетело к земле:

Е₂ = Е₁

В исходном положении скорость движения равна нулю и тело обладает только потенциальной энергией: E_l = mgh_Q. При падении камня потенциальная энергия уменьшается, но увеличивается его кинетическая энергия. В конечной точке траектории высота равна нулю, скорость движения максимальна (у_к) и тело обладает только кинетической энергией .

Подставив эти значения в закон сохранения, получим:


В промежуточных точках траектории тело обладает и кинетической, и потенциальной энергиями, сумма которых остается постоянной:



2) Движение велосипедиста по холмистой местности

Пусть велосипедист начинает скатываться с вершины холма и, пройдя ложбину, поднимается по инерции на соседний холм (рис. 9.6). Допустим, что сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь. Тогда на велосипедиста действуют две силы: консервативная сила тяжести (mg) и сила нормального давления со стороны дороги (N). Последняя сила перпендикулярна направлению движения и работы не совершает. Поэтому полная механическая энергия велосипедиста сохраняется: Е_к + Е_n. = const.

При спуске с холма потенциальная энергия переходит в кинетическую, которая достигает максимума у подножия холма. Далее велосипедист начинает вкатываться на другой холм. При этом кинетическая энергия переходит в потенциальную.

Если высота второго холма меньше высоты первого, то при подъеме на его вершину велосипедист израсходует не всю кинетическую энергию. Поэтому он минует вершину и скатится с противоположного склона второго холма.


Рис. 9.6. Велосипедист, съезжающий с холма
Если высота второго холма больше высоты первого, то велосипедист израсходует всю кинетическую энергию, не достигнув вершины, и остановится. Это произойдет на высоте, равной первоначальной. Для того, чтобы перевалить через вершину, велосипедист должен увеличить механическую энергию за счет работы ног.

В реальном случае велосипедист испытывает действие силы трения, которая совершает отрицательную работу. Поэтому, если велосипедист не работает ногами, полная механическая энергия сохраняться не будет:

E₂-E₁= A _{трения.}

Для того, чтобы поддерживать механическую энергию неизменной, велосипедист должен компенсировать отрицательную работу силы трения положительной работой своих мышц

A _мышц = A _{трения.} (9.9)

Отсюда следует, что, чем меньше сила трения, тем меньшая работа требуется от мышц, тем меньше утомление и выше результаты. Поэтому фирмы, занимающиеся производством спортивной техники и спортивной одежды, ведут постоянные исследования, направленные на уменьшение силы трения.

В некоторых случаях механическая энергия сохраняется при передаче энергии от одного тела к другому. Например, потенциальная энергия, запасенная в натянутой тетиве лука, преобразуется в кинетическую энергию стрелы.