эксперимент. введение. Учебное пособие Белгород 2020
 Скачать 0.95 Mb.
|
|
Продолжение прил. 2 Дисперсию адекватности определяем по выражению 𝜎 ад 2 = 𝑆 𝑅 −𝑆 𝐸 𝑓 , где число степеней свободы f=N-k’-(n 0 -1)=13-6-(5-1)=3; k’=6 – число значимых коэффициентов модели; N=13 – общее число опытов; n 0 =5 – число опытов в центре плана. 𝑆 𝐸 = ∑ (𝑦 𝑄 𝑢 − 𝑦 𝑄 ̅̅̅) 2 𝑛 0 𝑢=1 - сумма квадратов отклонений экспериментальных значений параметра 𝑦 𝑄 𝑢 от среднеарифметического 𝑦 𝑄 ̅̅̅ по результатам 5 опытов в центре плана (см. подраздел 1) 𝑆 𝐸 = (21,3 − 20) 2 + (23,5 − 20) 2 + (19,8 − 20) 2 + (16,4 − 20) 2 + (19 − 20) 2 = 27,94 𝑆 𝑅 = ∑ (𝑦 𝑄𝑗 ̂ − 𝑦 𝑄𝑗 ) 2 13 𝑗=1 - сумма квадратов отклонений расчётных 𝑦 𝑄𝑗 ̂ значений функций отклика от экспериментальных 𝑦 𝑄𝑗 во всех точках плана. Для расчёта 𝑆 𝑅 составим вспомогательную табл. 9. Таблица 9 № опыта 𝑦 𝑄𝑗 ̂ = 19,9875 − 9,97𝑥 1 − 14,95𝑥 2 + 4𝑥 1 𝑥 2 + 5,996𝑥 1 2 + 3,9975𝑥 2 2 𝑦 𝑄𝑗 (𝑦 𝑄𝑗 ̂ − 𝑦 𝑄𝑗 ) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 𝑦 𝑄1 ̂ = 19,9875 − 9,97 − 14,95 + 4 + 5,996 + 3,9975 = 9,061 𝑦 𝑄2 ̂ = 19,9875 + 9,97 − 14,95 − 4 + 5,996 + 3,9975 = 21,001 𝑦 𝑄3 ̂ = 19,9875 − 9,97 + 14,95 − 4 + 5,996 + 3,9975 = 30,961 𝑦 𝑄4 ̂ = 19,9875 + 9,97 + 14,95 + 4 + 5,996 + 3,9975 = 58,901 𝑦 𝑄5 ̂ = 19,9875 − 9,97 ∗ 1,414 + 0 + 0 + 5,996 ∗ 2 + 0 = 17,9218 𝑦 𝑄6 ̂ = 19,9875 + 9,97 ∗ 1,414 + 0 + 0 + 5,996 ∗ 2 + 0 = 46,0372 𝑦 𝑄7 ̂ = 19,9875 + 0 − 14,95 ∗ 1,414 + 0 + 0 + 3,9975 ∗ 2 = 6,903 𝑦 𝑄8 ̂ = 19,9875 + 0 + 14,95 ∗ 1,414 + 0 + 0 + 3,9975 ∗ 2 = 49,062 𝑦 𝑄9 ̂ = 19,9875 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 19,9875 𝑦 𝑄10 ̂ = 19,9875 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 19,9875 𝑦 𝑄11 ̂ = 19,9875 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 19,9875 𝑦 𝑄12 ̂ = 19,9875 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 19,9875 𝑦 𝑄13 ̂ = 19,9875 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 19,9875 9 21 31 59 17,9 46,1 6,85 49,1 21,3 23,5 19,8 16,4 19 0,0037 0 0,00152 0,0098 0,0005 0,0039 0,0028 0,0077 1,723 12,3377 0,0352 12,8702 0,9752 𝑆 𝑅 = 27,9708 Тогда 𝜎 ад 2 = 27,9708−27,94 3 = 0,0103 Расчётное значение 𝐹 р - критерия: 𝐹 р = 𝜎 ад 2 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } = 0,0103 6,985 = 0,0015 Табличное значение 𝐹 Т - критерия при 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы для большей дисперсии (𝜎 2 {𝑦 𝑄 }) 𝑓 1 = 𝑛 0 − 1 = 5 − 1 = 4 для меньшей дисперсии 𝜎 ад 2 𝑓 2 = 𝑁 − 𝑘 ′ − (𝑛 0 − 1) = 13 − 6 − (5 − 1) = 3 равно 𝐹 Т =9,1 (см. прил. 4). Так как 𝐹 р < 𝐹 Т , полученная модель адекватна. Раскодируем уравнение регрессии для 𝑦 𝑄 через формулы перехода: 𝑥 1 = Э − Э 0 ∆Э ; 𝑥 2 = 𝑓 − 𝑓 0 ∆𝑓 , где 𝑥 1 и 𝑥 2 - кодированные значения факторов; Э 0 , 𝑓 0 – натуральные переменные значения факторов основного уровня (см. табл. 1); ∆Э, ∆𝑓 - интервалы варьирования факторов (см. табл. 1). 51 Продолжение прил. 2 Э и 𝑓 - натуральные переменные значения факторов. После подстановки значений Э 0 , 𝑓 0 , ∆Э, ∆𝑓 имеем: 𝑥 1 = Э − 13 5 ; 𝑥 2 = 𝑓 − 66 22 ; Подставим формулы перехода 𝑥 1 и 𝑥 2 в уравнение регрессии: 𝑦 𝑄 = 𝑄 = 19,9875 − 9,97 ∙ Э − 13 5 − 14,95 ∙ 𝑓 − 66 22 + 4 ∙ Э − 13 5 ∙ 𝑓 − 66 22 + +5,996 ( Э − 13 5 ) 2 + 3,9975 ( 𝑓 − 66 22 ) 2 = = 198,47 − 10,6298Э − 2,24243𝑓 + 0,03636Э𝑓 + 0,23984Э 2 + 0,00826𝑓 2 Правильность раскодирования проверяем путём подстановки натуральных значений факторов в полученное уравнение. Например, опыт№1: 𝑥 1 = +1; Э 1 = 18мДж; 𝑥 2 = +1; 𝑓 1 = 88кГц; 𝑄 Э1 = 9 мм мин ; 𝑄 р1 = 198,47 − 10,6298 ∙ 18 − 2,24243 ∙ 88 + 0,03636 ∙ 18 ∙ 88 + +0,23984 ∙ 18 2 + 0,00826 ∙ 88 2 = 9,0676 ≈ 9 Расчётное значение 𝑄 р1 совпадает с экспериментальным 𝑄 Э1 , следовательно раскодированное уравнение верно. 2.2. Вычисления для параметра y γ – относительного линейного износа электрода-инструмента Определяем коэффициенты квадратичной модели b 0 , b 1 , b 2, b 12 , b 11 , b 22 , используя данные матрицы (табл. 8) подраздела 2.1: 𝑏 0 = 𝐴 𝑁 [2𝜆 2 (𝑘 + 2) ∑ 𝑦 𝛾𝑗 𝑁=13 𝑗=1 − 2𝜆с ∑ ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑦 𝛾𝑗 𝑁=13 𝑗=1 𝐾=2 𝑖=1 ] = = 0,492 13 *[2·0,8125 2 ·(2+2)(67+59+31+23+45,64+34,36+75,38+24,62+41,5+ +38,2+40,1+43,3+37)-2·0,8125·1,625·(67+59+31+23+2·45,64+2·34,36+67+59+31+23+ +2·75,38+2·24,62)]=39,995 𝑏 1 = 𝐶 𝑁 ∑ 𝑥 1𝑗 𝑦 𝛾𝑗 = 1,625 13 (67 − 59 + 31 − 23 + 1,41 ∙ 45,64 − 1,41 ∙ 34,36) 𝑁=13 𝑗=1 = 3,988; 𝑏 2 = 𝐶 𝑁 ∑ 𝑥 2𝑗 𝑦 𝛾 𝑗 = 1,625 13 (67 + 59 − 31 − 23 + 1,41 ∙ 75,38 − 1,41 ∙ 24,62) 𝑁=13 𝑗=1 = 17,946; 𝑏 12 = 𝐶 2 𝑁𝜆 ∑ 𝑥 1𝑗 𝑥 2𝑗 𝑦 𝛾𝑗 = 1,625 2 13∗0,8125 (67 − 59 − 31 + 23) 𝑁=13 𝑗=1 = 0; 𝑏 11 = 𝐴 𝑁 {C 2 [(k+2)λ-k]∑ 𝑥 1𝑗 2 𝑦 𝛾𝑗 𝑁=13 𝑗=1 + C 2 (1-λ)∑ ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑁=13 𝑗=1 𝑘=2 𝑖=1 𝑦 𝛾𝑗 -2λC· ∙ ∑ 𝑦 𝛾𝑗 𝑁=13 𝑗=1 }= 0,492 13 {1,625 2 [(2+2)·0,8125-2]·(67+59+31+23+2·45,64+2·34,36)+ +1,625 2 (1-0,8125)· ·(67+59+31+23+2·45,64+2·34,36+67+59+31+23+2·75,38+2·24,62)- -2·0,8125·1,625· 52 Продолжение прил. 2 ·(67+59+31+23+45,64+34,36+75,38+24,62+41,5+38,2+40,1+43,3+37)}= =-0,00999; 𝑏 22 = 𝐴 𝑁 {C 2 [(k+2)λ-k]∑ 𝑥 2𝑗 2 𝑦 𝛾𝑗 𝑁=13 𝑗=1 + C 2 (1-λ)∑ ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑁=13 𝑗=1 𝑘=2 𝑖=1 𝑦 𝛾𝑗 -2λC· ∙ ∑ 𝑦 𝛾𝑗 𝑁=13 𝑗=1 }= 0,492 13 {1,625 2 [(2+2)·0,8125-2]·(67+59+31+23+2·75,38+2·24,92)+ +1,625 2· (1-0,8125)· ·(67+59+31+23+2·45,64+2·34,36+67+59+31+23+2·75,38+2·24,62)- -2·0,8125·1,625· ·(67+59+31+23+45,64+34,36+75,38+24,62+41,5+38,2+40,1+43,3+37)}=5,062. Дисперсия 𝜎 2 {𝑦 𝛾 } выходного параметра 𝑦 𝛾 была определена по результатам 5 опытов N№ 9…13 в центре плана и составила 𝜎 2 {𝑦 𝛾 }=6,3475 (см. подраздел 1). Определяем дисперсии коэффициентов уравнения регрессии для параметра 𝑦 𝛾 Дисперсия свободного члена: 𝜎 2 {𝑏 0 } = 2𝐴𝜆 2 (𝑘+2) 𝑁 𝜎 2 {𝑦 𝛾 }= 2∗0,492∗0,8125 2 (2+2) 13 ·6,3475=1,269 𝜎 2 {𝑏 𝑖 } = 𝐶 𝑁 𝜎 2 {𝑦 𝛾 }= 1,625 13 ∙ 6,3475 = 0,7934 – дисперсия коэффициентов при линейных членах. Дисперсия коэффициентов при парных взаимодействиях: 𝜎 2 {𝑏 𝑖𝑙 } = 𝐶 2 𝜆𝑁 𝜎 2 {𝑦 𝛾 }= 1,625 2 13∙0,8125 ∙ 6,3475 = 1,587 Дисперсия коэффициентов при квадратичных членах: 𝜎 2 {𝑏 𝑖𝑖 } = 𝐴𝐶 2 [(𝑘+1)𝜆−(𝑘−1)] 𝑁 𝜎 2 {𝑦 𝛾 }= 0,492∙1,625 2 [(2+1)0,8125−(2−1)] 13 6,3475=0,9119 Среднеквадратичные ошибки в определении коэффициентов уравнения регрессии для 𝑦 𝛾 : 𝜎{𝑏 0 } = √𝜎 2 {𝑏 0 } = √1,269 = 1,126; 𝜎{𝑏 𝑖 } = √0,7934 = 0,891; 𝜎{𝑏 𝑖𝑙 } = √1,587 = 1,26; 𝜎{𝑏 𝑖𝑖 } = √0,9119 = 0,955; Определяем доверительные интервалы для коэффициентов: ∆𝑏 0 = 𝑡𝜎{𝑏 0 } = 2,78 ∙ 1,126 = 3,132; ∆𝑏 𝑖 = 𝑡𝜎{𝑏 𝑖 } = 2,78 ∙ 0,891 = 2,476; ∆𝑏 𝑖𝑙 = 𝑡𝜎{𝑏 𝑖𝑙 } = 2,78 ∙ 1,26 = 3,502; ∆𝑏 𝑖𝑖 = 𝑡𝜎{𝑏 𝑖𝑖 } = 2,78 ∙ 0,955 = 2,655; Здесь t=2,78 – табличное значение - критерия Стьюдента при 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы f=n 0 -1=5-1=4. Из расчётов видно, что коэффициенты b 12 и b 11 по абсолютной величине меньше соответствующих доверительных интервалов: b 12 =0< ∆𝑏 𝑖𝑙 =3,502; | b 11 |=0,00999<∆𝑏 𝑖𝑖 =2,655 53 Продолжение прил. 2 Их можно признать статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии. Тогда уравнение примет вид: 𝑦 𝛾 =b 0 +b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 22 x 2 2 Так как незначимым оказался коэффициент при квадратичном члене (b 11 ), все остальные коэффициенты пересчитываем с использованием метода наименьших квадратов. Для этого используем упрощённую систему нормальных уравнений для k=2 (см. лекции р.8.3) [3]. ∑ y j N j=1 = 13b 0 + 8b 11 + 8b 22 ∑ 𝑥 1 2 𝑁 𝑗=1 𝑦 = 8𝑏 0 + 12𝑏 11 + 4𝑏 22 ∑ 𝑥 2 2 𝑦 𝑁 𝑗=1 = 8𝑏 0 + 4𝑏 11 + 12𝑏 22 Отмеченные уравнение и столбец исключаются из системы, т.к. исключены коэффициенты 𝑏 11 и столбец матрицы 𝑥 1 2 . Тогда система уравнений примет вид: ∑ 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 = 13𝑏 0 + 8𝑏 22 = 560 ∑ 𝑥 2 2 𝑦 𝑁 𝑗=1 = 8𝑏 0 + 12𝑏 22 = 380 Откуда 𝑏 0 = 40,013; 𝑏 22 =4,9914. Тогда уравнение регрессии примет вид: 𝑦 𝛾 = 40,013 + 3,988𝑥 1 + 17,946𝑥 2 + 4,9914𝑥 2 2 Адекватность полученной модели проверяем с помощью F-критерия: 𝐹 р = 𝜎 ад 2 𝜎 2 {𝑦 𝛾 } , где 𝜎 2 {𝑦 𝛾 }=6,3475-дисперсия выходного параметра 𝑦 𝛾 (см. подраздел 1). Дисперсию адекватности определяем по выражению 𝜎 ад 2 = 𝑆 𝑅 −𝑆 𝐸 𝑓 , где f-число степеней свободы определяется: f=N-k’-(n 0 -1)=13-4-(5-1)=5 (k’=4-число значимых коэффициентов модели). Сумма квадратов (𝑆 𝐸 = ∑ (𝑦 𝑗 𝑢 − 𝑦 𝑗 ̅ ) 2 ) 𝑛 0 𝑢=1 , где 𝑦 𝛾 𝑢 – экспериментальные, 𝑦 𝛾 ̅̅̅-среднеарифметическое значение параметра 𝑦 𝛾 в 5 параллельных опытах в центре плана (см. подраздел 1). 𝑆 𝐸 = (41,5 − 40) 2 + (38,2 − 40) 2 + (40,1 − 40) 2 + (43,3 − 40) 2 + (37 − 40) 2 = 25,39 где 𝑆 𝑅 = ∑ (𝑦 𝛾𝑗 ̂ − 𝑦 𝛾𝑗 ) 2 13 𝑗=1 - сумма квадратов отклонений расчётных 𝑦 𝛾𝑗 ̂ значений функций отклика от экспериментальных 𝑦 𝛾𝑗 во всех точках плана. Для расчёта 𝑆 𝑅 составим вспомогательную табл. 10. 54 Продолжение прил. 2 Таблица 10 № опыта 𝑦 𝛾𝑗 ̂ = 40,013 + 3,988𝑥 1 + 17,946𝑥 2 + 4,9914𝑥 2 2 𝑦 𝛾𝑗 (𝑦 𝛾𝑗 ̂ − 𝑦 𝛾𝑗 ) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 𝑦 𝛾1 ̂ = 40,013 + 3,988 + 17,946 + 4,9914 = 66,9384 𝑦 𝛾2 ̂ = 40,013 − 3,988 + 17,946 + 4,9914 = 58,9624 𝑦 𝛾3 ̂ = 40,013 + 3,988 − 17,946 + 4,9914 = 31,0464 𝑦 𝛾4 ̂ = 40,013 − 3,988 − 17,946 + 4,9914 = 23,0704 𝑦 𝛾5 ̂ = 40,013 + 3,988 ∗ 1,41 + 0 + 0 = 45,6361 𝑦 𝛾6 ̂ = 40,013 − 3,988 ∗ 1,41 + 0 + 0 = 34,3899 𝑦 𝛾7 ̂ = 40,013 + 0 + 14,95 ∗ 1,414 + 4,9914 ∗ 2 = 75,29966 𝑦 𝛾8 ̂ = 40,013 + 0 − 14,95 ∗ 1,414 + 4,9914 ∗ 2 = 24,69194 𝑦 𝛾9 ̂ = 40,013 + 0 + 0 + 0 = 40,013 𝑦 𝛾10 ̂ = 40,013 + 0 + 0 + 0 = 40,013 𝑦 𝛾11 ̂ = 40,013 + 0 + 0 + 0 = 40,013 𝑦 𝛾12 ̂ = 40,013 + 0 + 0 + 0 = 40,013 𝑦 𝛾13 ̂ = 40,013 + 0 + 0 + 0 = 40,013 67 59 31 23 45,64 34,36 75,38 24,62 41,5 38,2 40,1 43,3 37 0,003795 0,001414 0,002153 0,004956 0,000015 0,000895 0,006455 0,005175 2,211169 3,286969 0,007569 10,804369 9,078169 𝑆 𝑅 = 25,4131 Тогда 𝜎 ад 2 = 25,4131−25,39 5 = 0,004621 Расчётное значение 𝐹 р - критерия: 𝐹 р = 𝜎 ад 2 𝜎 2 {𝑦 𝛾 } = 0,004621 6,3475 = 0,0007279 Табличное значение 𝐹 Т - критерия при 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы для большей дисперсии (𝜎 2 {𝑦 𝛾 }) 𝑓 1 = 𝑛 0 − 1 = 5 − 1 = 4 для меньшей дисперсии (𝜎 ад 2 ) 𝑓 2 = 𝑁 − 𝑘 ′ − (𝑛 0 − 1) = 13 − 4 − (5 − 1) = 5 равно 𝐹 Т =5,2 (см. прил. 4). Так как 𝐹 р < 𝐹 Т , полученная модель адекватна. Раскодируем уравнение регрессии для 𝑦 𝛾 через формулы перехода: 𝑥 1 = Э − 13 5 ; 𝑥 2 = 𝑓 − 66 22 ; Подставим формулы перехода 𝑥 1 и 𝑥 2 в уравнение регрессии: 𝑦 𝛾 = 𝛾 = 40,013 + 3,988 ∙ Э − 13 5 + 17,946 ∙ 𝑓 − 66 22 + 4,9914 ( 𝑓 − 66 22 ) 2 = = 40,013 + 0,7976Э − 10,3688 + 0,81573𝑓 − 53,838 + 0,010313𝑓 2 − −1,3613𝑓 + 44,9226 = 20,7288 + 0,7976Э − 0,54557𝑓 + 0,010313𝑓 2 Проверяем правильность раскодирования, используя данные опыта 1: 𝑥 1 = +1; Э 1 = 18мДж; 𝑥 2 = +1; 𝑓 1 = 88кГц; 𝛾 1 Э = 67%; 𝛾 1 р = 20,7288 + 0,7976 ∙ 18 − 0,54557 ∙ 88 + 0,010313 ∙ 88 2 = 66,9393 ≈ ≈ 67%. Раскодирование верно. 55 Продолжение прил. 2 3. Поиск и исследование области оптимума с помощью графоаналитического метода двумерных совмещённых сечений поверхностей отклика. В результате рототабельного планирования второго порядка были получены адекватные математические модели зависимости двух выходных параметров: производительности процесса Q=y Q и относительного линейного износа электрода-инструмента γ=y γ от двух факторов: энергии импульсов тока Э (кодированное обозначение x 1 ) и частоты импульсов f (кодированное обозначение x 2 ) y Q =20-10x 1 -15x 2 +4x 1 x 2 +6x 1 2 +4x 2 2 y γ =40+4x 1 +18x 2 +5x 2 2 Значения коэффициентов в уравнениях регрессии незначительно округлены. В соответствии с заданием необходимо найти наибольшее и наименьшее значения производительности процесса электроэрозионной прошивки отверстий и соответствующие им режимы обработки, при которых износ электрода инструмента составляет 50%. На первом этапе первое уравнение 𝑦 𝑄 , содержащее два квадратных члена и член с эффектом взаимодействия, приводим к канонической форме. Для этого дифференцируем уравнение по независимым переменным x 1 , x 2 и приравниваем частные производные к нулю: 𝜕𝑦 𝑄 𝜕𝑥 1 = −10 + 4𝑥 2 + 12𝑥 1 = 0; 𝜕𝑦 𝑄 𝜕𝑥 2 = −15 + 4𝑥 1 + 8𝑥 2 = 0; Составим систему уравнений: { 12𝑥 1 + 4𝑥 2 = 10 4𝑥 1 + 8𝑥 2 = 15 Вычислим определитель системы: ∆= |12 4 4 8 | = 12 ∙ 8 − 4 ∙ 4 = 80 Определитель не равен нулю, следовательно, исследуемая поверхность отклика имеет центр. Находим координаты центра S: 𝑥 1𝑠 и 𝑥 2𝑆 𝑥 1𝑠 = ∆𝑥 1 ∆ = |10 4 15 8 | 80 = 10 ∙ 8 − 4 ∙ 15 80 = 0,25 𝑥 2𝑠 = ∆𝑥 2 ∆ = |12 10 4 15 | 80 = 12 ∗ 15 − 10 ∗ 4 80 = 1,75, где ∆𝑥 1 и ∆𝑥 2 - частные определители. 56 Продолжение прил. 2 Подставляя 𝑥 1𝑠 и 𝑥 2𝑠 в уравнение регрессии, находим значение выходного параметра в центре 𝑦 𝑄𝑆 = 20 − 10 ∙ 0,25 − 15 ∙ 1,75 + 4 ∙ 0,25 ∙ 1,75 + 6 ∙ (0,25) 2 + 4 ∗ (1,75) 2 = 5,625 Уравнение регрессии принимает канонический вид, если координатные оси 𝑥 1 - 𝑥 2 параллельно перенести в новую координатную систему с центром S с координатами 𝑥 1𝑠 , 𝑥 2𝑠 и повернуть оси координат на угол α: 𝛼 = 1 2 arctg 𝑏 12 𝑏 11 − 𝑏 22 = 1 2 arctg 4 6 − 4 = 31,7 ° Тогда в новой системе координат уравнение регрессии принимает стандартный канонический вид: 𝑌 𝑄 = 𝑦 𝑄 − 𝑦 𝑄𝑆 = 𝐵 11 𝑋 1 2 + 𝐵 22 𝑋 2 2 , где 𝑋 1 , 𝑋 2 - значение координат в новой системе после переноса и поворота старой системы координат; 𝐵 11 , 𝐵 22 - новые коэффициенты в каноническом уравнении определяются из характеристического уравнения: | 𝑏 11 − 𝐵 1 2 𝑏 12 1 2 𝑏 21 𝑏 22 − 𝐵 | = | 6 − 𝐵 1 2 ∙ 4 1 2 ∙ 4 4 − 𝐵 | = (6 − 𝐵)(4 − 𝐵) − 1 2 ∙ 4 ∙ 1 2 ∙ 4 = = 𝐵 2 − 10 ∙ 𝐵 + 20 = 0 Решая квадратное уравнение, находим корни: 𝐵 = 5 ± √25 − 20 = 5 ± 2,236; 𝐵 11 = 7,236; 𝐵 22 = 2,764. При этом, большее значение 𝐵 𝑖𝑖 должно соответствовать большему значению 𝑏 𝑖𝑖 и наоборот. Правильность вычислений коэффициентов проверяем сравнением сумм коэффициентов при квадратичных членах в исходном и каноническом уравнениях: 𝑏 11 + 𝑏 22 = 𝐵 11 + 𝐵 22 ;6 + 4 = 7,236 + 2,764;10 ≡ 10 Вычисление верно. Тогда уравнение регрессии в канонической форме имеет вид: 𝑌 𝑄 = 𝑦 𝑄 − 5,625 = 7,236𝑋 1 2 + 2,764𝑋 2 2 Так как 𝐵 11 и 𝐵 22 одного знака и больше нуля, то поверхность отклика, описываемая уравнением, представляет собой эллиптический параболоид с вершиной в центре фигуры S, являющимся минимумом функции и имеющим координаты 𝑥 1𝑠 = 0,25, 𝑥 2𝑠 = 1,75. Второе уравнение регрессии 𝑦 𝛾 = 40 + 4𝑥 1 + 18𝑥 2 + 5𝑥 2 2 , содержащее только один квадратичный член, к канонической форме не приводим из-за его простоты. |