Геометрические построения. Учебное пособие А. Ю. Горячкина, И. А. Горюнова геометрические построения плоских фигур
 Скачать 15.75 Mb.
|
|
Рис. 29 Рис. 30 окружности радиуса R , расположенная с внешней стороны данной дуги окружности радиуса R 1 и плавно переходящая в данную дугу, всегда расстояние от ее центра O до данной дуги равно ее радиусу R . Следовательно, геометрическим множеством центров O таких дуг окружностей будет концентрическая дуга окружности, рас- положенная с внешней стороны данной дуги на расстоянии радиуса R . Радиус этой дуги, а следовательно и расстояние между центрами O и O 1 , равен сумме радиусов R 1 + R сопрягаемых дуг; в) одной дуги окружности внутреннего касания в другую (рис. 31). Касание окруж- ностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Точкой K сопряжения является точка касания сопрягаемых дуг, она находится на пересечении этих дуг линией, являющейся продолжением линии центров OO 1 . Где бы ни была проведена дуга окружности радиуса R , расположенная внутри данной дуги окружности радиуса R 1 и плавно переходящая в данную дугу, всегда расстояние от ее центра O до данной дуги равно ее радиусу R. Следователь- но, геометрическим множеством центров O таких дуг будет концентрическая дуга окружности, расположенная внутри данной дуги и отстоящая от нее на величину радиуса R, т. е. радиус этой дуги (а следовательно, и расстояние между центрами O 1 и O ) будет равен разности радиусов R 1 − R На основании изложенного можно сформулировать алгоритм построения сопря- жения двух линий при заданном радиусе сопряжения: 1) построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от первой из сопрягаемых линий; 14 Рис. 31 2) построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от второй из сопрягаемых линий; 3) определение центра сопряжения на пересечении этих множеств; 4) определение точек сопряжения на сопрягаемых линиях; проведение дуги сопря- жения между точками сопряжения. 4.2. Построение прямой, касательной к окружности Прямая, касательная к окружности, составляет угол 90 ◦ с радиусом, проведенным в точку касания. Таким образом, для построения прямой t , касающейся окружности в заданной точке A , надо провести искомую прямую перпендикулярно радиусу OA (рис. 32). Рис. 32 Для проведения касательной к окружности, параллельной заданной прямой b , до- статочно найти точку сопряжения M на пересечении заданной окружности с перпен- дикуляром к прямой, опущенным из центра O : b ⊥ OB ; k ⊥ OB ; k||b 4.3. Сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги окружности заданного радиуса R R R Для нахождения центра O сопрягающей окружности (рис. 33) строим геометриче- ское множество точек, отстоящее от прямой m на расстояние R . Строим геометрическое множество точек, отстоящее от прямой n на расстояние R . На пересечении двух мно- жеств находим точку O — центр дуги сопряжения. Точки сопряжения A и B лежат в 15 Рис. 33 Рис. 34 основании перпендикуляров, проведенных к исходным прямым, и ограничивают дугу сопряжения. Если положение одной из точек сопряжения задано (рис. 34, точка A ), а радиус сопряжения не указан, то искомый центр O находится на пересечении перпендикуляра к прямой, проведенного из точки A , и биссектрисы угла, образованного заданными прямыми (построение биссектрисы см. на рис. 13). 4.4. Сопряжение трех пересекающихся прямых Положение центра сопрягаемой окружности (рис. 35) определяется точкой пересе- чения биссектрис углов. Радиус окружности (дуг ´ и сопряжения) равен длине перпен- дикуляра, опущенного из центра O на любую из трех заданных прямых. Рис. 35 4.5. Сопряжение окружности и прямой с помощью дуги окружности заданного радиуса R R R Внешнее касание (рис. 36, а). Центр O дуги сопряжения находится на пересечении двух геометрических множеств точек: вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R , и дуг ´ и радиуса R 1 + R , проведенного из центра O 1 Точки сопряжения K и M находятся соответственно в основании перпендикуляра OK и на пересечении прямой O 1 O с основной окружностью. Внутреннее касание (рис. 36, б). Центр O дуги сопряжения находится на пересе- чении двух геометрических множеств точек: вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R , и дуг ´ и радиуса R 1 −R , проведенной из центра O . Точки сопряжения K и M находятся соответственно в основании перпендикуляра OK и на пересечении продолжения луча O 1 O с основной окружностью. 16 Рис. 36 4.6. Сопряжение двух окружностей с помощью дуги окружности заданного радиуса R R R Внешнее касание (рис. 37). Центр O искомой дуги радиуса R находится на пере- сечении двух геометрических множеств точек — двух вспомогательных окружностей, описанных из центров O 1 и O 2 соответствующими радиусами R 1 + R и R 2 + R Внутреннее касание (рис. 38). Центр O искомой дуги радиуса R находится на пере- сечении двух геометрических множеств точек — двух вспомогательных окружностей, описанных из центров O 1 и O 2 соответствующими радиусами R − R 1 и R − R 2 Рис. 37 Рис. 38 Смешанное касание (внешнее и внутреннее) (рис. 39). Центр O искомой дуги радиуса R находится на пересечении двух геометрических множеств точек — двух вспомогательных окружностей, описанных из центров O 1 и O 2 соответствующими Рис. 39 17 радиусами R − R 1 и R + R 2 . Для всех случаев точки сопряжения K и M лежат на линиях, соединяющих центры сопрягаемых окружностей. 4.7. Построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку, лежащую вне окружности Способ 1 (рис. 40). Точки сопряжения K и K 1 расположены на окружности при ее пересечении со вспомогательной окружностью, диаметр которой равен AO (вписан- ный в окружность угол равен половине центрального угла, следовательно, угол OKA прямой, AK — касательная). Рис. 40 Рис. 41 Способ 2 (рис. 41). Точка сопряжения К расположена на окружности при ее пере- сечении с отрезком OC . Т очка C — точка пересечения первой вспомогательной окруж- ности с центром в точке O , радиус которой в 2 раза больше радиуса заданной окруж- ности, и второй вспомогательной окружности с центром в точке A радиуса AO (точка K является серединой отрезка OC основания равнобедренного треугольника CAO , следовательно, угол OKA прямой, AK — касательная). Способ 3 (рис. 42). Точка сопряжения K расположена на окружности при ее пере- сечении с отрезком OC . Т очка C — точка пересечения вспомогательной окружности с центром в точке O радиуса OA с касательной t (треугольники OP C и OKA конгруэнтны, так как имеют общий угол при вершине O , заключенный между равными сторонами OP = OK , OC = OA , но треугольник OP C прямоугольный (угол при вершине P = 90 ◦ ) , поэтому угол К = 90 ◦ , AK — касательная). Рис. 42 Рис. 43 Способ 4 (рис. 43). Точка сопряжения K получена вращением вокруг точки O касательной t в произвольной точке С заданной окружности до совмещения точки N с точкой A . Т очка С займет положение точки K ; AK — касательная. 18 4.8. Построение касательной к двум окружностям Эта задача сводится к задаче на построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку, лежащую вне окружности (см. разд. 4.7). Внешнее касание (рис. 44). Из центра O 1 большей окружности построить вспо- могательную окружность радиуса R 1 − R 2 . Разделить отрезок O 1 O 2 пополам в точке O и провести вторую вспомогательную окружность радиуса R = OO 1 . Т очка B пе- ресечения вспомогательных окружностей определяет направление радиуса O 1 K 1 , где K 1 — искомая точка сопряжения для окружности радиуса R 1 . Для построения точки сопряжения K 2 для окружности радиуса R 2 достаточно из центра O 2 провести радиус O 2 K 2 параллельно радиусу O 1 K 1 до пересечения с окружностью радиуса R 2 Рис. 44 Рис. 45 Внутреннее касание (рис. 45). Из центра O 1 большей окружности построить вспо- могательную окружность радиуса R 1 +R 2 . Далее выполнить построения в соответствии с рис. 44. 4.9. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через заданную точку на окружности Центр дуги сопряжения O 1 (рис. 46, а — внешнее касание; рис. 46, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения прямой OA , проведенной через точку со- пряжения A и центр O заданной окружности, и биссектрисы угла ABK , образованного касательной AB в точке сопряжения A и заданной прямой t . Радиус сопрягающей дуги равен расстоянию O 1 A ; O 1 K ⊥ t , где точка K — точка сопряжения на прямой t Рис. 46 19 4.10. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через точку на прямой Центр дуги сопряжения O 1 (рис. 47, а — внешнее касание; рис. 47, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения перпендикуляров m и n ; m — перпендикуляр к прямой t , проведенный через точку A ; n — серединный перпендикуляр к отрезку OB (отрезок AB равен радиусу R заданной окружности). Поскольку точка касания двух окружностей находится на линии, соединяющей их центры, то точка K — точка сопряжения; O 1 K — радиус дуги сопряжения. Рис. 47 4.11. Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса R R R Даны две дуги, описанные из центров O 1 и O 2 радиусами R 1 и R 2 . Для сопряжения их дугой заданного радиуса R (рис. 48) проведем из тех же центров две вспомога- тельные дуги радиусов R 1 + R и R 2 − R. Пересечение этих дуг позволяет определить искомый центр сопряжения — точку O . Точки сопряжения K и M лежат на линиях, соединяющих центр сопряжения и соответствующие центры дуг. Рис. 48 4.12. Сопряжение окружности в заданной точке с окружностью, проходящей через заданную точку Центр О 1 дуги сопряжения (рис. 49, а — внешнее касание; рис. 49, б — внутрен- нее касание) определяется точкой пересечения прямой, проведенной через центр O и заданную точку сопряжения B , с перпендикуляром, восстановленным из середины хорды AB ; O 1 B — радиус искомой окружности. 20 Рис. 49 4.13. Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения Для построения центров сопряжения O 1 и O 2 (рис. 50) заданные точки сопряже- ния A и B соединены отрезком AB . На отрезке AB выбрана произвольная точка M Восстановлены серединные перпендикуляры к отрезкам AM и MB . Искомые центры сопряжения O 1 и O 2 находятся в точках пересечения серединных перпендикуляров с соответствующими перпендикулярами, проведенными к заданным прямым из точек сопряжения A и B . Радиусы сопрягаемых дуг: R 1 = O 1 A ; R 2 = O 2 B . Касание дуг происходит в точке M , находящейся на линии центров O 1 O 2 . Если AM = MB , то R 1 = R 2 Рис. 50 Примеры использования сопряжений в инженерной практике представлены на рис. 51 и 52. Рис. 51 21 Рис. 52 5. УКЛОНЫИ КОНУСНОСТЬ 5.1. Уклоны. Обозначение, построение Уклоном прямой по отношению к какой-либо другой прямой называется величина ее наклона к этой прямой, выраженная через тангенс угла между ними (рис. 53). Рис. 53 Обозначение уклонов на чертеже выполняют в соответствии с ГОСТ2.307–2011 «Нанесение размеров и предельных отклонений». Уклон указывают с помощью линии- выноски, на ее полке наносят знак уклона и его значение. Знак уклона должен соответствовать уклону определяемой линии: одна из прямых знака уклона должна быть горизонтальной, а другая — наклоненной в ту же сторону, что и определяемая линия уклона. Угол уклона линии знака составляет примерно 30 ◦ . На чертеже уклоны указывают либо в процентах (рис. 54), либо дробью в виде отношения двух чисел (рис. 55). Незначительный уклон допускается изображать на чертеже с увеличением. Прямую заданного уклона b : a (по отношению к горизонтальной линии) проводят через точку А следующим образом (рис. 56). Из данной точки А проводят горизон- тальный луч и на нем от точки А откладывают длину a (равную числовому значению делителя в выражении данного уклона) — получают точку В , через которую проводят вертикальную линию, и на ней от точки В откладывают длину b (численно равную значению делимого в выражении данного уклона) — получают точку С . Прямая, про- веденная через точки А и С , будет иметь требуемый уклон. 22 Рис. 54 Рис. 55 Рис. 56 5.2. Конусность. Обозначение, построение Конус вращения определяется двумя размерами; усеченный конус определяется тремя размерами (рис. 57), задаваемыми в зависимости от условий различным образом: углом α или α /2 , одним из диаметров и размером L Рис. 57 Конусностью C называется отношение разности диаметров двух поперечных сече- ний конуса вращения к расстоянию между ними (см. рис. 57). Это отношение равно удвоенному тангенсу половины угла при вершине конуса, т. е. конусность равна удво- енному уклону образующей конуса к его оси. 23 Нормальные конусности и углы конусов выбирают из ряда значений, установленных ГОСТ8593–81 «Нормальные конусности и углы конусов». В конических соединениях, т. е. в случаях, когда конический стержень вставляют в коническое отверстие, конусность указывают обязательно (рис. 58). Рис. 58 Конусность может быть задана отношением двух чисел (см. рис. 58) или десятичной дробью (рис. 59). Знак конусности , острый угол которого должен быть направлен в сторону вершины конуса, наносят перед размерным числом, располагая в зависимости от положения оси конуса так, как показано на рис. 60. Определение конусности по чертежу и проведение наклонных линий — образующих конуса — согласно данному числовому значению конусности аналогично определению уклонов и проведению прямых заданного уклона. Рис. 59 Рис. 60 24 6. ЛЕКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ Все множество плоских кривых можно подразделить на лекальные и циркульные кривые. Лекальную кривую можно рассматривать как линию, состоящую из бесчи- сленного количества бесконечно малых дуг окружностей при постепенном изменении места их центров и радиусов кривизны. К лекальным кривым относятся кривые вто- рого порядка, спирали, циклические кривые и др. Среди лекальных кривых наибольший интерес представляют кривые второго по- рядка: эллипс, парабола и гипербола. Эти плоские кривые линии можно получить как линии пересечения прямого кру- гового конуса с плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса, поэтому эти кривые называют кривыми конических сечений (рис. 61). Рис. 61 Если угол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности равен углу наклона прямолинейной образующей к этой оси, в сечении получается парабола. Если угол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности меньше угла накло- на образующей конической поверхности к этой оси, секущая плоскость пересечет поверхность по гиперболе. Если угол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности больше угла наклона образующей конической поверхности к этой оси, секущая плоскость пересечет поверхность по эллипсу. 6.1. Эллипс Эллипсом называется плоская замкнутая кривая — геометрическое множество точек, сумма расстояний от которых до заданных точек F 1 и F 2 равна длине заданного отрезка AB , проведенного через точки F 1 и F 2 так, чтобы отрезок AF 1 был равен отрезку F 2 B (рис. 62). В то же время, эллипс есть равномерно сжатая к своему диаметру окружность, все точки которой приближаются к выбранному диаметру так, что расстояния до диаметра уменьшаются в одно и то же число раз. Отрезок AB называется большой осью эллипса, а точки F 1 и F 2 — фокусами эллипса. Отрезок CD , проведенный через середину боль- шой оси (центр эллипса O ) перпендикулярно к ней, называется малой осью эллипса. Биссектриса угла F 1 KF 2 называется нормалью эллипса, а биссектриса смежного с ним угла F 2 KM — касательной эллипса. 25 Рис. 62 Способ построения эллипса зависит от того, какие параметры кривой известны. Рассмотрим несколько способов. Способ 1. Заданы большая ось и фокусное расстояние (рис. 63). На отрезке AB между центром O и одним из фокусов (на рис. 63 — F 1 ) выбирают точки 1, 2, 3 , ка- ждая из которых разделит отрезок AB на две неравные части. Из фокуса F 1 , как из центра, строят дуги окружностей радиусов A 1, A 2 и A 3, а из фокуса F 2 — соответству- ющие дуги радиусов 1 B , 2 B и 3 B . Пересечение дуг радиусов A 1 и 1 B дает точку E , пересечение дуг радиусов А 2 и 2 В — точку F и т. д. На основании свойств симметрии эллипса относительно большой и малой осей достраивают кривую. Точки A , B , C и D пересечения кривой с осями называются вершинами эллипса. |