Геометрические построения. Учебное пособие А. Ю. Горячкина, И. А. Горюнова геометрические построения плоских фигур
 Скачать 15.75 Mb.
|
|
Рис. 63 Способ 2. Если известны большая и малая оси эллипса, то построения выполняют в следующем порядке. На заданных осях эллипса — большой АВ и малой CD — построить как на диаметрах две концентрические окружности (рис. 64). Одну из них разделить на 8—12 равных или неравных частей и через точки деления и центр элли- пса O провести радиусы до их пересечения с большой окружностью. Через точки 1, 2, . . . деления большой окружности провести прямые, параллельные малой оси CD , 26 Рис. 64 а через точки 1 1 , 2 1 , . . . деления малой окружности — прямые, параллельные большой оси АВ . Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат искомому эллипсу. Способ 3. Построение эллипса по заданным сопряженным диаметрам (рис. 65). Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Со- пряженными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следу- ющим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре. Если эллипс является образом окружности при аффинном преобра- зовании, то его сопряженные диаметры являются образами двух перпендикулярных диаметров этой окружности. Рис. 65 На данных сопряженных диаметрах АВ и CD построить параллелограмм, стороны которого параллельны диаметрам АВ и CD . Сопряженный диаметр АВ и сторону P Q параллелограмма разделить на произвольное, но одинаковое число равных частей. Из точек C и D провести последовательно пучки лучей через соответствующие точки деления. Пересечения пар лучей, проведенных через одноименные точки деления, определяют точки эллипса (например, луч С 2, пересекаясь с лучом D 2, образует точку S эллипса). Построение нижней части эллипса аналогично. Отметим, что заданные диаметры AB и CD не являются осями эллипса. Для построения осей MN и KL необходимо пересечь линию эллипса окружностью произвольного радиуса с центром в точке О и точки пересечения Е и F соединить хордой EF . Серединный перпендикуляр к EF определяет положение малой оси KL эллипса; MN ⊥ KL 27 Рис. 66 Пример чертежа детали (эксцентрика), имеющей очертания эллипса, показан на рис. 66. 6.2. Парабола Параболой (рис. 67) называется плоская разомкнутая кривая — геометрическое мно- жество точек, одинаково удаленных от данных точки F и прямой MN (не проходящей через точку F ). Точка F называется фокусом, а прямая MN — директрисой (направля- ющей) параболы; прямая BE , проведенная через фокус перпендикулярно директрисе, называется осью параболы; точка A , лежащая на середине отрезка BF (оси параболы), заключенного между фокусом F и направляющей MN , называется вершиной пара- болы. Отрезок, соединяющий любую точку C параболы с ее фокусом F , называется радиус-вектором параболы; биссектриса угла F CD , составленного перпендикуляром CD , проведенным из любой точки C параболы к директрисе, и радиус-вектором F C той же точки C , называется касательной в точке C (касательная перпендикулярна отрезку F D ); прямая, проведенная через точку C перпендикулярно касательной, называется нормалью. Рис. 67 Способ построения параболы зависит от заданных параметров. Способ 1. Построение по заданным директрисе и положению фокуса F (рис. 68). Вершина параболы находится в точке A на расстоянии ОА = OF/2 . Другие точ- ки кривой определяются пересечением прямых, проведенных из произвольных точек 1, 2, . . . параллельно директрисе, с дугами окружностей, центр которых расположен в фокусе F , а радиус равен расстоянию соответствующих точек до директрисы. 28 Рис. 68 Cпособ 2. Построение по заданным вершине, оси и одной из точек параболы (рис. 69). Из точек A и B провести взаимно перпендикулярные прямые до пересе- чения в точке С . Отрезки AC и BC разделить на одинаковое число равных частей. Из вершины A провести лучи в точки деления на отрезке BC , а из точек деления на отрезке АС — прямые, параллельные оси параболы. На пересечении соответству- ющих прямых отметить точки одной ветви параболы. Точки другой ветви параболы симметричны относительно оси параболы. Рис. 69 Способ 3. Построение посредством касательных прямых к параболе в заданных осях (рис. 70). Оси параболы, исходящие из начальной точки O , могут располагаться под тупым или острым углом. Заданные оси OА и OВ разделить на одинаковое число равных частей и пронумеровать точки деления. Точки деления с одинаковыми номера- Рис. 70 29 ми последовательно соединить прямыми линиями. К полученному семейству прямых подобрать с помощью лекала огибающую касательную кривую — параболу. 6.3. Гипербола Гиперболой называется плоская разомкнутая кривая — геометрическое множество точек, разность расстояний которых от данных точек F 1 и F 2 равняется заданному отрезку AB . Гипербола имеет две симметричные ветви (рис. 71). Рис. 71 Прямая, проходящая через точки A и B — вершины гиперболы, называется дей- ствительной осью, а середина отрезка AB (точка O) называется центром гиперболы; прямая CD , проведенная через центр гиперболы O перпендикулярно действительной оси AB , называется мнимой осью. Точки F 1 и F 2 , лежащие симметрично (относительно мнимой оси) на действительной оси, называются фокусами гиперболы. Биссектриса MN угла F 1 QF 2 (точка Q произвольная) является касательной к гиперболе в точке Q , а биссектриса смежного угла EQF 2 — нормалью. Касательные к гиперболе, точки касания которых удалены от вершины на бесконеч- ное расстояние, называются асимптотами ( T U и GH ). Для их построения проводят из вершин A и B прямые, параллельные мнимой оси, до пересечения с полуокруж- ностью, проведенной из центра O радиусом OF 1 . Через полученные точки S и P и центр O проводят прямые — асимптоты. Если асимптоты взаимно перпендикулярны, то гиперболу называют равнобокой. В зависимости от заданных параметров гиперболу строят следующими способами. Способ 1. Построение по заданным вершинам A и А 1 и фокусам F и F 1 гиперболы при AF = A 1 F 1 . На оси гиперболы отметить ряд произвольных точек (рис. 72): 1, 2, . . . , 1 1 , 2 1 , . . . Точки гиперболы определяют построением на пересечении дуг, проведенных из фокусов F и F 1 . Радиусами дуг служат расстояния от точек до вершин гиперболы, например: R 1 = А 3; R 2 = А 1 3. Способ 2. Построение по заданной точке М в системе координат Oxy (рис. 73). Через данную точку М провести вспомогательные оси М B и М K , параллельные со- ответственно осям Ox и Oy . На оси М K выбрать произвольные точки 1, 2, . . . , через которые провести горизонтальные лучи. Из начала координат O провести через те же точки несколько лучей до пересечения со вспомогательной осью MB в точках 30 Рис. 72 Рис. 73 1 1 , 2 1 , . . . Опуская из этих точек перпендикуляры на горизонтальные лучи, проведен- ные из точек 1, 2, . . . , отметить ряд точек, принадлежащих гиперболе. Способ 3. Построение по заданной вершине А и точке С гиперболы (рис. 74). Из точки C опустить перпендикуляр к действительной оси АВ гиперболы и построить прямоугольник ABCD . Стороны CB и DС прямоугольника разделить на одинаковое число равных частей. На оси гиперболы отложить отрезок ОА = AB и провести два пучка лучей: из точки О — к точкам деления стороны CB , из точки A — к точкам деления стороны CD . Взаимное пересечение одноименных лучей определяет положение точек гиперболы. Рис. 74 6.4. Спирали Спирали — плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некото- рую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или удаляясь от нее. 6.4.1. Спираль Архимеда Спираль Архимеда — плоская кривая, представляющая собой траекторию точки, движущейся с постоянной скоростью от центра окружности O по радиусу, вращающе- муся также с постоянной угловой скоростью (рис. 75). Точка O называется полюсом спирали; отрезок OA — шагом спирали; отрезок KL — нормалью спирали, а прямая MN , перпендикулярная нормали, называется касатель- ной. Т очка K может располагаться в любом месте спирали, а точку L находят путем построения, для чего точку K соединяют прямой с точкой O и в точке O проводят 31 Рис. 75 перпендикуляр к отрезку KO , который пересечет в точке L окружность, проведенную через центр O , радиуса R = t/(2 π ) Для построения спирали Архимеда (рис. 76) исходную окружность и ее радиус нужно разделить на одинаковое число равных частей (на рис. 76 n = 8 ; 1, 2, . . . , 8 — точки деления радиуса; 1 , 2 , . . . , 8 — точки деления окружности). Через точки деления на окружности провести из центра O лучи, последовательно откладывая на каждом из них соответствующее число делений радиуса: на первом луче O 1 — расстояние O 1, на втором луче O 2 — расстояние O 2 и т. д. Полученный ряд точек I , II, III, IV, V и т. д. соединить плавной кривой. Рис. 76 Спираль Архимеда имеет две ветви. Вторая ветвь получается при вращении радиуса окружности против движения часовой стрелки. На рис. 77 представлен чертеж детали (распределительного кулачка). Очертания его боковых сторон представляют собой спираль Архимеда. Построение спирали Архимеда на участке между заданными точками представлено на рис. 78. Точки A и B заданы радиусами R 1 и R 2 Для построения соединить точки A и B с центром O отрезками OA и OB , на большем радиусе OB отложить отрезок B 1 = R 2 − R 1 и разделить его на произволь- ное число равных частей ( n = 8 ). На столько же равных частей разделить угол AOB 32 Рис. 77 Рис. 78 На пересечении лучей, делящих угол, и дуг, проведенных через точки 1, 2, . . . , 8 деления отрезка B 1, отметить точки спирали Архимеда. 6.4.2. Синусоида Синусоидой называется кривая, изображающая постепенное изменение тригономе- трической функции — синуса — в зависимости от постепенного изменения величины угла (рис. 79). Прямая А 0 А 12 называется осью синусоиды; точки А 3 и A 9 — вершинами синусоиды; точки А 0 , A 6 и А 12 — точками перегиба; L — длина волны, равная А 0 А 12 (если L = π D , синусоида называется нормальной; если L > π D — вытянутой; если L < π D — сжатой). Величина D называется амплитудой синусоиды. Рис. 79 Для построения синусоиды проводят вспомогательную окружность диаметром, рав- ным данной амплитуде D , и на продолжении центровой линии отмечают отрезок L , равный заданной длине волны (рис. 80). Окружность делят на некоторое количество, например на 12, равных частей. Отрезок L делят на столько же равных частей, на сколько была разделена окруж- ность (рис. 81); из точек деления окружности проводят прямые параллельно оси сину- 33 Рис. 80 Рис. 81 соиды, а из точек I, II, III, IV и V — перпендикуляры к оси до пересечения с соответ- ствующими прямыми — получают точки А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 Аналогичным путем находят точки А 7 , А 8 , А 9 , А 10 , А 11 (точки А , А 6 и А 12 лежат на оси), через полученные точки проводят кривую, которая явится искомой синусоидой (рис. 82). Рис. 82 Вид синусоид имеют многие кривые, изображающие гармонические колебательные процессы или являющиеся проекциями винтовых линий. 6.5. Циклические кривые Циклическими называются кривые, образование которых связано с движением кру- га, к ним относятся циклоида, эпициклоида, гипоциклоида и др. 6.5.1. Циклоида Циклоидой называется плоская кривая, представляющая собой траекторию движе- ния точки, принадлежащей окружности S радиуса R , перекатываемой без проскаль- зывания по прямой линии. Окружность S называется производящей окружностью, а прямая MN — направляющей прямой (рис. 83). Прямая EF называется касательной к циклоиде в точке K ; ее проводят через точку K и верхнюю точку вертикального диаметра производящей окружности S 1 . Прямая GK называется нормалью циклоиды; 34 Рис. 83 ее проводят через точку K и нижнюю точку вертикального диаметра производящей окружности S 1 . Нормаль перпендикулярна касательной. Для построения циклоиды (рис. 84) необходимо от начальной точки A окружности провести направляющую прямую и отложить на ней отрезок AA 1 , равный длине данной окружности: 2 π R . Окружность и отрезок AA 1 делят на одинаковое число равных частей ( n = 12 ). Восстанавливая перпендикуляры из точек деления прямой AA 1 до пересечения с прямой, проходящей через центр данной окружности параллельно AA 1 , отмечают ряд последовательных положений центра перекатываемой окружности O 1 , O 2 , . . . , O 12 Рис. 84 Описывая из этих центров дуги радиуса R , отмечают точки пересечения с ними прямых, проходящих параллельно отрезку AA 1 , через точки деления окружности 1, 2, 3 и т. д. На пересечении горизонтальной прямой, проходящей через точку 1, с дугой, описан- ной из центра O 1 , находится одна из точек циклоиды; на пересечении горизонтальной прямой, проходящей через точку 2, с дугой, проведенной из центра O 2 , находится другая точка циклоиды и т. д. 6.5.2. Эпициклоида Эпициклоидой называется плоская кривая, представляющая собой траекторию дви- жения точки, принадлежащей окружности S радиуса r , катящейся по внешней стороне дуги радиуса R (рис. 85). Окружность S называется производящей окружностью; дуга MN называется направляющей дугой; прямая EF , проведенная через заданную точ- ку K эпициклоиды и верхний конец E диаметра EG производящей окружности S 1 , имеющего радиальное направление ( O 0 E) , называется касательной к эпициклоиде. 35 Рис. 85 Прямая GK , проходящая через точку K и нижний конец диаметра, называется норма- лью эпициклоиды. Для построения эпициклоиды производящую окружность и направляющую дугу делят на 12 частей; проводят из всех точек деления окружности концентрические дуги, центром которых является точка O 0 (рис. 86). Рис. 86 Находят точки пересечения лучей, выходящих из точки O 0 , с окружностью с цен- тром в точке O 0 радиуса R + r , отмечают ряд последовательных положений центра перекатываемой окружности O 1 , O 2 , . . . , O 12 Описывая из этих центров дуги радиуса r , отмечают точки пересечения с ними концентрических окружностей, проходящих через точки деления окружности 1, 2, 3 и т. д. На пересечении концентрической окружности, проходящей через точку 1, с дугой, описанной из центра O 1 , находится одна из точек эпициклоиды; на пересечении кон- центрической окружности, проходящей через точку 2, с дугой, проведенной из центра O 2 , находится другая точка эпициклоиды и т. д. Длина дуги направляющей окружности определяется центральным углом α = 360r/R В качестве примера эпициклоиды можно указать на часть кривой профиля зуба некоторых зубчатых колес. 36 Рис. 87 Эпициклоида, построенная при условии R = r , называется кардиоидой (рис. 87). Для любого луча, выходящего из точки 5 (см. рис. 87), справедливо равенство 12 = 1 1 2 1 = 13 = 1 1 3 1 = . . . = 2r . На этом основан простой способ построения кардиоиды: через точку 5 проводят лучи и на них от точек пересечения лучей с направляющей окружностью откладывают по обе стороны отрезки одинаковой длины, равные 2r 6.5.3. Гипоциклоида Гипоциклоидой называется плоская кривая, представляющая собой траекторию дви- жения точки, принадлежащей окружности S радиуса r , катящейся по внутренней сто- роне дуги радиуса R (рис. 88). Окружность S называется производящей окружностью, дуга MN называется направляющей дугой. Рис. 88 Прямая EF , проведенная через заданную точку K гипоциклоиды и нижний конец E диаметра EG производящей окружности S 1 , имеющего радиальное направление ( O 0 E) , называется касательной к гипоциклоиде. Прямая KG , проходящая через точку K и верхний конец диаметра EG , называется нормалью гипоциклоиды. Построение гипоциклоиды (рис. 89) аналогично построению эпициклоиды при условии, что положение центров перекатываемой окружности O 1 , O 2 , . . . , O 12 находят на пересечении лучей, выходящих из точки O 0 , с окружностью с центром в точке O 0 радиуса R − r Гипоциклоида, полученная при условии R = 4r , называется астроидой (рис. 90). Наиболее простой приближенный способ построения астроиды основан на том, что эта кривая является огибающей для промежуточных положений отрезка, имеющего длину, равную радиусу направляющей окружности, концы которого скользят по сторо- нам прямого центрального угла. Для построения одной из арок астроиды необходимо 37 |