_КР Математика 38.05.02 2016. Учебнометодические указания по выполнению контрольной работы Дисциплина математика
 Скачать 1.04 Mb.
|
4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1В задачах 1 – 20 даны вершины треугольника ABC. Найти: 1) Длину стороны АВ. 2) Уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) Внутренний уголА в радианах с точностью до 0,01; 4) Уравнение высоты CD и ее длину; 5) Уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) Систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.
В задачах 21 – 25 составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(x1;y1) и до прямой х=а равно числу ε. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
В задачах 26 – 30 составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (  ; ) равно расстоянию до прямой y=b. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую. 26. А( 2; 1 ), b = - 1, 27. A ( -2; -2 ), b = - 4. 28. A ( 2; -1 ), b = 2, 29. A ( 2; -1 ), b = 1 30. A ( 4; -1 ), b = 1. В задачах 31 – 40 даны координаты точекА, В, С. Требуется: 1) Записать векторы АВ и АС в системе орт и найти модули этих векторов; 2) Найти угол между векторами  и  ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .
В задачах 41 – 50 даны векторы  ,  ,  ,  . Показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе. 41. ( 2; 1; 3 ), ( 3; -2; 1 ), ( 1; -3; - 4 ), ( 7; 0; 7 ).42. ( 5; 3; 1 ), ( -2; -1; 2 ), (-2; 1; 4 ), ( 3; 0; 1 ).43. ( 1; 3; 5 ), ( -2; -1;-1 ), ( 4; -2; 4 ), ( -7; 3; -1 ).44. ( 3; 1; 6 ), ( -2; 2; -3 ), (-4; 5; -1 ), ( 3; 0; 1 ).45. ( 4; 1; 4 ), ( -2; -1; 1 ), ( 3; 1; 5 ), ( -3; -2; 1 ).46. ( 1; 2; 5 ), ( 2; -3; 4 ), ( 1; -1; -2 ), (3; 0; 1 ).47. ( 5; 1; 2 ), ( 3: 4; -1 ), ( -4; 2; 1 ), ( -3; 5; 4 ).48. ( 2; 1; 5 ), ( -4; 3; 5), ( 1; -1; -4 ), ( 4; -1; -3 ). 49. ( 3; 1; 4 ), ( - 4; 2; 3 ), ( 2; -1;-2 ), ( 7; -1; 0 ).50. (1; 4; 2 ), ( 5; -2; -3 ), ( - 2; -1; 1 ), ( -3; 2; 4 ).В задачах 51 – 60 систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. x + y – 3z = 0, 2x + 3y + z = 1, 51. 3x + 2y + 2z = - 1, 52. x + y – 4z = 0, x – y + 5z = - 2 . 4x + 5y – 3 z = 1. 3x -2y – z = - 5, x – 4y + 2z = - 5, 53. x + 3y + 2z = 2, 54. 4x + y – 3z = - 3, 5x – 2y + 4z = - 7. 2x + 3y + 4z = 1. 2x + 4y – 3z = 2, x + 2y – 3z = 1, 55. x + y + 2z = 0, 56. 2x – 3y – z = - 7, 3x – 2y + z = - 5. 4x + y – 2z = 0. 3x – y + 4z = 2, 3x – 3y + 2z = -4, 57. x + 2y + 3z = 7, 58. 2x +y – 3z = - 1, 5x + 3y + 2z = 8. x – 2y + 5z = 1 4x – y + 3z = 1, 2x – y + 3z = 1, 59. 3x + 2y + 4z = 8, 60. x -2y – 5z = - 9 2x – 2y + 4z = 0. 4x + 3y – 2z = 4. В задачах 61 – 80 найти указанные пределы . 61. а)  ; б)  ;в)   ; г)  62. a)   ; б)  ;в)  ; г)  ;63. a)  ; б)  ;в)  ; г)  ;64. a)  ; б)  ;в)  ; г)  ;65. a)  ; б)  ;в)  ; г)  ;66. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .67. a)  ; б)  ;в)  ; г)  ;68. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .69. a)  ; б) ;в)  ; г)  ;70. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .71. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .72. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .73. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .74. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .75. a)  ; б)  ;в)  ; г)  . 76. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .77. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .78. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .79. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .80. a)  ; б)  ;в)  ; г)  .В задачах 81 – 100 найти производные функций
в)  .82. a)  ; б)  ;в)  .83. a)  ; б)  ;в)  .84. a)  ; б)  ;в)  .85. a)  ; б)  ;в)  .86. a)  ; б)  ;в)  .87. a)  ; б)  ;в)  .88. a)  ; б)  ;в)  .89. a)  ; б)  ;в)  .90. a)  ; б)  ;в)  .91. a)  ; б)  ;в)  .92. a)  ; б)  ;в)  .93. a)  ; б)  ;в)  .94. a)  ; б)  в)  .95. a)  ; б)  ;в)  .96. a)  ; б)  ;в)  .97. a)  ; б)  ;в)  .98. a)  ; б)  ;в)  .99. a)  ; б)   ;в)  .100. a)  ; б)  ;в)  .В задачах 101 - 102 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции . 101.  . 102.  . 103.  .104.  . 105.  . 106.  .107.  . 108.  . 109.  .110.  . 111.  . 112.  .113.  . 114.  . 115.  .116.  . 117.  . 118.  .119.  . 120.  .121. Каковы радиус основания R и высота H открытого цилиндрического бака данного объема V, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла? 122. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей? 123. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, которой можно вписать в эллипс  .124. Найти наибольший объем цилиндра, полная поверхность которого равна S. 125. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна l. 126. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала. 127. Сумма двух положительных чисел равна а . Каковы эти числа, если сумма их кубов будет наименьшей? 128. Два коридора шириной 2,4 м и 1,6 м пересекаются под прямым углом. Определить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести горизонтально из одного коридора в другой. 129. На параболе y = x² найти точку, наименее удаленную от прямой y = 2x – 4. 130. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R, найти тот, который имеет наибольшую площадь. В задачах 131 – 135 исследовать на экстремум функцию z = f( x, y ). 131. z = 3x + 3y - x² - xy - y² + 6. 132. z = 7x + 8y - x² - xy – y² - 10. 133. z = 8x – 4y + x² - xy + y² +15. 134. z = x² + y² - 6x – 8y + 12. 135. z = 2x – 8y - x² - y² - 9. В задачах 136 -140 найти наименьшее и наибольшее значения функции z = f( x, y ) в данной замкнутой область. 136. z = x² + xy – 6x – 2y + 2 в прямоугольнике 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4. 137. z = x² + 4xy - y² - 5 в треугольнике, ограниченном осями Ox и Oy и прямойy = 2 – x. 138. z = x² + y² - 10x – 2y + 15 в прямоугольнике 2 ≤ x ≤ 6,0 ≤ y ≤ 5. 139. z = x² - 2xy + 4x – 4y + 7 в области, ограниченной параболой y = - x² - 4x и осью Ox. 140. z = x² + 2y² + 4xy + 2x + 4y + 2 в квадрате 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2. В задачах 141 – 160 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием. 141. a)  ; б)  ;в)  .142. a)  ; б)  ;в)  .143. a)  ; б)  ;в)  .144. a)  ; б)  ;в)  .145. a)  ; б)  ;в)  .146. a)  ; б)  ;в)  .147. a)  ; б)  ;в)  .148. a)  ; б)  ;в)  .149. a)  ; б)  ;в)  .150. a)  ; б)  ;в)  .151. a)  ; б)  ;в)  .152. a)  ; б)  ;в)  .153. a)  ; б)  ;в) .154. a)  ; б)  ;в)  .155. a)  ; б)  ;в)  .156 a)  ; б)  ;в)  .157. a)  ; б)  ;в)  .158. a)  ; б)  ;в)  .159. a)  ; б)  ;в)  .160. a)  ; б)   ;в)  .В задачах 161-170 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж. 161. y=x³;  .162.  ; y=6-x.163.  ; y=4-x.164. y=x² +2; y=4-x². 165. y=-x²+1; y=x-1 166. y=x² - 4x +4; y=x. 167.  ; y²=4x.168.  ; y=7-x.169. y=3x²+1;y=3x+7. 170. y=2x-x²; y=-x. В задачах 171 – 175 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
175.  В задачах 176 – 180 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
178. x + y – 2 = 0; x = 0; y = 0. 179. xy = 2; x = 0; y = 4. 180. y = - x ² + 4; x = 0; y = 0; y = 3. |
.
.
; б) 
;
.