эксперимент. введение. Учебное пособие Белгород 2020
 Скачать 0.95 Mb.
|
|
Продолжение прил. 2 Таблица 2 Матрица плана первого порядка типа 2 2 и результаты опытов № опыта x 0 x 1 x 2 Выходные параметры Производительность y Q , мм/мин Износ электрода y γ , % 1 + + + 9 67 2 + − + 21 59 3 + + − 31 31 4 + − − 59 23 Таблица 3 Результаты опытов в центре плана № опыта x 0 x 1 x 2 y Q y γ 1 + 0 0 21,3 41,5 2 + 0 0 23,5 38,2 3 + 0 0 19,8 40,1 4 + 0 0 16,4 43,3 5 + 0 0 19 37 Таблица 4 Результаты опытов в «звёздных» точках плана № опыта x 0 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 y Q y γ 1 + +1,41 0 2 0 17,9 45,64 2 + −1,41 0 2 0 46,1 34,36 3 + 0 +1,41 0 2 6,85 75,38 4 + 0 −1,41 0 2 49,15 24,62 Для графоаналитических исследований поверхности отклика принять ограничительный параметр по износу электрода-инструмента 50%. Принять достоверность статистической оценки результатов эксперимента 95%. 3. Задачи эксперимента и работы 3.1. Обработать результаты эксперимента первого порядка типа 2 2 для обеих выходных параметров Q и γ, в том числе: а) Вычислить коэффициенты линейного уравнения регрессии вида y=b 0 +b 1 x 1 + b 2 x 2 ; б) Определить значимость коэффициентов; в) Проверить адекватность математической модели. 3.2. Обработать результаты опытов центрального композиционного рототабельного униформ-планирования второго порядка для выходных параметров, в т.ч.: 43 Продолжение прил. 2 а) составить полный план эксперимента и уравнение регрессии в общем виде; б) вычислить коэффициенты квадратичной математической модели; в) определить значимость коэффициентов уравнения регрессии и уточнить исходную модель; г) проверить адекватность математической модели; д) раскодировать уравнение регрессии. 3.3. Используя графоаналитический метод двумерных совмещённых сечений поверхностей отклика [2], найти наибольшее и наименьшее значение производительности процесса электроэрозионной прошивки отверстий и соответствующие им режимы обработки, при которых износ электрода-инструмента составляет 50%. 3.4. Используя компьютерную программу Math CAD и полученные квадратичные математические модели построить трёхмерные графики зависимости Q=F 1 (Э,f); γ=F 2 (Э,f). На графиках выделить факторное пространство. По виду графиков сделать выводы, в т.ч.: а) наличие экстремумов функций в факторном пространстве и за его пределами; б) выделить точки наибольших и наименьших значений выходных параметров в факторном пространстве в) выделить точки экстремумов на поверхности отклика 44 Продолжение прил. 2 Основная часть 1. Обработка результатов эксперимента первого порядка В соответствии с заданием на первом этапе исследования был поставлен полный факторный эксперимент типа 2 2 . Уровни факторов и интервалы их варьирования даны в табл.1. Матрица плана эксперимента и результаты измерений выходных параметров y Q и y γ в соответствии с условиями задачи (табл.2) представлены ниже в табл.5. Таблица 5 № опыта x 0 x 1 x 2 y Q y γ 1 + + + 9 67 2 + − + 21 59 3 + + − 31 31 4 + − − 59 23 В качестве математической модели выбираем линейное уравнение регрессии вида: y=b 0 +b 1 x 1 +b 2 x 2 Определяем коэффициенты уравнения регрессии для параметра y Q : 𝑏 0 = 1 𝑁 ∑ 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 = 1 4 (9 + 21 + 31 + 59) = 30 𝑏 1 = 1 𝑁 ∑ 𝑥 1𝑗 ∙ 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 = 1 4 (9 − 21 + 31 − 59) = −10 𝑏 2 = 1 𝑁 ∑ 𝑥 2𝑗 ∙ 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 = 1 4 (9 + 21 − 31 − 59) = −15 После подстановки значений коэффициентов уравнение регрессии y Q приобретает вид: y Q =30-10x 1 -15x 2 . Для определения значимости коэффициентов используем результаты пяти параллельных опытов в центре плана (см. табл.3 исходных данных). При этом необходимые расчеты производим в следующей последовательности: 1) определяем среднеарифметическое значение параметра 𝑦 𝑄 ̅̅̅ = 1 𝑛 0 ∑ 𝑦 𝑄 𝑢 𝑛 0 𝑢=1 = 1 5 (21,3 + 23,5 + 19,8 + 16,4 + 19) = 20; Где n 0 =5 – число параллельных опытов в центре плана; 𝑦 𝑄 𝑢 - значение выходных параметров в u – том параллельном опыте. 2) определяем дисперсию 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } выходного параметра y Q : 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } = 1 𝑛 0 −1 ∑ (𝑦 𝑄 𝑢 − 𝑦 𝑄 ̅̅̅) 2 𝑛 0 𝑢=1 = = 1 5 − 1 [(21,3 − 20) 2 + (23,5 − 20) 2 + (19,8 − 20) 2 + (16,4 − 20) 2 + (19 − 20) 2 ] = 6,985 3) определяем среднеквадратичную ошибку в определении коэффициентов уравнения регрессии для y Q : 𝜎{𝑏 𝑖 } = +√ 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } 𝑁 = +√ 6,985 4 = 1,32; 45 Продолжение прил. 2 где N=4 – число основных опытов (число строк матрицы ПФЭ 2 2 - см. табл.2) 4) Определяем доверительный интервал коэффициентов уравнения регрессии для y Q : ∆𝑏 𝑖 = ±𝑡 ∙ 𝜎{𝑏 𝑖 } = ±2,78 ∙ 1,32 = 3,67 где t=2,78 – табличное значение t – критерия Стьюдента при 5%- ном уровне значимости и числе степеней свободы, с которым определялась дисперсия выходного параметра y Q : f=n 0 -1=5-1=4; (см. прил.3) 5) так как коэффициенты b 0 ,b 1 ,b 2 по абсолютной величине больше доверительного интервала ∆𝑏 𝑖 = 3,67, то все они являются статистически значимыми. Для проверки адекватности математической модели y Q =30-10x 1 -15x 2 находим дисперсию адекватности: 𝜎 ад 2 = ∑ (𝑦 𝑄𝑗 − 𝑦 𝑄𝑗 ̂ ) 2 𝑁 𝑗=1 𝑓 , где 𝑦 𝑄𝑗 - экспериментальные значения параметра 𝑦 𝑄 в j-том опыте, 𝑦 𝑄𝑗 ̂ – расчетное значение параметра, вычисленное по полученному уравнению регрессии; f – число степеней свободы: f=N-k ’ =4-3=1, где k ’ =3-число значимых коэффициентов уравнения регрессии. Для расчёта дисперсии адекватности составим вспомогательную табл. 6. Таблица 6 № опыта x 1 x 2 Эксп. 𝑦 𝑄𝑗 Расчёт 𝑦 𝑄𝑗 ̂ = 30 − 10x 1 − 15x 2 (𝑦 𝑄𝑗 − 𝑦 𝑄𝑗 ̂ ) 2 1 + + 9 𝑦 𝑄1 ̂ = 30 − 10(+1) − 15(+1) = 5 16 2 − + 21 𝑦 𝑄2 ̂ = 30 − 10(−1) − 15(+1) = 25 16 3 + − 31 𝑦 𝑄3 ̂ = 30 − 10(+1) − 15(−1) = 35 16 4 − − 59 𝑦 𝑄4 ̂ = 30 − 10(−1) − 15(−1) = 55 16 ∑ (𝑦 𝑄𝑗 − 𝑦 𝑄𝑗 ̂ ) 2 4 𝑗=1 = 64 Тогда: 𝜎 ад 2 = ∑ (𝑦 𝑄𝑗 − 𝑦 𝑄𝑗 ̂ ) 2 𝑁 𝑗=1 𝑓 = 64 1 = 64 Проверку гипотезы адекватности модели производим по F – критерию Фишера. Для этого находим расчётное значение критерия: 𝐹 р = 𝜎 ад 2 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } = 64 6,985 = 9.16 При 5% - ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя, имеющего большую дисперсию, f 1 =N-k ’ =4-3=1 и для знаменателя с меньшей дисперсией – f 2 =n 0 -1=5-1=4, табличное значение критерия F т =7,7 (см. прил. 4). Так как F р > F т , то полученная модель в виде 46 Продолжение прил. 2 линейного полинома неадекватна и не может быть с достаточной точностью представлять исследуемую зависимость. Аналогичные расчёты производим для параметра y γ В соответствии с данными табл.5 определяем коэффициенты уравнения регрессии для параметра y γ : 𝑏 0 = 1 𝑁 ∑ 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 = 1 4 (67 + 59 + 31 + 23) = 45 𝑏 1 = 1 𝑁 ∑ 𝑥 1𝑗 ∙ 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 = 1 4 (67 − 59 + 31 − 23) = 4 𝑏 2 = 1 𝑁 ∑ 𝑥 2𝑗 ∙ 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 = 1 4 (67 + 59 − 31 − 23) = 18 Откуда уравнение регрессии для y γ будет иметь вид: y γ =45+4x 1 +18x 2 . По n 0 =5 параллельным опытам в центре плана (табл.3) определяем среднеарифметическое значение параметра: 𝑦 𝛾 ̅̅̅ = 1 𝑛 0 ∑ 𝑦 𝛾 𝑢 𝑛 0 𝑢=1 = 1 5 (41,5 + 38,2 + 40,1 + 43,3 + 37) = 40; Определяем дисперсию 𝜎 2 {𝑦 𝛾 } параметра 𝑦 𝛾 : 𝜎 2 {𝑦 𝛾 } = 1 𝑛 0 −1 ∑ (𝑦 𝛾 𝑢 − 𝑦 𝛾 ̅̅̅) 2 𝑛 0 𝑢=1 = = 1 5 − 1 [(41,5 − 40) 2 + (38,2 − 40) 2 + (40,1 − 40) 2 + (43,3 − 40) 2 + (37 − 40) 2 ] = 6,3475 Определяем среднеквадратичную ошибку в определении коэффициентов уравнения регрессии для y γ : 𝜎{𝑏 𝑖 } = +√ 𝜎 2 {𝑦 𝛾 } 𝑁 = +√ 6,3475 4 = 1,26; Определяем доверительный интервал коэффициентов уравнения регрессии для y γ : ∆𝑏 𝑖 = ±𝑡 ∙ 𝜎{𝑏 𝑖 } = ±2.78 ∙ 1,26 = 3,5 Все коэффициенты b 0 ,b 1 ,b 2 больше доверительного интервала, следовательно их можно признать статистически значимыми. Для расчёта дисперсии адекватности для 𝑦 𝛾 составим вспомогательную табл. 7. Таблица 7 № опыта x 1 x 2 Эксп. 𝑦 𝛾𝑗 Расчёт 𝑦 𝛾𝑗 ̂ = 45 + 4x 1 + 18x 2 (𝑦 𝛾𝑗 − 𝑦 𝛾𝑗 ̂ ) 2 1 + + 67 𝑦 𝛾1 ̂ = 45 + 4(+1) + 18(+1) = 67 0 2 - + 59 𝑦 𝛾2 ̂ = 45 + 4(−1) + 18(+1) = 59 0 3 + - 31 𝑦 𝛾3 ̂ = 45 + 4(+1) + 18(−1) = 31 0 4 - - 23 𝑦 𝛾4 ̂ = 45 + 4(−1) + 18(−1) = 23 0 Следовательно, дисперсия адекватности 𝜎 ад 2 = ∑ (𝑦 𝛾𝑗 −𝑦 𝛾𝑗 ̂ ) 2 𝑁 𝑗=1 𝑁−𝑘 ′ = 0 4−3 = 0 Соответственно расчётное значение F – критерия Фишера: 47 Продолжение прил. 2 𝐹 р = 𝜎 ад 2 𝜎 2 {𝑦 𝛾 } = 0 6,3475 = 0. При 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для большей дисперсии (знаменатель) f 1 =n 0 -1=5-1=4 и для меньшей дисперсии (числитель) f 2 =N-k ’ =4-3=1, табличное значение критерия F т =224,6 (см. прил. 4). Так как F р << F т , то полученная модель адекватна. Для проверки точности модели в других точках факторного пространства используем центр плана: x 1 =x 2 =0. Расчётное значение выходного параметра в центре плана: 𝑦 𝛾 0 ̅̅̅̅ = 45 + 4 ∙ 0 + 18 ∙ 0 = 45 = 𝑏 0 Экспериментальное значение параметра 𝑦 𝛾 в центре плана равно среднеарифметическому значению параметра по результатам пяти параллельных опытов в центре плана 𝑦 𝛾 0 = 𝑦 𝛾 ̅̅̅ = 40. Тогда разность между b 0 и значением 𝑦 𝛾 в центре плана: 𝑏 0 − 𝑦 𝛾 ̅̅̅ = 5 > 𝜎{𝑦 𝛾 } = 2,52, то есть полученная модель не высокой точности. Таким образом, для параметра 𝑦 𝛾 получили адекватную по F – критерию математическую модель, но не высокой точности в точках факторного пространства близких к центру плана. 2. Обработка результатов опытов центрального композиционного рототабельного униформ-планирования второго порядка. Для получения адекватных моделей высокой точности во всех точках факторного пространства функции отклика 𝑦 𝑄 и 𝑦 𝛾 аппроксимируем полиномами второго порядка вида: y=b 0 +b 1 x 1 + b 2 x 2 +b 12 x 1 x 2 + b 11 x 1 2 + b 22 x 2 2 С этой целью поставили эксперимент по программе центрального композиционного рототабельного плана второго порядка. Величина «звёздного» плеча для числа факторов k=2 равна α=1,414. Реализованные 4 опыта ПФЭ типа 2 2 были дополнены четырьмя опытами в «звёздных» точках n α =2k=2·2=4 (см. табл. 4 задания) и пятью опытами в центре плана (табл. 3 задания). Тогда матрица рототабельного униформ-планирования будет иметь следующий вид: Таблица 8 № опыта x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 y Q y γ Содержание плана 1 2 3 4 + + + + + − + − + + − − + − − + + + + + + + + + 9 21 31 59 67 59 31 23 Ядро плана- -ПФЭ 2 2 5 6 7 8 + + + + +1,414 −1,414 0 0 0 0 +1,414 −1,414 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 17,9 46,1 6,85 49,15 45,64 34,36 75,38 24,62 Опыт в «звёздных» точках с плечом α=1,414 9 10 11 12 13 + + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21,3 23,5 19,8 16,4 19 41,5 38,2 40,1 43,3 37 Опыт в нулевой точке (в центре плана) 48 Продолжение прил. 2 2.1. Вычисления для параметра 𝑦 𝑄 - производительность процесса Определяем коэффициенты квадратичного полинома b 0 , b 1 , b 2, b 12 , b 11 , b 22 : Свободный член уравнения регрессии: 𝑏 0 = 𝐴 𝑁 [2𝜆 2 (𝑘 + 2) ∑ 𝑦 𝑄𝑗 𝑁 𝑗=1 − 2𝜆с ∑ ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑦 𝑄𝑗 𝑁 𝑗=1 𝐾 𝑖=1 ] Здесь A, λ, с – константы, табличные значения которых для k=2 и «ядра» плана в виде ПФЭ 2 2 имеют значения: А=0,492; λ=0,8125; с=1,625 [2]. N=13 – общее число опытов; 𝑦 𝑄𝑖 - экспериментальные значения параметра 𝑦 𝑄 по всем 13 опытам; 𝑥 𝑖𝑗 2 - значения элементов столбцов x 1 2 и x 2 2 . После подстановки числовых значений имеем: 𝑏 0 = 0,492 13 ∙ [2·0,8125 2 ·4·(9+21+31+59+17,9+46,1+6,85+49,15+21,3+23,5+19,8+16,4+ +19)-2·0,8125·1,625·(9+21+31+59+2·17,9+2·46,1+9+21+31+59+ +2·6,85+2·49,15)]=19,9875 Коэффициенты при линейных членах: 𝑏 1 = 𝐶 𝑁 ∑ 𝑥 1𝑗 𝑦 𝑄𝑗 = 1,625 13 (9 − 21 + 31 − 59 + 1,41 ∙ 17,9 − 1,41 ∙ 46,1) 𝑁=13 𝑗=1 = −9,97 𝑏 2 = 𝐶 𝑁 ∑ 𝑥 2𝑗 𝑦 𝑄𝑗 = 1,625 13 (9 + 21 − 31 − 59 + 1,41 ∙ 6,85 − 1,41 ∙ 49,15) 𝑁=13 𝑗=1 = −14,95 Коэффициенты при парных взаимодействиях: 𝑏 12 = 𝐶 2 𝑁𝜆 ∑ 𝑥 1𝑗 𝑥 2𝑗 𝑦 𝑄𝑗 = 1,625 2 13∗0,8125 (9 − 21 − 31 + 59) 𝑁=13 𝑗=1 = 4 Коэффициенты при квадратичных членах: 𝑏 11 = 𝐴 𝑁 {C 2 [(k+2)λ-k]∑ 𝑥 1𝑗 2 𝑦 𝑄𝑗 𝑁=13 𝑗=1 + C 2 (1-λ)∑ ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑁=13 𝑗=1 𝑘=2 𝑖=1 𝑦 𝑄𝑗 -2λC· ∙ ∑ 𝑦 𝑄𝑗 𝑁=13 𝑗=1 }= 0.492 13 {1,625 2 [(2+2)·0,8125-2]·(9+21+31+59+2·17,9+2·46,1)+ +1,625 2 ·(1-0,8125)· ·(9+21+31+59+2·17,9+2·46,1+9+21+31+59+2·6,85+2·49,15)- -2·0,8125·1,625· ·(9+21+31+59+17,9+46,1+6,85+49,15+21,3+23,5+19,8+16,4+19)}=5,996 𝑏 22 = 𝐴 𝑁 {C 2 [(k+2)λ-k]∑ 𝑥 2𝑗 2 𝑦 𝑄𝑗 𝑁=13 𝑗=1 + C 2 (1-λ)∑ ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑁=13 𝑗=1 𝑘=2 𝑖=1 𝑦 𝑄𝑗 -2λC· ∙ ∑ 𝑦 𝑄𝑗 𝑁=13 𝑗=1 }= 0,492 13 {1,625 2 [(2+2)·0,8125-2]·(9+21+31+59+2·6,85+2·49,15)+ +1,625 2 ·(1-0,8125)· ·(9+21+31+59+2*17,9+2·46,1+9+21+31+59+2·6,85+2·49,15)- -2·0,8125·1,625· ·(9+21+31+59+17,9+46,1+6,85+49,15+21,3+23,5+19,8+16,4+19)}=3,9975 Дисперсия 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } выходного параметра 𝑦 𝑄 была определена по результатам 5 опытов N№ 9…13 в центре плана и составила 𝜎 2 {𝑦 𝑄 }=6,985 (см. подраздел 1). Определяем дисперсии коэффициентов уравнения регрессии для параметра 𝑦 𝑄 : 49 Продолжение прил. 2 Дисперсия свободного члена: 𝜎 2 {𝑏 0 } = 2𝐴𝜆 2 (𝑘 + 2) 𝑁 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } = 2 ∙ 0,492 ∙ 0,8125 2 (2 + 2) 13 ∙ 6,985 = 1,396 Дисперсия коэффициентов при линейных членах: 𝜎 2 {𝑏 𝑖 } = 𝐶 𝑁 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } = 1,625 13 ∙ 6,985 = 0,873 Дисперсия коэффициентов при парных взаимодействиях: 𝜎 2 {𝑏 𝑖𝑙 } = 𝐶 2 𝜆𝑁 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } = 1,625 2 13 ∗ 0,8125 ∙ 6,985 = 1,746 Дисперсия коэффициентов при квадратичных членах: 𝜎 2 {𝑏 𝑖𝑖 } = 𝐴𝐶 2 [(𝑘+1)𝜆−(𝑘−1)] 𝑁 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } = 0,492∗1,625 2 [(2+1)0,8125−(2−1)] 13 6,985=1,003 Среднеквадратичные ошибки в определении коэффициентов уравнения регрессии для 𝑦 𝑄 : 𝜎{𝑏 0 } = √𝜎 2 {𝑏 0 } = √1,396 = 1,1815; 𝜎{𝑏 𝑖 } = √0,873 = 0,9343; 𝜎{𝑏 𝑖𝑙 } = √1,746 = 1,3214; 𝜎{𝑏 𝑖𝑖 } = √1,003 = 1,0015; Определяем доверительные интервалы для коэффициентов: ∆𝑏 0 = 𝑡𝜎{𝑏 0 } = 2,78 ∙ 1,1815 = 3,2846; ∆𝑏 𝑖 = 𝑡𝜎{𝑏 𝑖 } = 2,78 ∙ 0,9343 = 2,597; ∆𝑏 𝑖𝑙 = 𝑡𝜎{𝑏 𝑖𝑙 } = 2,78 ∙ 1,3214 = 3,673; ∆𝑏 𝑖𝑖 = 𝑡𝜎{𝑏 𝑖𝑖 } = 2,78 ∙ 1,0015 = 2,784; где t=2,78 – табличное значение - критерия Стьюдента при 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы f=n 0 -1=5-1=4 [2]. Так как все коэффициенты уравнения регрессии по абсолютной величине больше своих доверительных интервалов: 𝑏 0 = 19,9875 > ∆𝑏 0 = 3,2846; |𝑏 1 | = 9,97 > ∆𝑏 𝑖 = 2,597; |𝑏 2 | = 14,95 > ∆𝑏 𝑖 = 2,597; 𝑏 12 = 4 > ∆𝑏 𝑖𝑙 = 3,673; 𝑏 11 = 5,996 > ∆𝑏 𝑖𝑖 = 2,784; 𝑏 22 = 3,9975 > ∆𝑏 𝑖𝑖 = 2,784, то они значимы и уравнение регрессии, полученное в результате рототабельного планирования второго порядка примет вид: 𝑦 𝑄 = 199875 − 9,97𝑥 1 − 14,95𝑥 2 + 4𝑥 1 𝑥 2 + 5,996𝑥 1 2 + 3,9975𝑥 2 2 Адекватность полученной модели проверяем с помощью F-критерия: 𝐹 р = 𝜎 ад 2 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } , где 𝜎 ад 2 -дисперсия адекватности; 𝜎 2 {𝑦 𝑄 } = 6,985 - дисперсия выходного параметра 𝑦 𝑄 (см. подраздел 1) |