Геометрические построения. Учебное пособие А. Ю. Горячкина, И. А. Горюнова геометрические построения плоских фигур
 Скачать 15.75 Mb.
|
|
Рис. 89 Рис. 90 отложить на сторонах прямого угла отрезки равной длины OA и OB (радиус напра- вляющей окружности R ), взять на одном из отрезков произвольные точки 1, 2, 3, 4 и т. д. и, используя их в качестве центров вспомогательных окружностей (радиуса R ), определить точки пересечения дуг этих окружностей с другим отрезком. Соединить каждую из взятых точек с соответствующей точкой пересечения отрезком прямой и провести огибающую семейства отрезков. При условии R = 2r гипоциклоида трансформируется в прямую, являющуюся диа- метром направляющей окружности. 7. ЦИРКУЛЬНЫЕ КРИВЫЕ 7.1. Завиток Завитком называется циркульная кривая, имеющая очертание, близкое к очертанию эвольвенты окружности. Завиток относится к спиралям. На рис. 91 показано построение завитков из двух, трех и шести центров или, иначе говоря, построение завитков, «глазками» которых являются окружность, правильный 38 Рис. 91 треугольник и правильный шестиугольник. Из указанных видов последний вид завитка является наиболее приближенным очертанием эвольвенты окружности. Порядок построения завитков следующий: 1) вычерчивают контур глазка и продолжают стороны фигуры глазка в одном напра- влении, например против движения часовой стрелки, а для окружности продолжают горизонтальную центровую в обе стороны (см. рис. 91); 2) приняв за центры вершины фигуры глазка (для окружности — ее центр и конеч- ную точку диаметра), проводят в направлении движения часовой стрелки ряд сопря- женных между собой дуг (центром первой дуги является точка О 1 ) . Радиус каждой последующей дуги увеличивается на радиус первой дуги. Отметим, что, чем большее число сторон будет иметь глазок завитка, тем более плавным получится очертание самого завитка (рис. 92). Рис. 92 На рис. 93 показано очертание спиральной пружины (например, часовой), имеющей форму завитка. Рис. 93 7.2. Овал Овалом называется замкнутая выпуклая кривая, состоящая из двух основных дуг окружностей, плавно переходящих одна в другую с помощью одинаковых, симметрич- но расположенных дуг окружностей перехода внутреннего касания. Если основные дуги проведены одинаковыми радиусами, то овал имеет две оси симметрии, а следовательно, и центр симметрии (рис. 94). 39 Рис. 94 Если основные дуги проведены разными радиусами, то овал имеет только одну ось симметрии и называется овоидом (рис. 95). Овоид можно рассматривать как фигуру, состоящую из половины окружности и половины овала. Рис. 95 Очерки овала и овоида относятся к коробовым кривым. Коробовой кривой называ- ется плоская кривая, состоящая из ряда сопряженных дуг окружностей. Способ построения овала зависит от того, какие параметры кривой известны. Если известны оси овала, построения можно выполнять следующими способами. Способ 1 (рис. 96). Построение овала по заданным осям. Для нахождения центров О 1 и О 2 дуг необходимо: Рис. 96 40 1) отложить на малой оси отрезок ОЕ = ОА (длину большой полуоси); 2) провести прямую АС и отложить на ней от точки C отрезок С К = С Е ; 3) восстановить серединный перпендикуляр n к отрезку АК ; 4) на пересечении с заданными осями овала отметить положения центров О 1 и О 2 . Два других центра О 3 и О 4 симметричны центрам О 1 и О 2 относительно точки O пересечения осей овала; 5) из центров О 1 и О 3 провести дуги окружностей радиуса R 2 ; 6) на продолжении лучей О 1 О 2 , О 2 О 3 , О 4 О 1 и О 4 О 3 , соединяющих найденные цен- тры, отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4 и соединить их дугами окружностей радиусов R 1 = О 2 2 ; R 2 = О 3 2 Способ 2. Построение овала по заданным осям при заданном соотношении осей АВ = √ 3CD (рис. 97): Рис. 97 1) из центра О пересечения осей овала радиуса ОА провести дугу до пересечения с продолжением малой оси CD и отметить точки О 2 и О 4 ; 2) аналогично радиусом ОС описать дугу до пересечения с большой осью АВ в точках О 1 и О 3 ; 3) провести лучи через полученные центры О 1 , O 2 , O 3 , О 4 ; 4) провести дуги сопряжения радиусов R 1 = О 4 D ; R 2 = О 1 А до пересечения с лучами в точках 1, 2, 3 и 4. Способ 3. Построение овала делением большой оси на четыре равные части (рис. 98): Рис. 98 41 1) через центр O большой оси АВ перпендикулярно АВ провести малую ось; 2) из того же центра O радиусом ОО 1 = ОА/2 описать окружность и на ее пересе- чении с малой осью отметить центры О 3 и О 4 ; 3) из центров О 1 и О 2 описать дуги окружностей радиуса R 1 = О 1 А ; 4) на продолжениях лучей, соединяющих центры малых и больших дуг, отметить точки сопряжения 1, 2, 3 и 4 при их пересечении с дугами радиуса R 1 ; 5) из центров О 3 и О 4 провести дуги окружностей радиуса R 2 = О 3 1, замыкающие овал. Способ 4. Построение овала делением большой оси на три равные части (рис. 99): Рис. 99 1) разделить большую ось АВ овала на три равные части, отметив центры О 1 и О 2 ; 2) описать из центров О 1 и О 2 окружности радиуса R 1 = АВ/3 и отметить точки О 3 и О 4 их взаимного пересечения как центры сопрягаемых дуг овала; 3) на лучах, соединяющих центры сопрягаемых дуг, при их пересечении с окруж- ностями радиуса R 1 отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4; описать дуги окружностей из центров О 3 и О 4 , замыкающие овал. ЛИТЕРАТУРА Геометрические построения: Метод. указания / Н.А. Никитина, В.М. Марков, В.И. Гусев, М.А. Скоро- ходова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 32 с. Левицкий В.С. Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей. М.: Юрайт, 2010. 440 с. Чекмарев А.А., Осипов В.К. Справочник по машиностроительному черчению. М.: Высш. шк., 2001. 493 с. ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Вводная часть. Геометрические множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Деление отрезков прямых и углов. Перпендикуляр к прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1. Деление отрезка прямой пополам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Деление отрезка прямой на заданное число частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3. Деление отрезка прямой на пропорциональные части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4. Деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении (правило золотого сечения) . . . . . . . . . . . . . 5 2.5. Построение отрезков прямой с заданным отношением сторон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.6. Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через точку, лежащую вне этой прямой . . . . . . 6 2.7. Построение перпендикуляра к прямой в точке, принадлежащей данной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.8. Деление угла пополам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.9. Построение угла 30 ◦ 7 2.10. Построение угла 60 ◦ 8 2.11. Построение угла 75 ◦ 8 2.12. Построение треугольника по трем заданным сторонам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.13. Построение равных многоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Деление окружности на равные части и построение правильных многоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1. Определение центра дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Определение центра окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3. Деление окружности на три, шесть и двенадцать частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4. Деление окружности на четыре и восемь частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.5. Деление окружности на пять и десять частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.6. Деление окружности на семь частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.7. Деление окружности на n равных частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.8. Построение правильных многоугольников по заданной стороне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.1. Алгоритм построения cопряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2. Построение прямой, касательной к окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3. Сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги окружности заданного радиуса R . . . . . . . . . . 15 4.4. Сопряжение трех пересекающихся прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.5. Сопряжение окружности и прямой с помощью дуги окружности заданного радиуса R . . . . . . . . . . . . . 16 4.6. Сопряжение двух окружностей с помощью дуги окружности заданного радиуса R . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.7. Построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку, лежащую вне окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.8. Построение касательной к двум окружностям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.9. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через заданную точку на окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.10. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через точку на прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.11. Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса . . . . . . . . 20 4.12. Сопряжение окружности в заданной точке с окружностью, проходящей через данную точку . . . . . . 20 4.13. Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения . . . . . . . . 21 5. Уклоны и конусность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1. Уклоны. Обозначение, построение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 44 5.2. Конусность. Обозначение, построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. Лекальные кривые. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.1. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.4. Спирали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.4.1. Спираль Архимеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.4.2. Синусоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.5. Циклические кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.5.1. Циклоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.5.2. Эпициклоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.5.3. Гипоциклоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7. Циркульные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.1. Завиток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.2. Овал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Учебное издание Горячкина Александра Юрьевна Горюнова Ирина Анатольевна ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКИХ ФИГУР Учебное пособие Редактор Е.К. Кошелева Корректор Е.В. Авалова Компьютерная верстка В.И. Товстоног Подписано в печать 01.10.2012. Формат 60×84/8. Усл. печ. л. 5,58. Тираж 2500 экз. Изд. № 105. Заказ Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. ДЛЯ ЗАМЕТОК ДЛЯ ЗАМЕТОК |