_КР Математика 38.05.02 2016. Учебнометодические указания по выполнению контрольной работы Дисциплина математика
![]()
|
3. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ № 23.1. Дифференциальные уравненияГл. XXII § 1-13 [2]; № 2058, 2067, 2094, 2102, 2165, 2186, 2213, 2215 [3]. Разберите решение задач 12, 13 данного пособия. Задача12.Решить уравнение у'−уtgx=−y2cosx. Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций: u=u(x) и υ=υ(х), то есть введем подстановку у= u·υ. Тогда у'=u'υ+uυ' и данное уравнение примет вид: u'υ+uυ'− uυ tgx=− u2υ2cosx или υ(u'−utgx)+ uυ'=− u2υ2cosx (15) Выберем функцию u так, чтобы u'− utgx=0 (16) При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид uυ'==− u2υ2cosxили υ'=− uυ2cosx (17) Решая (16) как уравнение с разделяющими переменными, имеем: ![]() ![]() ![]() Здесь производная постоянная С = 0. Подставляя найденное значение u в уравнение (17), имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 13. Найти частное решение уравнения у''+4у=4sin2x-8cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у'(0)=0. Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уодн однородного уравнения и какого-либо частного решения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() уодн= ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Применяя эту теорему при ![]() ![]() ![]() Дважды дифференцируя последнее равенство, находим у'':у''=(4В−4Ах)cos2x+(−4А−4Вх)sin2x.Подставив в данное уравнение ![]() 4В cos2x−4А sin2x=4 sin2x−8 cos2x,откудаА=−1, В=−2. Следовательно, ![]() ![]() Найдем у':у'=−2С1sin2x+2С2cos2x- cos2x-2sin2x-х(−2sin2x+4 cos2x).Используя начальные условия, получим систему ![]() Следовательно, у= ![]() 3.1.1. Вопросы для самопроверки1. Что называется дифференциальным уравнением? 2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением? 3. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка? 4. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. 5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ их решения. 6. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка? 7. Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка? 8. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения? 9. Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция? 10. Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция? 3.2. РядыГл. XXI § 1-14[2]; № 2424, 2426, 2474, 2475, 2503, 2519, 2533[3]. Разберите решение задач 14, 15 данного пособия. Задача 14.Написать первыетри члена ряда ![]() Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде: ![]() Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера: ![]() ![]() Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при x = ![]() ![]() Задача 15. Вычислить ![]() Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sinxна ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда ![]() 3.2.1. Вопросы для самопроверки
![]()
3.3. Повторные независимые испытанияГл. 5[6]; № 112, 115, 119, 120, 131[7]. Разберите решения задач 16 – 19 методических указаний. Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9.Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех? Решение. Пусть событиеА – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В – из 4 семян взойдут 3 семени; событие С – из 4семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей P(A) = P(B) + P(C). Вероятности Р(В) и Р(С) определим по формуле Бернулли,применяемой в следующем случае. Пусть проводится серияn независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна p, а вероятность не наступления этого события равна q =1 – p. Тогда вероятность того, что событиеА в n испытаниях появится ровно Rраз, вычисляется по формуле Бернулли ![]() где ![]() Тогда ![]() Искомая вероятность P(A) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477. Задача 17.Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян. Решение. Вычислить искомую вероятность по формуле ![]() Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа: ![]() где ![]() ![]() Из условия задачи p = 0,9; q = 1 – 0,9 = 0,1; n = 400; R = 350. Тогда ![]() Из таблицы 1 приложений находим φ( - 1,67 ) = φ (1,67 ) = 0, 0989 . Искомая вероятность равна ![]() Задача 18.Среди семян пшеницы 0,02 % сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10 000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков? Решение. Применение Локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности p = 0, 0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения ![]() ![]() ![]() ![]() Эта формула используется при λ ≤ 10, причем, чем меньше p и больше n, тем результат точнее.По условию задачи p=0,0002; n=10 000; R=6.Тогда λ = ![]() ![]() Задача 19.Процент всхожести семян пшеницы равен 90 %. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян . Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна p, то вероятность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() 3.3.1. Вопросы для самопроверки
3.4. Случайные величины и их числовыехарактеристикиГл. 6, § 1 – 3, гл. 7, 8, 10, 11 [6]; № 165, 176, 188, 210, 254, 263, 276, 328,341[7]. Задача 20.Задан закон распределения дискретной случайной величины Х: Х 40 42 41 44, Р 0,1 0,3 0,2 0,4. Найти: 1) математическое ожидание М (Х). 2) Дисперсию D (Х). 3) Среднее квадратическое отклонение σ. Решение.1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей Х ![]() ![]() ![]() Р ![]() ![]() ![]() где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание М (Х) вычисляется по формуле ![]() Тогда M (X)= 40 · 0,1 + 42 · 0,3 + 41 · 0,4 = 42,4. 2) Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е. ![]() Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X от M (X). Из последней формулы имеем D (X) = ( 40 – 42,4 )²∙0,1+(42 – 42,4)2∙0,3+(41 – 42,4)2∙0,2+(44 – – 42,4)2∙0,4=2,42∙0,1+0,42∙0,3+1,420,2+1,62∙0,4=2,04. Дисперсия D(X) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания M (X), то есть D (X) = M (X²) - [ M (X) ]².Для вычисления M (X²) составим следующий закон распределения величины X² : X² 40² 42² 41² 44² P 0,1 0,3 0,2 0,4. Тогда M (X²) = 40² · 0,1 + 42² · 0,3 + 41² · 0,2 + 44² · 0,4 =160 + 529,2 + +336,2 + 774,4 = 1799,8 иD (X) = 1799,8 – 42,4² = 2,04. 3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение σ (X) случайной величины X, равное квадратному корню из дисперсии D (X), то есть ![]() ![]() Задача 21.Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения 0 при х < 0, F (x) = х³ при 0 ≤ х ≤1, 1 при х > 1. Найти: 1) Дифференциальную функцию распределения f (x). 2) Математическое ожидание M (X); 3) дисперсию D (X) . Решение. 1) Дифференциальная функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения F (x) , то есть ![]() 0 при х < 0 , f (x) = 3 ![]() 0 при х > 1. 2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f (x) , то ее математическое ожидание определяется формулой ![]() Так как функция f (x) при x< 0 и при x>1 равна нулю, то из последней формулы имеем ![]() 3) Дисперсию D (X) определим по формуле ![]() Тогда ![]() ![]() Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40мм и средним квадратическим отклонением 3мм.Найти:1) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5мм. Решение: 1) Пусть Х - длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (х), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку [α ; β ] , определяется по формуле ![]() Вероятность выполнения строгих неравенств L ![]() где Ф (х ) – функция Лапласа; a =M (X); σ = ![]() В задачеа = 40, α = 34, β = 43, σ = 3. Тогда ![]() ![]() 2) По условию задачи а – δ < Х < а + δ, где а = 40; δ = 1,5. Подставив в (1) α = а – δ, β = а + δ, имеем ![]() ![]() то есть ![]() Из формулы (23) имеем: ![]() 3.4.1. Вопросы для самопроверки
3.5. Элементы линейного программированияГл. XXVI § 3[2]. Задача 23.Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 у.е, пятитонного – 5000 у.е. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами. Решение. Пусть приобретено ![]() ![]() автомашин. Из условия задачи имеем
0 ≤ ![]() 4 ![]() ![]() Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна L = 3 ![]() ![]() Задача состоит в нахождении такого решения системы (24) , при котором линейная форма (целевая функция) (25) принимает наибольшее значение. Графический метод решения. В прямоугольной системе координат ![]() OABCD, образованный прямыми ![]() ![]() ![]() = 0 (AO), ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 2.9. Решение задачи 23 графическим методом Системе (24) удовлетворяют координаты точек, лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него. Так как прямые (24) и BC не параллельны, то для нахождения оптимального решения системы (24), для которого линейная форма (25) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеют следующие координаты: А (20; 0), В (20; 14), С (15, 18), D (0; 18). Подставляя координаты этих точек в (25), получим: L (A) = L (20; 0 ) = 60; L (B) = L (20; 14) = 130; L (C) = L (15; 18) = 135; L (D) = L (0; 18) = 90. Следовательно, L = L (15; 18) = 135, то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин, при их общей грузоподъемностью 135 т. 3.5.1. Вопросы для самопроверки
|