Биометрия верстка_. Учебнометодическое объединение по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России биометрия
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
Министерство образования Российской Федерации Министерство здравоохранения Российской Федерации Учебно-методическое объединение по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России БИОМЕТРИЯ Учебно-методическое руководство Рекомендовано Учебно-методическим объединением по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России в качестве учебно-методического руководства для студентов медицинских вузов Издательство Саратовского медицинского университета 2016 2 УДК 57.087.1 В методическом пособии рассматриваются основы биометрии -совокупность методов теории вероятностей, математической статистики, корреляционного и регрессионного анализа, применяемых в теоретической и практической медицине. Приведены примеры использования различных методов анализа данных медико-биологических наблюдений, задачи для самостоятельного решения. Пособие предназначено для студентов и аспирантов медицинских вузов. Составители кандидаты физико-математических наук ГА. Козлов, А.Е.Луньков, Б.А.Дворкин; С.В.Трубецкова. Рецензенты зав. каф. экономики здравоохранения СГМУ, доктор медицинских наук, профессор Е.А.Маврина, профессор каф. теоретической механики СГТУ, доктор технических наук В.М.Панкратов. Одобрено и рекомендовано к печати центральным координационно- методическим советом СГМУ. ISBN 5-7213-0076-0 © Составители, 2016. © Саратовский медицинский университет, 2016. 3 ВВЕДЕНИЕ Подавляющее большинство понятий и методов высшей математики относится к методам математической физики, те. предназначено для различных физических задач. Эти задачи подразумевают строгую функциональную зависимость между различными переменными величинами. При изучении живых организмов параметры, характеризующие их, представляют собой случайные величины, значения которых невозможно предугадать заранее. Взаимосвязь таких случайных величин в процессе жизнедеятельности организма и его систем носит как правило вероятностный характер. Поэтому наиболее "близкими по духу" задачам медико - биологических исследований являются такие разделы математики, как теория вероятностей и математическая статистика. Применение методов теории вероятностей и математической статистики ведет начало практически с возникновением этих разделов в середине 17 века. Во второй половине века как относительно самостоятельная дисциплина сложилась биометрия - совокупность методов теории вероятностей и математической статистики, используемых в биологии и медицине. Методы биометрии позволяют решать широкий круг задач теоретической и практической медицины, и поэтому знакомство с основами теории вероятностей и математической статистики и их применение в медицине и биологии является одной из задач медицинской и биологической физики. Первое знакомство с этими разделами математики хотя и не требует математической подготовки, выходящей за рамки средней школы но вызывает как показывает опыт преподавания, определенные трудности усвоения материала , особенно его практического применения. Данное пособие предназначено для студентов медицинских вузов, а также может представлять интерес для аспирантов и научных сотрудников, проводящих медико - биологические исследования и наблюдения. В пособие вошли пять разделов, представляющих основы биометрии - основы теории вероятностей , в том числе ее применение в медицинской диагностике - теория случайных величин - элементы математической статистики - основы корреляционного анализа случайных величин - основы регрессионного анализа экспериментальных данных. В заключительной части пособия приведены необходимые справочные таблицы и перечень литературы, использованной при подготовке пособия. Изложение материала разделов сопровождается иллюстрацией на примерах и решением задач. В конце каждого раздела приводятся задачи для самостоятельного решения, преимущественно медицинского и биологического характера. Пособие подготовлено авторским коллективом преподавателей кафедры медицинской и биологической физики С ГМ У : доцентами ГА. Козловым (раздел 3), А.Е. Луньковым (раздел 1), ст. преп. Б.А. Дворкиным (разделы 4, 5 и 6) и асс. СВ. Трубецко- вой (разделы 1 и 2). 4 I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Методы теории вероятностей нашли очень широкое применение при обработке данных экспериментов и при решении ряда задач во всех областях науки. Особенно важна правильная оценка результатов эксперимента в биологии и медицине, где параметры исследований варьируются в широких пределах и зависят от большого числа факторов. В настоящее время разработан математический аппарат, позволяющий делать точный и методически строгий анализ данных в таких условиях. Важной частью этого аппарата являются методы теории вероятностей и математической статистики, которые нашли применение в организации здравоохранения, разработке методов медицинской диагностики и пр. 1.1. Виды событий. Вероятность события В теории вероятностей испытанием (или опытом) принято называть наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий. Эти условия должны каждый раз строго выполняться при проведении испытания. Если тоже самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание. Например, при измерении температуры у четырех больных в палате может получиться пять разных результатов у всех нормальная температура, у одного больного повышенная температура, у двух ..., у всех повышенная температура. Процесс измерения температуры является испытанием, а каждый из результатов - событием. Событие называется случайным, если при проведении испытания оно может наступить, а может и не наступить. Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным. Событие, которое не может произойти в данном испытании, называется невозможным Обозначаются события латинскими или русскими буквами либо в порядке алфавита, либо произвольно, либо соответствующими первым буквам названий рассматриваемых явлений. Теория вероятностей появилась как результат попыток прогнозирования исходов разных игр, в том числе и азартных. Поэтому часто используемыми примерами являются бросание монеты или игрального кубика, вынимание шаров или разных игральных фишек из закрытых урн и т. д. Одно или несколько событий, при которых получается нужный нам результат, называются благоприятными. Например, при бросании игрального кубика выигрыш будет при выпадении числа очков, больших четырех (5 или 6). Таким образом, в этом испытании возможны 6 разных событий (шесть граней кубика, а благоприятными являются только два события. События называются несовместными, если при появлении одного из них веди- ничном испытании исключается появление другого в том же испытании. Примеры давление крови может быть повышенным, пониженными нормальным. Для одного человека эти события несовместные. С другой стороны, при пониженном давлении может быть высокая температура - это совместные события. При проведении опыта шансы появления каждого события могут быть разными. Количественной оценкой шансов того или иного события является относительная частота события. Относительная частота появления события А (А) равна отношению числа благоприятных событий m к числу проведенных испытаний n : Если бросать монету и увеличивать число опытов, то при разном числе броса- ний n число появления "орла" m может быть n 10 20 30 50 100 200 500 1000 2000 5000 m 3 12 17 23 48 105 255 490 1035 2510 ν 0,3 0,6 0,56 0,46 0,48 0,525 0,51 0,49 0,517 0,506 Из таблицы видно, что при увеличении числа опытов n значения относительной частоты все ближе стремятся к числу 0,5. Таким образом, если увеличивать число испытаний, то частота появления данного события будет несколько изменяться, но ее значения будут группироваться около некоторого числа. Это постоянное число, около которого группируются значения частоты появления случайного события, получило название вероятности случайного события. Вероятностью случайного события А (А) называется предел, к которому стремится относительная частота появления этого события при неограниченно большом числе испытаний и сохранении неизменными условий опыта В дальнейшем, если событие не указано, вероятность будем обозначать как p (от англ. probability - вероятность ). Так как бесконечно большое число испытаний провести практически невозможно, то за вероятность принимают относительную частоту события при большом числе испытаний. Вероятность события можно также найти, если известны условия проведения опыта и связь с рассматриваемым событием. Например, из колоды карт надо вынуть туза любой масти. В колоде 32 карты (n =32), интересующих нас - всего 4 (m =4). В таком случае вероятность можно подсчитать без проведения опыта (априорная вероятность) как отношение числа благоприятных событий к общему числу возможных событий Для рассмотренного примера p=4/32=0,125. Этот же результат получится, если при очень большом числе выниманий карт будем подсчитывать число благоприятных исходов. Примеры а) если подброшенная монета падает на пол, то из двух возможных вариантов орел и решка) нам нужен только один результат. Поэтому вероятность выпадения равна 1/2. Напомним, что условия проведения испытаний должны быть неизменными. Например, если монету будем подбрасывать над песком, то увеличится вероятность падения монеты на ребро. При падении на пол вероятность такого события практически равна нулю б) при бросании игрального кубика вероятность выпадения числа очков от 1 до 6 одинакова для каждой грани, если кубик изготовлен из однородного материала и все грани одинаковые (p=1/6). Если же кубик имеет центр тяжести, не совпадающий сцен- тром симметрии, или какую-либо грань намазать клейким слоем, то вероятность выпадения противоположной грани возрастает. События называются равновозможными, если вероятности их появления одинаковы. При вычислении вероятностей в медицинских и биологических задачах особенно необходимо тщательно подбирать группы объектов, находящихся в одинаковых условиях. Например, группы больных следует подбирать примерно одного возраста, находящихся в одинаковых условиях жизни, работы и пр. Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна О. Вероятность случайного события может принимать значения от 1 до 0 . Событие В называется независимым от события А, если вероятность события Вне зависит оттого, произошло событие А или нет. Событие В называется зависимым от события А, если вероятность события В зависит оттого, произошло событие А перед этим или нет. Вероятность зависимого события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается следующим образом p(В/А). Примеры 1) В урне два белых (Б – 2) и один черный шар (Ч – 1). Найдите вероятность того, что при последовательном вынимании двух шаров второй будет черным. Найти вероятность вынимания вторым черного шара нельзя, если не учесть, какой шар вынут первым. Поэтому надо найти условные вероятности p(Ч2/Б1) или p(Ч2/Ч1). В первом случае такая запись читается следующим образом вероятность вынимания вторым черного шара при условии, что первым вынут белый шар. Так как перед вторым выниманием в урне осталось два шара, то n=2. Если первый шар был белым, то остался один черный шар и поэтому m=1: p(Ч2/Б1) = 1/2. Если же первый шар был черным, тов урне осталось два белых шара, а черного уже нетто есть m =0: p(Ч2/Ч1) = 0. 7 2) К экзамену студент выучил только 20 билетов из 30. Какова вероятность того, что ему достанется невыученный билет, если он берет билет первым Какой станет вероятность этого события, если студент берет билет вторым Обозначим : n = 30; m = 10; искомые вероятности соответственно р(П 1 ) и р(П 2 ). Если студент берет билет первым, то передним в пачке из 30 билетов - 10 плохих, которые он не выучил. Вероятность того, что ему достанется плохой билет, равна П. Если же студент идет на экзамен вторым, то вероятность взять плохой билет зависит оттого, какой билет достался первому студенту. В пачке осталось билетов. Вероятность того, что второму студенту достанется плохой билет при условии, что первый вытянул один из таких билетов, равна p(П 2 /П 1 )=9/29. Если же первый студент взял хороший билет, тов пачке из 29 билетов по-прежнему 10 не выученных. Поэтому вероятность того, что второй студент возьмет плохой билет, при условии, что первый взял хороший, равна p(П 2 /Х 1 )=10/29. Если в результате опыта непременно появится одно из рассматриваемых событий, то их называют полной группой событий. Например, температура может быть повышенной, нормальной или пониженной - эти события составляют полную группу. Два несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными. Обозначаются противоположные события одинаковыми буквами, но над одной из них черта. Например, выпадение "орла" при бросании монеты – событие A, выпадение "решки" - событие. Основные теоремы теории вероятностей При определении вероятности события, представляющего собой комбинацию нескольких случайных событий, используют две основных теоремы теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей Пусть n - общее число испытаний, m 1 - общее число случаев, благоприятствующих событию А, m 2 - число случаев, благоприятствующих событию В (Аи В принадлежат одной группе событий. Число случаев, когда произойдет либо событие А, либо событие В, равно ( m 1 + m 2 ). Тогда или 1 2 Так как n m A p 1 ) ( = , n m B p 2 ) ( = , то p(A или В p(A) + В) . Следовательно, вероятность появления одного из двух событий (А или Виз большого числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Теорема сложения вероятностей выполняется не только для двух, но и для любого числа несовместных событий. Например, p(A или B или C или D) = p(A)+p(B)+p(C)+p(D). Следствия из теоремы сложения 1. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна p(A) + p( A ) = 1. 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1: p(A 1 ) + p(A 2 ) + ........ + p(A n ) = 1. n - число событий в полной группе. Теорема умножения вероятностей Рассмотрим следующий пример. Имеем две урны, в каждой лежат шары впервой урне - 3 красных и 2 белых, во второй урне - 2 красных и 2 белых. Найдем вероятность того, что при вынимании по одному шару из каждой урны оба будут красными. Прежде всего отметим, что вероятность вынуть первым красный шар из первой урны Ка из второй - Кто есть, в обоих случаях равна отношению числа красных шаров к общему числу шаров в урне. При вынимании по одному шару из разных урн можем иметь n=5*4=20 разных исходов (событий, так как каждый шар из первой урны может быть взят с каждым из шаров второй. Благоприятными из них будут события, при которых оба шара окажутся красными. Число благоприятных исходов m=3*2=6, так как каждый из трех красных шаров первой урны может быть вынут вместе с одним из красных шаров второй урны. Так как вероятность определяется отношением числа благоприятных событий к общему числу испытаний (событий, то есть как m/n, вероятность извлечения красных шаров из обеих урн ) ( * ) ( 5 2 * 5 3 4 * 5 2 * 3 ) ( 2 1 2 1 K p K p K и K p = = = Таким образом, получили, что вероятность того, что из первой и второй урн будут вынуты два красных шара, равна произведению вероятностей этих независимых событий. Теперь сформулируем подобную задачу в общем виде. Пусть наблюдаются совместные независимые события Аи В. Для события А имеется m 1 благоприятных исходов, для события В - m 2 . Общее число случаев, благоприятствующих одновременному появлению событий Аи В, равно произведению ( m 1 * m 2 ) . Аналогично общее число разных сочетаний при проведении опыта равно произведению ( n 1 * n 2 ), где n 1 - общее число разных случаев для события А, n 2 - для события В. Вероятность одновременного появления событий Аи В равна 2 2 1 1 2 1 2 1 * * * ) ( n m n m n n m m В и A p = = Так как p(A) = m 1 /n 1 , p(B) = m 2 /n 2 , то можно записать p(A и B) = p(A) * p(B). Получили, что вероятность одновременного наступления в некотором опыте двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Если события Аи В зависимы, то вероятность наступления в некотором опыте одновременно этих двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место p(A и B) = p(A) * p(B/A) = p(B) * p(A/B). Ниже, на конкретном примере мы проверим справедливость последнего выражения вероятность наступления двух зависимых событий не зависит от последовательности их наступления. Теорема умножения может быть использована для любого числа событий p(A и B и C и D) = А) * p(B) * p(C) * p(D). Теорема сложения вероятностей называется также теоремой "или, а теорема умножения - теоремой "и. Примеры 1) В мешке находится 15 шаров, различающихся только по цвету 7 белых, 2 зеленых и 6 красных. Какова вероятность того, что шар, вынутый наугад, окажется красным или зеленым n = 15 б 7 Кили З) = К) + З) = к +з = з 2 к 6 = 6/15 + 2/15 = 8/15. Кили З) - ? 2) Вероятность поступления хотя бы одного вызова врача к больному на ночном дежурстве p(A)= 0,85. Найдите вероятность того, что вызова не будет - p( A ). Так как события "есть вызов" (Аи "нет вызова" ( A ) являются противоположными, тов соответствии со следствием 1 из теоремы сложения можно p записать p(A) + p( A ) = 1. p( A ) = 1 - p(A) = 0.15. 3) Медсестра обслуживает 3 палаты. Вероятность поступления вызова из первой палаты - 0,2, из второй - 0,5. Какова вероятность того, что ближайший вызов будет из третьей палаты Обозначим p(1) = 0,2; р) = 0,5 ; р) - ? Перечисленные события представляют полную группу. Поэтому в соответствии со следствием 2 теоремы сложения можно записать p(1) + p(2) + p(3) = 1; p(3) = 1 - p(1) - p(2) = З. 4) Впервой урне находится 5 черных и 10 белых шаров, во второй - 2 черных и 18 белых. Найдите следующие вероятности а) первыe два шара, вынутые из обеих урн, окажутся белыми б) при двух выниманиях только из первой урны оба они окажутся белыми в) при вынимании по одному шару из первой и второй один окажется белым, другой черным г) при вынимании только из второй урны один окажется белым, другой черным. Обозначим 1. Ч) = 5; Б 2. Ч) = 2; Б Необходимо найти вероятности аи Б и Б ; б)1.р(Б 1 и Б ; в и 2 : р(Б и Ч) - ? ; г)2.р(Б и Ч) - ? I. а) События вынимания белого шара из первой урны и белого шара из второй урны (р(Б 1 и Б) являются независимыми. Всего в урне I – 15 шаров, в урне II –20. В соответствии с постановкой вопроса (белый и белый) надо использовать теорему умножения Б и Б Б и Б) = Б) * Б) = 6 , 0 20 18 * 15 б) Пусть первым из урны I вынут белый шар. Вероятность того, что второй шар тоже будет белым, зависит оттого, каким был первый шар, то есть это зависимые события. Поэтому вероятность того, что при вынимании из урны I мы достанем белый и белый шары, найдется по формуле р(Б 1 и Б) = р(Б 1 )*р(Б 2 /Б 1 )= 7 3 14 9 * 15 10 = ; в) При вынимании двух шаров из разных урн надо достать один белый и другой черный. Пусть достали белый шар из первой урны и черный шар из второй. Эти события являются независимыми и вероятность их одновременного наступления равна Б и Ч) = Б) * Ч) = 15 1 20 2 * 15 10 = ; Нам безразлично, из какой урны будет белый, из какой урны черный шар. Вопросу задачи удовлетворит и то, что черный шар будет вынут из первой урны и белый из второй. Вероятность этого сочетания событий равна Ч и Б) = Ч Б) = 20 3 20 18 * 15 5 = ; Вопросу задачи удовлетворяет первый или второй из рассмотренных случаев. Поэтому вероятность того, что из двух урн будут вынуты белый и черный шары, равна Ч и Б) = Б и Чили (Ч И Б) = = Б и Ч) + Ч и Б) = 1/15 + 3/10 = 11/30. г) При вынимании одного за другим двух шаров из одной урны вероятность появления второго шара любого цвета зависит оттого, каким был первый шар. Поэтому в данном случае имеем дело с зависимыми событиями. Если вынимаем один за другим два шара только из урны II, то возможны два благоприятных исхода первый шар будет белыми второй черным или, наоборот, первый черными второй белым. Найдем вероятности таких исходов Б и Ч) = Б) p(Ч 2 /Б 1 ) =(18/20)*(2/19) = 9/95; Ч и Б) = Ч) p(Б 2 /Ч 1 ) = (2/20)*(18/19) = 9/95. Из сравнения этих результатов видим, что вероятность наступления двух зависимых событий не зависит от последовательности наступления этих событий. Вероятность того, что при вынимании шаров только из урны II, один шар будет белым другой черным, равна Б и Ч) = Б и Чили (Ч и Б) = = (9/95) + (9/95) = 18/95 11 |