Геометрические построения. Учебное пособие А. Ю. Горячкина, И. А. Горюнова геометрические построения плоских фигур
 Скачать 15.75 Mb.
|
|
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Учебное пособие А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКИХ ФИГУР Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКИХ ФИГУР Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2012 УДК [744.62]:004.92 ББК 30.11 Г72 Рецензенты: Н.М. Фазлулин, В.М. Ховов Горячкина А.Ю. Г72 Геометрические построения плоских фигур : учеб. пособие / А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова. — M.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 48, [3] с. : ил. Представлены наиболее часто встречающиеся в инженерной практике геометрические построения на плоско- сти. Дана классификация плоских кривых линий, описаны способы их построения. Для студентов, изучающих курс «Инженерная графика». УДК [744.62]:004.92 ББК 30.11 c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 1. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА Контуры многих машино- и приборостроительных деталей имеют сложную форму и состоят из линий различных видов: прямых, дуг окружностей и лекальных кривых. Для того чтобы изобразить на чертеже очертания предмета, которые вполне соот- ветствовали бы его действительной форме, необходимы твердые знания принципов геометрического построения плоских фигур и умение применять их в каждом отдель- ном случае. Одним из способов решения задач на геометрические построения является исполь- зование геометрических множеств. Геометрическое множество точек плоскости — это множество, обладающее опре- деленным геометрическим свойством или свойствами, общими для всех точек. Это означает, что все точки, принадлежащие фигуре, удовлетворяют заданному свойству, и, наоборот, все точки, удовлетворяющие заданному свойству, принадлежат фигуре. Другими словами, точка принадлежит фигуре в том и только в том случае, когда для нее выполняется заданное свойство. Использование геометрических множеств при решении задач состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое множество точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура A , а геометрическое множество точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура B . Искомая точка X принадлежит геометрическим множествам A и B , т. е. является точкой пересечения двух множеств. Рассмотрим геометрические множества точек, которыми будем пользоваться при геометрических построениях на плоскости. Геометрическое множество точек плоскости (рис. 1), удаленных от заданной точки O на заданное расстояние R , есть по определению окружность m (O, R) Геометрическое множество точек плоскости (рис. 2), равноудаленных от двух за- данных точек A и B , есть прямая m , проходящая через середину отрезка AB и перпен- дикулярная этому отрезку. Рис. 1 Рис. 2 3 Геометрическим множеством точек плоскости (рис. 3), находящихся от заданной прямой a на заданном расстоянии h , являются две прямые m и n , параллельные прямой a и находящиеся от нее на заданном расстоянии h Геометрическое множество точек плоскости (рис. 4), равноудаленных от двух дан- ных пересекающихся прямых a и b , представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые m и n , являющиеся биссектрисами углов, образованных прямыми a и b Геометрическое множество точек плоскости (рис. 5), равноудаленных от двух дан- ных параллельных прямых a и b , есть прямая m , параллельная прямым a и b , проходя- щая через точку C — середину отрезка секущей c Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 2. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПРЯМЫХ И УГЛОВ. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ 2.1. Деление отрезка прямой пополам Отрезок АВ прямой m (рис. 6) делится на две равные части перпендикуляром n , проведенным через точки пересечения C и D дуг окружностей радиуса R > 0,5 AB с центрами соответственно в точках A и B . Т очка E — середина отрезка АВ . Построения выполнены на основании теоремы о том, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим множеством точек, одинаково удаленных от концов этого отрезка. Рис. 6 2.2. Деление отрезка прямой на заданное число частей Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсе- кают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. На основании этой теоремы выполняют геометрические построе- ния. 4 Рис. 7 Отрезок АВ прямой m (рис. 7) разделен на семь частей посредством вспомогатель- ного луча t , проведенного через точку A под острым углом к заданной прямой m . На луче t от точки A отложено заданное число ( n = 7) равных отрезков произвольной длины, отмеченных точками 1, 2, . . . , 7. Последняя точка 7 соединена с точкой B , и из каждой точки деления луча t последовательно проведены прямые, параллельные прямой В 7, до пересечения с прямой m . Полученные точки 1 , 2 , . . . , 7 делят отрезок АВ в искомом отношении. 2.3. Деление отрезка прямой на пропорциональные части Это деление выполняют по аналогии с построением, представленным на рис. 7, с тем лишь отличием, что на вспомогательном луче t откладывают сумму отрезков, составляющих заданное отношение, например А 2 : 2 В = 2 : 5 или А 4 : 4 В = 4 : 3 (см. рис. 7). При построении основываются на теореме о том, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. 2.4. Деление отрезка прямой в среднем и в крайнем отношении (правило золотого сечения) Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть отно- сится к меньшей, или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку. На рис. 8 отрезок АВ разделен в отношении АВ : АK = АK : KВ . Для построения отрезок АВ надо разделить пополам точкой С . В точке B восстановить перпендикуляр к отрезку АВ и отложить на нем отрезок ВМ = АС . На луче АМ от точки М отложить отрезок М N = ВМ = АВ/2 . Затем из точки A радиусом АN на прямой АВ засечь точку K , являющуюся искомой, чтобы разделить отрезок в заданном отношении. Рис. 8 5 2.5. Построение отрезков прямой с заданным отношением сторон Диагональ DВ квадрата (рис. 9), сторона которого АВ , равна √ 2АВ ; АВ = √ 2АО ; АО = √ 2ОМ ; ОМ = √ 2М N и т. д. Рис. 9 Рис. 10 На рис. 10 показано построение большой стороны BC прямоугольника по заданной короткой стороне DC . На перпендикуляре, восстановленном к отрезку DC в точке D , отложить DК = DC и построить CB = CК = √ 2DC . Это соотношение принято при образовании стандартных форматов чертежей: основой формата является прямоуголь- ник, такой, что при делении большей его стороны пополам образуется прямоугольник с тем же отношением сторон, что и у исходного прямоугольника. 2.6. Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через точку, лежащую вне этой прямой Из точки O засечкой произвольного радиуса R отметить на прямой m точки A и B (рис. 11). Используя эти точки как центры, провести равными радиусами R 1 дуги окружностей до их взаимного пересечения в точке O 1 . Отрезок ОО 1 ⊥ AB Рис. 11 2.7. Построение перпендикуляра к прямой в точке, принадлежащей данной прямой Провести из произвольно выбранного центра O , расположенного вне данной прямой m , дугу окружности радиуса R = OA (рис. 12) и отметить на прямой m точку B 6 Рис. 12 ее пересечения с дугой. Построить диаметр BM и прямую MA ; MA ⊥ AB , так как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр угол MAB прямой. 2.8. Деление угла пополам Построение выполняют на основании теоремы о том, что биссектриса угла явля- ется геометрическим множеством точек, лежащих внутри данного угла и одинаково удаленных от его сторон. Из вершины O заданного угла провести дугу произвольного радиуса R до пересе- чения ее со сторонами угла в точках A и B (рис. 13). Из полученных точек, как из центров, построить две дуги равных радиусов R 1 до их взаимного пересечения в точке M . Биссектриса OM делит заданный угол пополам. Рис. 13 2.9. Построение угла 30 ◦◦◦ Построить прямой угол (рис. 14). Из его вершины O провести дугу произвольного радиуса R . Из точки A тем же радиусом R сделать засечку на дуге AB в точке M . Угол MOB = 30 ◦ (поскольку треугольник AOM равносторонний, то угол AOM = 60 ◦ ) Рис. 14 7 2.10. Построение угла 60 ◦◦◦ Из точки O на прямой m (рис. 15) провести дугу AB произвольного радиуса R . Из точки B на прямой m провести дугу окружности того же радиуса R до пересечения с первой дугой в точке A . Угол AOB = 60 ◦ , так как треугольник AOB равносторонний. Рис. 15 2.11. Построение угла 75 ◦◦◦ Построить прямой угол (рис. 16). Из его вершины O провести дугу AB произ- вольного радиуса R . Из точки B тем же радиусом R сделать засечку на дуге АВ в точке М . Угол BОМ = 60 ◦ необходимо дополнить, построив биссектрису угла МОA Угол BОС = 75 ◦ Рис. 16 2.12. Построение треугольника по трем заданным сторонам Задан треугольник со сторонами a = 30 мм; b = 45 мм; c = 60 мм (рис. 17). За основу построения можно принять любую сторону; в данном случае принята сторона c = AC = 60 мм. Рис. 17 8 2.13. Построение равных многоугольников Многоугольник, равный заданному, можно построить по координатам точек вершин и методом триангуляции. Метод триангуляции. Этот метод основан на разбивке данного многоугольника на треугольники и последовательном построении треугольников по данным сторонам, например: а) разбиваем данный многоугольник ABCD на два треугольника ABD и BCD (рис. 18); б) приняв за основание сторону AD , проводим отрезок A 1 D 1 = AD и строим тре- угольник A 1 B 1 D 1 , равный треугольнику ABD (см. рис. 17) по трем данным сторонам (рис. 19); в) приняв за основание сторону B 1 D 1 , строим треугольник B 2 C 2 D 2 , равный тре- угольнику BCD (рис. 20). Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20 3. ДЕЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ И ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 3.1. Определение центра дуги Взять на дуге окружности (рис. 21) три произвольно расположенные точки A , В и С . Отрезки AB и BC — хорды заданной дуги. Точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд, определяет положение центра O исходной дуги. Построение основано на определении окружности как геометрического множества точек, удаленных от центра на заданное расстояние R Рис. 21 9 3.2. Определение центра окружности В заданной окружности (рис. 22) провести две не параллельные между собой хор- ды AB и CD. Через середины хорд провести перпендикуляры, пересечение которых определяет положение центра O исходной окружности. Рис. 22 3.3. Деление окружности на три, шесть и двенадцать частей В окружности заданного радиуса R (рис. 23) провести через центр O взаимно перпендикулярные диаметры AB и CD. Из любой точки конца диаметра (например, из точки А ) провести дугу радиуса R = АО до пересечения с окружностью в точках 1 и 2. Отрезок 12 — искомая сторона правильного вписанного треугольника 1 В 2. Рис. 23 Отрезки A 1 = A 2 и C 1 = D 2 соответственно равны сторонам правильных вписанных шестиугольника и двеннадцатиугольника. Для построения недостающих вершин мно- гоугольников достаточно провести из противоположного конца диаметра окружности (в нашем случае — из точки B ) дугу того же радиуса R до пересечения с окружностью. 3.4. Деление окружности на четыре и восемь частей Провести два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD (рис. 24). Отрезки AC = CB = BD = DA , соединяющие концы диаметров, являются сторонами правиль- ного вписанного четырехугольника. 10 Рис. 24 Для деления окружности на восемь частей необходимо построить перпендикуляры к серединам сторон четырехугольника и продолжить их до пересечения с окружностью. Отрезок AM — сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность. 3.5. Деление окружности на пять и десять частей Провести два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD (рис. 25) и разделить радиус OB пополам в точке M . Из точки M , как из центра, провести дугу радиуса MC до пересечения ее с диаметром AB в точке K . Отрезок CK равен стороне правиль- ного вписанного пятиугольника, отрезок OK равен стороне правильного вписанного десятиугольника. Рис. 25 3.6. Деление окружности на семь частей Из точек A и B концов горизонтального диаметра AB (рис. 26) провести дуги ра- диуса R = AO = BO и отметить точки их пересечения 1 и 2 с исходной окружностью. Рис. 26 11 На пересечении хорды 12 с радиусом OD отметить точку M . Отрезок OM равен стороне правильного вписанного семиугольника. Для его построения измерителем последова- тельно отложить соответствующие отрезки на исходной окружности. 3.7. Деление окружности на nnn равных частей Провести в окружности заданного радиуса R два взаимно перпендикулярных диа- метра AB и С D (рис. 27) и разделить один из диаметров, например CD , на заданное число равных частей ( n = 9 ). Из точек C и D , как из центров, провести дуги окружно- стей радиуса 2 R до их пересечения с диаметром AB в точках K и M Рис. 27 Используя полученные точки K и M в качестве центров, провести семейство лучей через четные или нечетные (как в нашем случае) точки деления диаметра CD до пересечения с заданной окружностью. Полученные на окружности точки 1, 2, . . . , 9 — искомые точки деления окружности на заданное число частей. Описанный способ приближенный; дуги, на которые разделена окружность, в действительности не равны одна другой. Однако погрешность не превышает 0,01 R , что для практических целей можно считать достаточным. 3.8. Построение правильных многоугольников по заданной стороне Сторону AB (рис. 28) разделить точкой O пополам и восстановить в этой точке перпендикуляр к отрезку AB . Из точек A и B провести дуги радиуса R = AB до пересечения их в точке 1. Треугольник A 1 B — искомый равносторонний треугольник. Для построения квадрата надо восстановить в точках A и B перпендикуляры к отрезку AB и продолжить их до пересечения в точках C и D с дугами радиуса R = AB Квадрат ACDB искомый. В квадрате ACDB провести диагонали и отметить точку 2 их пересечения. Разделить расстояние между точками 1 и 2 пополам точкой 3, которая будет служить центром окружности для вписанного в нее правильного пятиугольника со стороной AB Последовательно откладывая расстояние 13 от точки 1 вверх по перпендикуляру, отметить точки 4, 5, 6, . . . , n , которые будут служить центрами окружностей для 12 Рис. 28 построения соответственно семи-, восьми-, девятиугольника и т. д. с заданной сторо- ной AB . Радиусами проводимых при этом окружностей являются расстояния от точки A до соответствующих центров. 4. СОПРЯЖЕНИЯ 4.1. Алгоритм построения cопряжений Сопряжение — плавный переход одной линии в другую либо непосредственно, либо с помощью промежуточных дуг окружностей, называемых дугами сопряжения, радиусы в этом случае называют радиусами сопряжения. Точка сопряжения — общая точка двух сопрягающихся линий, в которой одна линия переходит в другую и через которую проходит их общая касательная. Центрсопряжения — центр дуги окружности, сопрягающей две линии. Его находят на пересечении двух геометрических фигур, каждая из которых является множеством точек плоскости, равноудаленных на заданное расстояние от одной из сопрягаемых линий. Построения сопряжений с непосредственным переходом одной линии в другую являются не чем иным, как построением касательных: прямой, касательной к окруж- ности, и окружности, касательной к другой окружности. Рассмотрим переходы: а) прямой в дугу окружности (или дуги окружности в прямую) (рис. 29). Точкой сопряжения K является точка касания, она находится в основании перпендикуляра, опущенного из центра O окружности на данную прямую. Где бы ни была проведена окружность радиуса R , плавно переходящая в данную прямую, всегда расстояние от ее центра O до заданной прямой равно R , т. е. геометрическим множеством центров O является прямая, проведенная параллельно данной прямой на расстоянии радиуса R; б) одной дуги окружности внешнего касания в другую (рис. 30). Касание окружно- стей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной. Точкой сопряжения K является точка касания, она находится на пересечении сопрягаемых дуг линией их центров OO 1 . Где бы ни была проведена дуга 13 |