Биометрия верстка_. Учебнометодическое объединение по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России биометрия
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
3.6. Оценка случайных погрешностей измерений При многократных измерениях некоторой величины достаточно чувствительным методом получаются близкие, но разные значения этой величины. Это связано стем, что на процесс измерения влияют различные факторы причем многие из этих факторов невозможно учесть. Таким образом, при измерениях получаются значения измеряемой величины, отличающиеся от истинного, те. возникают ошибки (погрешности) измерений. В зависимости от причин, по которым ошибки возникают, их принято делить на систематические, случайные и грубые ошибки. Систематические ошибки зависят от метода измерений и используемых приборов и приспособлений. Метод измерений может не учитывать влияние тех или иных факторов, а используемые приборы всегда имеют конечную точность измерений или могут быть просто неисправными. Важно отметить, что систематические ошибки остаются постоянными при повторных измерениях. Наличие систематической ошибки можно установить, проведя измерения искомой величины другим, более точным методом. Случайные ошибки являются результатом влияния различных факторов неподдающихся учету. Влияние этих факторов может меняться от измерения к измерению поэтому получаются близкие, но отличающиеся результаты. Поскольку факторы, приводящие к случайным ошибкам, не могут быть учтены, исключить эти ошибки невозможно можно лишь оценить их величину. Вопросы оценки величины случайных ошибок рассматриваются в теории ошибок эта теория позволяет поданным измерений вычислить наиболее вероятное значение измеряемой величины и оценить случайную погрешность измерений. Грубые ошибки или промахи возникают из-за субъективных ошибок экспериментатора, сделавшего неправильный отсчет или неверно записавшего результат измерений, из-за неблагоприятных условий проведения измерений и других подобных причин. Из-за таких ошибок обычно получаются значения измеряемой величины, резко отличающиеся от значений предыдущих и последующих измерений. Учитывая это, грубые ошибки часто удается выявить и исключить из результатов измерений. Методика исключения таких ошибок будет описана ниже. 3.6.1. Элементы теории ошибок Теория ошибок основана на теории случайных величин и применяется для оценки случайных ошибок. Если считать, что систематические ошибки исключены каким-то образом при измерениях, то результаты измерений будут носить случайный характер, те. будут случайными величинами, так как они зависят от случайных факторов. Если результаты измерений рассматривать как случайные величины, то точным значением измеряемой величины будет, очевидно, ее математическое ожидание ХМ, где Х - точное значение измеряемой величины М) - математическое ожидание результатов измерений. Однако вычислить математическое ожидание результатов измерений не представляется возможным, так как в распоряжении экспериментатора оказывается ограниченное число возможных реализаций случайной величины (выборочная совокупность результатов измерений. По результатам измерений можно найти лишь среднее арифметическое результатов измерений X , которое всегда отличается от математического ожидания. Разность Θ = M(x)- X и будет случайной ошибкой результатов измерений. Ошибка будет тем меньше, чем больше число измерений, так как среднее арифметическое тем меньше отличается от математического ожидания, чем больше число членов выборочной совокупности. В качестве оценки случайной ошибки результатов измерений в теории ошибок часто берется величина 1 1 = − ∗ = Δ n i i X X n X (3.17) которая называется средней арифметической ошибкой (погрешностью. Средняя арифметическая ошибка определяет интервал, в котором лежат более половины результатов измерений те. истинное значение измеряемой величины с вероятностью p = 0,5 лежит в интервале [ X - Х , X + ΔX ] . Результат измерений неизвестной величины, используя понятие средней арифметической ошибки, записывают в следующем виде Х = X ± ∆X ( с вероятностью p = 0,5 ) (3.18) Абсолютное значение средней арифметической ошибки само по себе еще не определяет точность измерений, так как точность зависит от соотношения величины ошибки и абсолютного значения измеряемой величины. Это соотношение оценивается относительной ошибкой Х, равной 100 ∗ Δ = X X X δ %. (3.19) Более точно случайные ошибки измерений можно оценить, используя понятие среднего квадратического отклонения и доверительного интервала. Как известно, доверительный интервал определяет интервал, в котором с заданной вероятностью лежат значения (реализации) случайной величины. Применительно к теории ошибок доверительный интервал будет определять интервал М, в котором лежат результаты отдельных измерений. Если считать, что математическое ожидание Ми есть точное значение измеряемой величины, то величина ε будет оценкой точности измерений. Действительно, так как результаты отдельных измерений лежат в интервале М(х)±ε, значит они отличаются от точного значения ХМ) не более, чем на ε. Величина ε и есть возможная ошибка в определении истинного значения измеряемой величины ( с заданной вероятностью).Величину возможной ошибки ε можно вычислить, по той же формуле, что и доверительный интервал ε = ± σ(x) * Ф, (3.20) где Ф) - обратная функция Лапласа. Данная величина определяет ошибку каждого отдельного измерения. Можно получить более точную оценку результатов измерений, если провести несколько измерений неизвестной величины. Серию измерений можно рассматривать как выборочную совокупность результатов измерений. Выше указывалось, что при достаточно большом числе измерений ( n > 30 ) средние арифметические выборочных совокупностей подчиняются нормальному закону распределения, а их средние квадратические отклонения σ( X ) враз меньше, чем средние квадратические отклонения самих случайных величин. В соответствии с этими доверительный интервал для средних арифметических будет враз меньше, чем доверительный интервал для случайной величин. Отсюда следует, что ошибка при n измерениях будет враз меньше, чем для отдельного измерения. Оценку ошибки серии из n измерений можно вычислить по аналогии с доверительным интервалом по формулам ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 р Ф n x р Ф X − − ∗ ± = ∗ ± = σ σ ε ( при n > 30 ) (3.21) икр (при N < 30) (3.21') Результат измерения неизвестной величины, используя понятие средней квад- ратической ошибки, записывается в следующем виде 0 ε ± = X X , ( при p = p 0 ) где p 0 - заданная вероятность. Относительная ошибка измерений в этом случае будет равна 50 100 ∗ ± = X X ε δ % Рассмотрим на примере определение ошибки измерений. Пример 3.9. При измерении температуры подопытного животного были получены такие результаты 36,7 36,5 36,8 36,4 36,5 36,8 36,5 36,4 37,0 36,4 Определим ошибку измерения температуры животного с вероятностью p = 0,95. Вычислим среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение температуры животного Т = (Т + Т + ..... + Т )/n = = (36,7+36,5+36,8+ ............. +36,4)/10 = 36,5 9 36,5) - (36,4 36,5) - (36,5 36,5) - (36,7 1 ) ( ) ( 2 2 2 Для вероятности p = 0,95 и числа степеней свободы k=n-1=9 находим критическое значение коэффициента Стьюдента t k,p =2,26 и, подставляя его в формулу, получаем 2 , 0 ) ( , ≅ ± = ∗ ± = ∗ ± = р к t n T σ ε Таким образом ошибка измерения температуры животного с вероятностью 0.95 не превышает 0,2 0 . Результат измерения можно записать в виде T = 36,5 0 ± 0,2 0 (с вероятностью р = 0,95) Относительная ошибка измерений при этом будет равна 100 5 , 36 2 , 0 ∗ ± = T δ % = 0.54 % = 0,5 % . Используя формулу для вычисления средней квадратической ошибки приза- данном числе измерений (3.17), можно оценить число измерений, которое необходимо произвести для того, чтобы увеличить точность измерений (уменьшить среднюю квад- ратическую ошибку) в заданное число раз. Если пренебречь изменением коэффициента Стьюдента при изменении числа измерений ( а коэффициент Стьюдента уменьшается при увеличении числа измерений, то число измерений, необходимое для уменьшения ошибки враз, очевидно, будет равно 2 1 2 2 1 Для уменьшения ошибки враз число измерений необходимо увеличить враз Метод исключения грубых ошибок (промахов) Как следует из теории случайных величин, реализации случайной величины с вероятностью p=0,997 лежат в интервале ) ( 3 если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения. Это означает, что результаты отдельных измерений, отличающиеся от точного значения этой величины более, чем на 3σ, встречаются с вероятностью p=0.003; такие результаты в теории ошибок считаются невероятными и отбрасываются как грубые ошибки (промахи. Для того, чтобы иметь основание исключить такой подозрительный результат, необходимо найти среднее арифметическое результатов измерений X и их среднее квадратическое отклонение σ(x) без этого подозрительного результата, а затем определить разность Х. Если эта разность окажется больше ±3σ(x), то подозрительный результат Xi можно считать грубой ошибкой и отбросить. Задачи для самостоятельного решения 3.1. Измерение роста группы школьников (n = 30) дало следующие результаты в см 167 176 173 168 175 180 164 168 170 168 182 187 178 190 181 182 176 170 163 179 172 169 187 175 177 173 184 168 176 169 Составить интервальный вариационный ряди построить гистограмму. 3.2. При исследовании пульса у студентов вовремя спортивных занятий получены следующие значения (n = 40): 81 66 77 92 63 86 84 96 76 80 76 88 82 91 77 68 97 86 102 58 87 83 71 93 98 77 104 72 78 108 78 73 65 95 85 86 79 89 74 84 Составить интервальный вариационный ряди построить гистограмму. 3.3. На основании анализа историй болезней получены следующие значения сроков лечения заболевания (n = 50 дней 16 14 17 15 20 16 17 18 15 13 18 16 14 17 12 19 16 15 17 18 14 19 16 18 15 17 13 16 20 15 21 17 15 16 13 16 19 18 14 15 15 16 17 14 16 19 21 15 17 18 Составить интервальный вариационный ряди построить гистограмму. При контроле давления у студентов (n = 50) перед экзаменом получены следующие значения максимального АД 125 145 105 130 120 148 119 126 123 135 123 140 127 110 100 131 114 141 113 134 133 118 136 104 124 118 138 128 117 132 139 113 134 117 129 114 131 144 125 135 145 126 120 132 119 136 118 134 122 128 Составить интервальный вариационный ряди построить гистограмму. 3.5. Количество пациентов, принятых в течение месяца врачём - терапевтом, распределилось по дням следующим образом Дни мес. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Кол. пац. 19 17 15 13 16 17 18 14 13 16 19 Дни мес. 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Кол.п. 18 16 15 17 20 17 18 15 18 20 19 Найти среднее арифметическое, статистическую дисперсию и среднее квадра- тическое отклонение количества пациентов, принимаемых врачом вдень. При определении давления у студентов (n = 50) после сдачи экзамена получены следующие значения максимального АД АД 90-94 95-99 100-104 105-109 110-114 115-119 ст 1 3 5 8 10 10 АД 120-124 125-129 130-134 135-139 N ст 7 3 2 1 Найти числовые характеристики результата обследования. ( N = 113,5; D = 96,2; σ(x) = 9,8) На основании анализа историй болезней получено следующее распределение больных (n = 50) по срокам лечения Кол. дней 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Кол. бол. 1 3 5 9 10 8 6 4 2 1 1 Найти среднее арифметическое, статистическую дисперсию и среднее квадра- тическое отклонение срока лечения данной болезни.(N дн. = 16,4; D = 4,6; σ(x)= 2,1) 3.8. Точное взвешивание 15 таблеток лекарственного вещества дало следующие значения массы в граммах 0, 203 0,195 0,197 0,199 0,207 0,208 0,198 0,193 0,202 0,197 0,202 0,201 0,198 0,203 0,197 Определить среднюю массу таблеток, вычислить доверительный интервал для массы с вероятностью 0,9. ( P =0,2; 002 , 0 ± = ε ) 3.9. При измерении артериального давления у студентов (n = 50) дои после экзамена получены следующие значения максимального АД до экзамена Р 1ср - 125,5 ( при σ 1 = 10,1 ) после экзамена Р 2ср - 113,5 ( при σ 2 = 9,8 ) Определить достоверность отличия АДу студентов дои после экзамена. (d = 6,032 ; различаются с вероятностью р) 3.10. Для определения эффективности летнего отдыха детей обследовано 100 детей, отдыхавших в санатории, и 50 детей, отдыхавших дома. Для детей, отдыхавших в санатории, получено среднее увеличение массы 2,5 кГ (при σ(x)= 0,8 кГ), а для детей, отдыхавших дома - 2,2 кГ (при σ(x)= 0,78 кГ). Определить достоверность отличий средних увеличений массы детей. (d = 2,2; различаются с вероятностью р = 0,95) 3.11. Измерения температуры самцов и самок тушканчика дали следующие результаты Самцы 36,9 37,3 37,4 37,5 37,2 37,7 37,8 Самки 36,8 37,0 37,3 36,9 36,8 37,3 37,6 Определить различаются ли температуры самцов и самок. (d=1,87; различаются с вероятностью р. 3.12. Для оценки эффективности нового вида лекарственного препарата (типа В) сравнили его действие с действием препарата типа D на группу больных при этом получены следующие значения времени действия препаратов N 1 2 3 4 5 6 7 8 Преп.В 4,2 4,0 3,8 3,5 3,8 3,5 3,7 4,6 Преп 3,8 3,7 3,7 3,0 3,4 3,2 3,7 3,9 Определить различаются ли препараты В и D повремени действия. (d =1,96; различаются с вероятностью 0,9) 54 IV. УСТАНОВЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ 4.1 Понятие и виды корреляции Понятие корреляции Процессы, происходящие в живых организмах, характеризуются большим многообразием физиологических параметров и их взаимным влиянием. Вследствие этого изменение одного из физиологических параметров под влиянием медикаментозного или иного внешнего воздействия на организм чаще всего носит случайный характер. Ввиду этого выявить зависимость между какими-либо физиологическими признаками, а также влияние на них внешних факторов можно лишь статистическими методами. Установление связи между случайными величинами является задачей корреляционного анализа. Под корреляцией понимается взаимосвязь между случайными величинами. Предельным случаем такой взаимосвязи является функциональная зависимость, которая устанавливает однозначное соответствие между определенными значениями независимой переменной(аргументом) и зависимой переменной (функцией. Подобно тому, как зависимая переменная может быть функцией нескольких аргументов, таки корреляция может устанавливать взаимосвязь между большим, чем два, числом случайных величин, например, тремя. Такая корреляция называется множественной. Виды корреляции По характеру взаимосвязи корреляция может быть положительной или отрицательной, линейной или нелинейной. Положительной называется корреляция, при которой с увеличением одной величины наблюдается тенденция к возрастанию и другой. Отрицательной называется корреляция, при которой с увеличением одной величины наблюдается тенденция к уменьшению другой. Линейной называется корреляция, если между случайными величинами наблюдается в среднем линейная зависимость. Нелинейной называется корреляция, если зависимость не является линейной. Более точные определения линейной и нелинейной корреляций будут даны в разделе "Регрессионный анализ. Очевидно, что линейная и нелинейная корреляции могут быть как положительными, таки отрицательными. 4.2 Понятие корреляционного поля Установление наличия корреляции, ее вида и предварительная оценка степени сопряженности (взаимосвязанности) коррелируемых величин (те. насколько "сильной" является зависимость) могут быть выполнены построением корреляционного поля. Корреляционное поле представляет собой область расположения в координатной плоскости точек, координатами которых являются значения изучаемых случайных величин. На рис. 4.1 приведены изображения корреляционных полей для различных видов корреляции. 4.3 Понятие параметрических показателей корреляции Параметрические показатели корреляции позволяют количественно оценить степень связи случайных величин. К наиболее часто применяемым показателям относятся коэффициент корреляции и корреляционное отношение (r и q, соответственно. Правильное применение этих параметров предполагает нормальное распределение сопряженных (взаимосвязанных) величин в данной выборке. Коэффициент корреляции вычисляется только в случае линейной корреляции и представляет собой безразмерное число, которое может принимать значение от -1 до +1. Если r>0, то корреляция будет положительной, если r<0 - корреляция отрицательная. В зависимости отчисленного значения r различают слабую, среднюю и сильную корреляции |r| < 0.3 - корреляция слабая 0.3 ≤ |r| ≤ 0.7 - корреляция средняя (или значительная |r| > 0.7 - корреляция сильная. В частных случаях, когда r=0 или |r| =1 корреляция, соответственно отсутствует или представляет собой функциональную зависимость (см. рис. 4.1 виз- и. Корреляционное отношение является универсальным показателем, применимым для линейных и для нелинейных корреляций. Любая корреляция между величинами X и Y может рассматриваться как зависимость Y от X, или как зависимость X от Y. В общем случае эти зависимости могут быть неидентичными. Соответственно этому различают два корреляционных отношения - q(y/x) и причем q(y/x) ≠ q(x/y).C приближением вида корреляции к линейной значение) стремится к значению q(x/y). При линейной корреляции Также как и коэффициент корреляции корреляционное отношение представляет собой безразмерное число нов отличие от r значение q изменяется в пределах от 0 до 1. Одновременное вычисление q(y/x) и позволяет судить о близости вида корреляции к линейной. Y Y Y ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ * ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ X X X а) б) в) Корреляция Корреляция Корреляция отсутствует отсутствует отсутствует r=0 r=0 r=0 56 Y ∗ Y ∗ Y ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ X ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ X ∗ X ∗ X где Корреляция Корреляция Корреляция линейная линейная нелинейная положительная отрицательная положительная Y Y Y ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ X ∗ X X ж) з) и) Корреляция не- Функциональная Функциональная линейная отри- зависимость независимость ли- цательная линейная нейная, r=-1 Рис. 4.1 Примеры корреляционных полей случайных величин X и Y. |