эксперимент. введение. Учебное пособие Белгород 2020
 Скачать 0.95 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова А.Ф. Бойко, М.Н. Воронкова Теория планирования многофакторных экспериментов Учебное пособие Белгород 2020 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова А.Ф. Бойко, М.Н. Воронкова Теория планирования многофакторных экспериментов Утверждено ученым советом университета в качестве учебного пособия для студентов направления бакалавриата 15.03.05 – Конструкторско- технологическое обеспечение машиностроительных производств, 15.03.01 – Машиностроение, специальности 15.05.01 – Проектирование технологических машин и комплексов и магистратуры 15.04.05 – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств Белгород 2020 УДК 001.5:621 ББК 72.4 Б 77 Рецензенты: Кандидат технических наук, технический директор ООО «Регион Ресурс», А.Д.Короп Кандидат технических наук, доцент Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова Д.В. Карпачев Б 77 Бойко, А.Ф. Теорияпланирования многофакторных экспериментов: учеб. пособие / А.Ф. Бойко, М.Н. Воронкова. – Белгород: Изд-во БГТУ, 2020. – 75 с. В учебном пособии изложены краткие сведения о регрессионном анализе, рототабельном униформ-планировании эксперимента и графоаналитическом методе поиска условного оптимума. Рассмотрены порядок и правила выполнения практических работ и расчетно-графического задания, даны рекомендации по структуре и содержанию расчётно-пояснительной записки и графической части работы, представлен пример выполнения расчетно-графического задания, перечень вариантов заданий работ и необходимый справочный материал. Учебное пособие предназначено для студентов направления бакалавриата 15.03.05 – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств, 15.03.01 – Машиностроение, специальности 15.05.01 – Проектирование технологических машин и комплексов и магистратуры 15.04.05 – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств. Издание публикуется в авторской редакции. УДК 001.5:621 ББК 72.4 Белгородский государственный технологический университет (БГТУ) им. В. Г. Шухова, 2020 3 Введение Под экспериментом понимают совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение. Опыт – это отдельная экспериментальная часть. План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов. Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления. В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами. Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности. 4 1. Цель расчетно-графического задания Выполнение расчетно-графического задания является важным этапом подготовки студентов к самостоятельной научно-исследовательской и инженерной работе и имеет своей целью: закрепить и углубить полученные студентом теоретические знания; развить способность студентов правильно планировать, проводить и обрабатывать результаты эксперимента с применением методов математической статистики; приобрести навык выбора уровней и интервалов варьирования факторов, построения матриц планирования экспериментов первого и второго порядка, составления уравнений регрессий линейного и квадратичного типов, вычисления коэффициентов математических моделей и определения их значимости, проверки адекватности моделей, раскодирования уравнений регрессии; показать умение применять полученные теоретические знания к решению практических задач поиска условного оптимума на примере двухфакторного процесса с двумя выходными параметрами с использованием графоаналитического метода двумерных совмещённых сечений поверхностей отклика; показать способность построения поверхностей отклика, умение выделить границы факторного пространства в кодированном и натуральном виде, найти экстремальные точки на поверхности отклика; показать умение использовать техническую литературу, нормативно-справочные материалы, компьютерные программы. За принятые в РГЗ научно-технические решения, правильность и обоснованность приводимых расчётов, оформление и содержание работы несёт ответственность студент. На основании качества выполнения, соблюдения установленных сроков, уровня защиты РГЗ, определяется его оценка. 2. Структура и содержание составных частей РГЗ РГЗ по дисциплине «Теория планирования многофакторынх экспериментов» выполняется по индивидуальному заданию под руководством преподават еля дисциплины. Варианты задания представлены в прил. 1. Тема РГЗ: «Рототабельное планирование второго порядка с разработкой математических моделей и оптимизацией двухфакторного процесса с двумя выходными параметрами». Объём работы 25-30 листов рукописного или оформленного на компьютере текста. Текст наносится на одной стороне листа белой бумаги формата А4 шрифтом 14 с полуторным межстрочным интервалом (текстовый процессор Microsoft Word 2003(2007), шрифт Times New Roman). Размеры полей страниц: верхних и 5 нижних – 20мм, правых – 10мм, левых – 20-30мм. Отбивка заголовка три интервала. Нумерация листов – сквозная. Первым листом является титульный лист, но на нем номер листа не ставится. На следующем листе «Содержание» проставляется цифра 2 и т.д., включая список литературы. Всё оформление РГЗ должно соответствовать общим требованиям к текстовым документам по ГОСТ 2.105-95. РГЗ включает в себя: титульный лист; содержание; введение; основную часть; список литературы. Титульный лист оформляется по образцу, показанному на первом листе прил. 2. Титульный лист подписывается руководителем по окончании выполнения всего объема РГЗ, что даёт право на защиту работы. В содержании последовательно перечисляют заголовки разделов и указывают номера страниц, на которых они помещены. Пример оформления содержания приведён на втором листе прил. 2. Введение состоит из следующих подразделов: описание эксперимента; исходные данные и результаты измерений в эксперименте; задачи эксперимента и работы. При описании эксперимента (подраздел 1) указаны направления исследований, используемые оборудование и инструменты, рабочая среда, источник технологического тока, измерительные средства, входные и выходные параметры процесса электроэрозионной прошивки отверстий и методика их измерений. Исходные данные и результаты измерений в эксперименте (подраздел 2) представлены в виде четырёх таблиц, взятых из прил. 1. При этом номер варианта задания должен соответствовать номеру студента по журналу посещаемости. Дублирование заданий не допускается. В этом же подразделе даётся ограничительный параметр по износу электрода- инструмента и достоверность (доверительная вероятность) статистической оценки результатов эксперимента. В подразделе 3 введения ставятся задачи эксперимента и работы в целом, в том числе: по обработке результатов эксперимента первого порядка; по обработке результатов опыта центрального композиционного рототабельного униформ-планирования второго порядка; по отысканию условного оптимума по производительности процесса при ограничении по второму выходному параметру – износу электрода-инструмента; 6 по построению и анализу трёхмерных графиков зависимости производительности электроэрозионной прошивки отверстий и износа электрода-инструмента от энергии и частоты импульсов тока. Пример оформления введения даётся в прил. 2. Основная часть РГЗ состоит из следующих подразделов: обработка результатов эксперимента первого порядка; обработка результатов опыта центрального композиционного рототабельного униформ - планирования второго порядка; поиск и исследование области оптимума с помощью графоаналитического метода двумерных совмещённых сечений поверхности отклика; построение и анализ графиков. При обработке результатов эксперимента первого порядка для обоих выходных параметров, определяются коэффициенты линейных уравнений регрессии, их значимость, проверяется адекватность полученных математических моделей. При статистической обработке результатов рототабельных планов второго порядка также для обоих выходных параметров (производительность процесса и износ электрода-инструмента) определяют для квадратичных математических моделей коэффициенты регрессий, их значимость, проверяется адекватность полученных математических моделей, производится раскодирование уравнений регрессии, проверяется правильность раскодирования. Поиск и исследование области оптимума выходного параметра – производительности процесса, при ограничении по другому выходному параметру – износу электрода-инструмента, производится с помощью графоаналитического метода двумерных совмещённых сечений поверхности отклика. В литературе эту задачу иногда называют поиском условного оптимума. Решение задачи осуществляется в следующей последовательности. Уравнение регрессии, содержащее два квадратичных члена и член с эффектом взаимодействия (в данной работе это модель производительности процесса) приводят к канонической форме, геометрическим образом которой является эллиптический параболоид. Уравнение регрессии второго выходного параметра (износ электрода- инструмента) к канонической форме не приводят из-за его простоты. В найденные при каноническом преобразовании координаты центра параболоида переносятся и поворачиваются на расчётный угол исходные оси координат. Результаты алгебраических преобразований отображают графически на рисунке (см. прил.2), в том числе изображают исходную координатную систему с кодированными и натуральными размерными осями, границу факторного пространства, показывают положение новой системы координат. Затем рассчитывают и строят на графике линию равного отклика, полученной из уравнения регрессии износа и заданного 7 условием задачи ограничения по износу электрода-инструмента. В факторном пространстве эта линия представляет отрезок параболы. Далее, в соответствии с методикой, изложенной в прил. 2 находят наибольшее и наименьшее значение производительности, при которых износ электрода- инструмента равен заданному. Для наглядности полученных результатов на вышеописанном графике строят две линии равного отклика функции производительности, соответствующие наибольшей и наименьшей производительности. На графике эти линии представляют собой части эллипса. Особое внимание следует обратить на тщательность вычислений при определении координат точки касания малого эллипса и параболы, в том числе при дифференцировании уравнений регрессии и вычислении корней кубического уравнения по формулам Кордано. В четвёртом подразделе производится построение и анализ трёхмерных графиков функций производительности электроэрозионной прошивки отверстий и износа электрода-инструмента. При этом функции представляются в раскодированном (натуральном) виде, выбирают интервалы варьирования факторов и шаги вычислений. Интервалы варьирования выбирают такими, чтобы в расширенном факторном пространстве оказалась вершина параболоида, представляющего собой поверхность отклика, функции производительности. В прил.2 представлен типичный анализ графиков, являющихся поверхностями откликов функций выходных параметров производительности процесса и износа электрода- инструмента. Список литературы использованный в РГЗ составляют по правилам библиографии: фамилия и инициалы автора, название источника, место и год издания. Использованную литературу в списке следует располагать в порядке появления ссылок в тексте или в алфавитном порядке. Ссылка в тексте оформляется в виде квадратных скобок, в которых проставляется порядковый номер источника по списку литературы. 3. Порядок выполнения и защиты РГЗ Сроки начала и окончания РГЗ определяются учебным планом. Общий срок выполнения работы планируется в пределах шестнадцати недель. Контрольные сроки выполнения основных этапов работы и дата защиты устанавливаются кафедрой (см. табл.1) 8 Таблица 1 Примерный график выполнения этапов РГЗ № п/п Наименование работ Объём этапа, в % Неделя с начала семестра 1. 2. 3. 4. 5. 6. Анализ исходных данных, изучение сущности эксперимента и поставленных задач Обработка результатов эксперимента первого порядка Обработка результатов опытов рототабельного плана второго порядка Поиск и исследование области оптимума графоаналитическим методом Построение и анализ графиков Окончательное оформление работы 5 10 30 40 5 10 1 неделя 2-3 неделя 3-7 неделя 8-14 неделя 15 неделя 16 неделя Успешное выполнение РГЗ обеспечивается систематической работой студента, строгим соблюдением графика работы, регулярностью консультаций у руководителя. Законченная и подписанная студентом работа представляется для просмотра и защиты руководителю. Если работа выполнена не в соответствии с заданием или на низком уровне, руководитель имеет право возвратить её студенту на доработку и производить приёмку работы только после устранения всех недостатков. При защите РГЗ студенту задаются вопросы как по существу выполненной работы, так и по различным разделам курса, на базе которых выполняется работа. При определении дифференцированной оценки за работу учитывается: 1. Знание студентом особенностей планирования экспериментов первого и второго порядка. 2. Умение строить матрицы планирования первого и второго порядка. 3. Знание линейных и квадратичных математических моделей, используемых при аппроксимации выходного параметра процесса. 4. Умение определять коэффициенты уравнений регрессии и оценивать их значимость. 5. Умение производить статистическую оценку адекватности модели, вычислять дисперсии выходного параметра. 6. Знание способов раскодирования уравнений регрессии. 7. Знание графоаналитического метода двумерных совмещённых сечений поверхностей отклика для поиска условного оптимума. 8. Качество оформления РГЗ в соответствии с вышеизложенными требованиями. 9 9. Своевременность получения задания, регулярность консультирования и соблюдение графика выполнения работы. 4. Краткие сведения о регрессионном анализе, рототабельном униформ-планировании эксперимента и графоаналитическом методе поиска условного оптимума В основе теории планирования многофакторного эксперимента, используемой в данном пособии, лежат методы математической статистики, важнейшим из которых является регрессивный анализ. Основы метода были разработаны Лежандром и Гауссом. Регрессивный анализ базируется на следующих положениях: – совокупность измерений выходного параметра, полученная в параллельных опытах при каждом сочетании значений факторов, представляет собой статический ряд случайных величин с нормальным законом распределения; – дисперсия воспроизводимости опыта, как характеристика нормального закона распределения случайной величины, не зависит от абсолютного значения выходного параметра и не может существенно отличаться в разных точках факторного пространства; проверяется это с помощью критерия однородности дисперсий, полученных при каждом сочетании значений факторов; – значения факторов – неслучайные величины, так как установление факторов на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем определение зависимого переменного выходного параметра; тип уравнения регрессии приближенно известен и может быть представлен или приведен путем преобразования у виду: линейная функция или нелинейный полином первой степени или квадратичная функция; – наиболее точный и простой метод определения коэффициентов уравнения регрессии – метод наименьших квадратов. Таким образом, регрессивный анализ решает следующие основные задачи: – проверка однородности дисперсии, полученных в параллельных опытах факторного пространства; – определение коэффициентов математической модели, представляющей собой искомое уравнение регрессии; – проверка значимости коэффициентов модели; – проверка гипотезы адекватности модели. В данном пособии в качестве плана эксперимента используется рототабельный центральный композиционный план второго порядка, который часто используется в машиностроении для получения высокоточных математических моделей взаимозависимости исследуемых параметров процесса, а так же для отыскания их оптимальных, в том числе экстремальных значений. Исследователь, начиная эксперимент, чаще всего не знает какое направление будет представлять преимущественный 10 интерес. В этом случае, когда нет достоверной информации об ориентации поверхности отклика (геометрического образа уравнения регрессии), наиболее разумным является использование рототабельных центральных композиционных планов, то есть планов, позволяющих получить модель, способную предсказать (рассчитать) значение выходного параметра с одинаковой точностью независимо от направления на равных расстояниях от центра плана. Используемый в пособии двухфакторный рототабельный центральный композиционный план может быть представлен следующей схемой факторного пространства (рис. 1). Рис. 1. Схема двухфакторного пространства рототабельный центрального композиционного плана эксперимента (Х 1 и Х 2 – оси кодированных факторов; α=1,41 – «звездные» точки) Изображенная схема факторного пространства получается достройкой схемы полифакторного эксперимента («ядра») типа 2 2 (точки 1, 2, 3, 4) некоторым количеством опытов в центре плана (точка 9) и четырьмя «звездными» точками 5, 6, 7, 8 с величиной «звездного» плеча α=2 k/4 =2 2/4 =1.41, где k=2 – числу факторов. Число опытов «ядра» n я = 2 k =2 2 =4. Число опытов в «звездных» точках n α =2k=2∙2=4. Число опытов n 0 =5 в центре плана выбирается таким, что бы обеспечивалось так называемое униформ-планирование, которое возможно, если некоторая константа λ не превышает единицы (немного меньше ее): 𝜆 = 𝑘∙𝑁 (𝑘+2)(𝑁−𝑛 0 ) , где N= n я + n α + n 0 – общее число опытов; в нашем случае N = 4+4+5=13. 11 Тогда матрица рототабельного униформ-планирования для числа факторов k=2 будет иметь вид: № опыта Х 0 Х 1 Х 2 Х 1 Х 2 Х 1 2 Х 2 2 Y 1 2 3 4 + + + + + - + - + + - - + - - + + + + + + + + + Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 5 6 7 8 + + + + +1.4 1 -1.41 0 0 0 0 +1.4 1 -1.41 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 9 10 11 12 13 + + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y 9 Y 10 Y 11 Y 12 Y 13 Здесь Х 0 =+1 – условный фактор при свободном члене уравнения регрессии; Х 1 , Х 2 – кодированные значения факторов; Y 1 , Y 2 … Y 13 – натуральные значения выходного параметра, полученные в 13-ти опытах. В общем случае уравнение регрессии рототабельного плана представляет собой квадратичную модель вида: 𝑦 = 𝑏 0 + ∑ 𝑏 𝑖 𝑥 𝑖 + ∑ 𝑏 𝑖𝑙 𝑥 𝑖 𝑥 𝑙 + ∑ 𝑏 𝑖𝑖 𝑥 𝑖 2 𝑘 𝑖=1 1≤𝑖<𝑙≤𝑘 𝑘 𝑖=1 , где y – натуральное значение выходного параметра; x i , x l – кодированные значения факторов; i и l – номера факторов; k – число факторов; b 0 – свободный член уравнения регрессии; b i – коэффициенты при линейных членах регрессии; b il – коэффициенты при парных взаимодействиях; b ii – коэффициенты при квадратных членах. Так как матрицы рототабельного планирования эксперимента не ортогональны, то коэффициенты уравнения регрессии определяют по формулам: 𝑏 0 = 𝐴 𝑁 [2𝜆 2 (𝑘 + 2) ∑ 𝑦 𝑗 − 2𝜆𝑐 ∑ ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 𝑁 𝑗=1 ]; 𝑏 𝑖 = 𝐶 𝑁 ∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝑁 𝑗=1 ; 𝑏 𝑖𝑙 = 𝐶 2 𝑁𝜆 ∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝑥 𝑙𝑗 𝑦 𝑖 𝑁 𝑗=1 ; 𝑏 𝑖𝑖 = 𝐴 𝑁 {𝐶 2 [(𝑘 + 2)𝜆 − 𝑘] ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 + 𝐶 2 (1 − 𝜆) ∑ ∑ 𝑥 𝑖𝑗 2 𝑦 𝑖 𝑁 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 − 2𝜆𝐶 ∑ 𝑦 𝑗 𝑁 𝑗=1 }, где j – номер опыта; 12 y j – натуральное значение выходного параметра в j-том опыте; Х ij , Х lj – кодированные значения i-того и l-того факторов в j-том опыте. Константы λ, А, С для числа факторов k=2 равны: λ=0,8125; А=0,492; С=1,625. После вычисления коэффициентов регрессии определяют их значимость. Для этого находят дисперсии и доверительные интервалы коэффициентов. Для рототабельных планов дисперсию коэффициентов находят по формулам: 𝜎 2 {𝑏 0 } = 2𝐴𝜆(𝑘+2) 𝑁 𝜎 𝑦 2 ; 𝜎 2 {𝑏 𝑖 } = 𝐶 𝑁 𝜎 𝑦 2 ; 𝜎 2 {𝑏 𝑖𝑙 } = 𝐶 2 𝜆∙𝑁 𝜎 𝑦 2 ; 𝜎 2 {𝑏 𝑖𝑖 } = 𝐴𝐶 2 [(𝑘+1)𝜆−(𝑘−1)] 𝑁 𝜎 𝑦 2 , где σ у 2 – дисперсия выходного параметра (дисперсия воспроизводимости эксперимента); определяется по результатам параллельных опытов в центре плана; 𝜎 𝑦 2 = 1 𝑛 0 −1 ∑ (𝑦 𝑢 − 𝑦 0 ) 2 𝑛 0 𝑢=1 , где n 0 – число параллельных опытов в центре плана(для числа факторов k=2 n 0 =5); y u – значение выходного параметра в u-том опыте; 𝑦 0 - среднее значение выходного параметра в n 0 опытах; u – номер параллельного опыта в центре плана. Доверительные интервалы для коэффициентов находят по формулам: Δ 𝑏 0 = ±𝑡𝜎{𝑏 0 }; Δ𝑏 𝑖 = ±𝑡𝜎{𝑏 𝑖 }; Δ𝑏 𝑖𝑙 = ±𝑡𝜎{𝑏 𝑖𝑙 }; Δ𝑏 𝑖𝑖 = ±𝑡𝜎{𝑏 𝑖𝑖 }; где 𝜎{𝑏} = √𝜎 2 {𝑏} – ошибка в определении коэффициента; t – критерий Стьюдента, определяемый по таблице (прил. 3) для принятой доверительной вероятности (обычно 0,95) и числа степеней свободы t=n 0 -1. Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше его доверительного интервала:| 𝑏| > ∆𝑏. Исключив из уравнения регрессии члены с незначительными коэффициентами, получают математическую модель. Однако, если среди незначимых коэффициентов оказывались коэффициенты при квадратных членах, то коэффициенты полученного уравнения пересчитывают с использованием метода наименьших квадратов. Методика пересчета подробно изложена в работе [2] и практическая ее реализация дается в разделе 2 прил. 2 настоящего пособия. После пересчета коэффициентов и корректировки математической модели, проверяют адекватность модели по F – критерию Фишера. Расчетное значение критерия: 𝐹 𝑝 = 𝜎 ад 2 𝜎 𝑦 2 Дисперсия адекватности 𝜎 ад 2 определяется по формуле: 𝜎 ад 2 = 𝑆 𝑅 −𝑆 𝐸 𝑓 1 , где f 1 =N-k`-(n 0 -1) – число степеней свободы (N – общее число опытов; 13 k` - число статистически значимых коэффициентов регрессии; n 0 – число опытов в центре плана); S R – сумма квадратов отклонений расчетных 𝑦̂ 𝑗 значений выходного параметра от экспериментальных 𝑦 𝑗 : 𝑆 𝑅 = ∑(𝑦 𝑗 − 𝑦̂ 𝑗 ) 2 𝑁 𝑗=1 S E – сумма квадратов отклонений экспериментальных значений выходного параметра 𝑦 𝑢 от его среднего значения 𝑦 0 в n 0 параллельных опытах в центре плана (u – номер параллельного опыта): 𝑆 𝐸 = ∑(𝑦 𝑢 − 𝑦 0 ) 2 𝑛 0 𝑢=1 𝜎 𝑦 2 - дисперсия выходного параметра, определяемая по результатам n 0 опытов в центре плана: 𝜎 𝑦 2 = 𝑆 𝐸 𝑓 2 , где 𝑓 2 = n 0 -1 – число степеней свободы при определении 𝜎 𝑦 2 Далее расчетное значение F-критерия F P сравнивают с табличным F T , определяемому по числу степеней свободы, 𝑓 1 и 𝑓 2 и выбранной доверительной вероятности (обычно 0,95). Если F P < F T , то гипотеза адекватности модели принимается. Если модель неадекватная (F P >F T ), то принимают следующие возможные решения: – повторяют все опыты, сузив интервал варьирования; – меняют основные (нулевые) уравнения факторов; – применяют планирование третьего порядка. В заключении полученную адекватную модель раскодируют по формулам перехода: 𝑥 𝑖 = 2(𝑥̃ 𝑖 −𝑥̃ 𝑖 𝑚𝑎𝑥 ) 𝑥̃ 𝑖 𝑚𝑎𝑥 −𝑥̃ 𝑖 𝑚𝑖𝑛 + 1, где 𝑥 𝑖 – кодированное значение i-того фактора; 𝑥̃ 𝑖 – натуральное значение i-того фактора; 𝑥̃ 𝑖 𝑚𝑎𝑥 , 𝑥̃ 𝑖 𝑚𝑖𝑛 – натуральные значения верхнего и нижнего уравнений i- того фактора. В пособии исследуется двухфакторный эксперимент с двумя выходными параметрами. Исследовать оптимальные условия многофакторного процесса с несколькими выходными параметрами удобнее графоаналитическим методом с помощью совмещенных двухмерных сечений нескольких поверхностей отклика. При этом в сечениях получают два и более семейства контурных линий, являющихся линиями равного отклика и каждая из которых соответствует определенному значению соответствующего выходного параметра. Для построения двухмерных сечений все факторы, кроме двух, стабилизируют на определенных уровнях, близких к оптимальным, то есть дают им 14 числовые значения. И, таким образом, создают двухмерное факторное пространство. Аналогичные двухмерные сечения можно построить для каждой пары из числа исследуемых факторов. При исследовании процессов с двумя выходными параметрами одни параметры ограничивают определенным значением и для него строится соответствующая линия равного отклика, а для другого параметра строится семейство линий равного отклика. Из семейства линий выбирается такая линия, которая в факторном пространстве касается первой линии или пересекает ее на границе факторного пространства. При этом значение факторного параметра, соответствующее касательной линии семейства или граничной точки пересечения, и является оптимальным, то есть наибольшим или наименьшим допустимым для принятого ограничения по первому параметру. Таким образом, при оптимизации технологических процессов с несколькими выходными параметрами решают компромиссные задачи: находят условный оптимум для одного выходного параметра при ограничениях, налагаемых другими выходными параметрами. Для поиска исследования областей оптимума, в пособии использован графо-аналитический метод, который часто применяют при числе факторов k≤3. Метод отличается относительной простотой и наглядностью. При числе факторов k>3 применяют метод «крутого восхождения» (метод Уилсона-Бокса), а так же аналитический метод, в том числе линейное программирование, метод неопределенных множителей Лагранжа. В результате выполнения плана, эксперимент второго порядка, описанного выше, исследователь получает полином второй степени, адекватно описывающий область оптимума: 𝑦 = 𝑏 0 + ∑ 𝑏 𝑖 𝑥 𝑖 1≤𝑖≤𝑘 + ∑ 𝑏 𝑖𝑙 𝑥 𝑖 𝑥 𝑙 1≤𝑖≤𝑙≤𝑘 + ∑ 𝑏 𝑖𝑖 1≤𝑖≤𝑘 𝑥 𝑖𝑖 2 Уравнение второй степени в таком виде анализировать при поиске и исследовании оптимума сложно, поэтому путем преобразований, его приводят к канонической форме. Первым этапом канонического преобразования является переменное начало координат в особую точку S – центр поверхности отклика, являющийся центром геометрической фигуры, которая при числе факторов k=2 может быть эллиптический или гиперболический параболоид, параболоид вращения. В этом случае точка S является экстремумом функции y. Для определения координат этой точки исходное уравнение дифференцируют по каждой независимой переменной. Приравнивая частные производные к нулю, получают систему уравнений: 𝜕𝑦 𝑑𝑥 1 = 0; 𝜕𝑦 𝑑𝑥 2 = 0… 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝑘 = 0. При дифференцировании полинома по каждой независимой переменной х 1 ,х 2 …x k получают систему из «k» линейных уравнений. Вычисляют определитель системы. Если определитель системы равен 0, то поверхность отклика не имеет центра. В этом случае начало координат не переносят или переносят иногда в точку с наилучшим значением выходного параметра. 15 Если определитель системы отличен от нуля, то поверхность отклика имеет центр и тогда начало координат переносят в центр. Для этого определяют координаты центра путем решения вышеуказанной системы уравнений методом последовательного исключения переменных или матричным методом: 𝑥 𝑖𝑠 = ∆𝑥 𝑖 ∆ , где ∆ - определитель системы; ∆𝑥 𝑖 – частный определитель по i-тому фактору; 𝑥 𝑖𝑠 - координата центра S по i-тому фактору. При параллельном переносе системы координат в центр S поверхности в исходном квадратичном уравнении, исчезают члены с линейными эффектами и изменяется свободный член: становится равным y S – выходному параметру в центре фигуры. Коэффициенты при квадратичных членах и эффектах взаимодействия (произведениях факторов) не изменяются при переносе системы координат. Представляя найденные значения 𝑥 𝑖𝑠 , координат центра S в исходное уравнение, определяют значения y S выходного параметра в центре. Вторым этапом канонического преобразования является поворот осей в новом начале координат до совмещения их с главными осями геометрической поверхности, соответствующей функцией отклика. При повороте координатных осей, исчезают члены с эффектами взаимодействия (произведениями факторов) и изменяются коэффициенты при вторых степенях. Свободный член y S не изменяется. В результате поворота осей получают стандартное каноническое уравнение: 𝑌 = 𝑦 − 𝑦 𝑠 = 𝐵 11 𝑋 1 2 + 𝐵 22 𝑋 2 2 + ⋯ + 𝐵 𝑖𝑖 𝑋 𝑖 2 + ⋯ + 𝐵 𝑘𝑘 𝑋 𝑘 2 , где 𝑋 1 , 𝑋 2 , … 𝑋 𝑖 … 𝑋 𝑘 – канонические переменные или значения координат в новой перенесенной и повернутой системе, представляют собой линейные функции факторов. Для определения коэффициентов 𝐵 11 , 𝐵 22 , … 𝐵 𝑘𝑘 необходимо решить характеристическое уравнение с левой частью в виде квадратного определителя: 𝑓(𝐵) = | | 𝑏 11 − 𝐵 1 2 𝑏 12 … 1 2 𝑏 1𝑘 1 2 𝐵 21 𝑏 22 − 𝐵 … 1 2 𝑏 2𝑘 … 1 2 𝑏 𝑘1 … 1 2 𝑏 𝑘2 … … 𝑏 𝑘𝑘 − 𝐵 | | = 0 Корни этого уравнения и будут искомыми коэффициентами 𝐵 𝑖𝑖 регрессии в новой системе координат. Для числа факторов k=2, когда факторное пространство будет плоским, угол α поворота осей определяется по формуле: 16 𝛼 = 1 2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑏 12 𝑏 11 − 𝑏 22 При этом характеристическое уравнение для определения коэффициентов 𝐵 𝑖𝑖 имеет вид: | 𝑏 11 − 𝐵 1 2 𝑏 12 1 2 𝑏 21 𝑏 22 − 𝐵 | = 0 Откуда получаем квадратное уравнение: 𝐵 2 − 𝐵(𝑏 11 + 𝑏 22 ) + 𝑏 11 𝑏 22 − 1 4 𝑏 12 2 Решая уравнение находим его корни В 11 и В 22 . При этом следует знать, что большему коэффициенту 𝑏 𝑖𝑖 соответствует больший 𝐵 𝑖𝑖 тех же индексов ii. Правильность вычисления коэффициентов 𝐵 𝑖𝑖 осуществляется с помощью равенства: ∑ 𝑏 𝑖𝑖 = ∑ 𝐵 𝑖𝑖 𝑘 1 𝑘 1 Для числа факторов k=2 вычисление является правильным, если 𝑏 11 + 𝑏 22 = 𝐵 11 + 𝐵 22 Уравнение в канонической форму из-за простоты удобно для анализа и оптимизации, так как в него входят все факторы только в квадрате. Величина y-y s зависит от знаков коэффициентов 𝐵 𝑖𝑖 и не зависит от направления движения из центра по оси Х i К канонической форме рекомендуется проводить только такие уравнения регрессии, которые: – имеют число факторов k=2 или 3; – имеют не менее двух квадратичных членов; – или имеют один квадратичный член или несколько членов с эффектами взаимодействия (произведения факторов); – или не имеют квадратичных членов, но имеют один или несколько членов с эффектом взаимодействия. – не приводят к канонической форме и анализируют, в том числе графически простые уравнения регрессии, которые: – содержат только линейные члены и свободный член (при k=2 поверхность отклика такой регрессии является плоскость); – содержит линейные члены и только один квадратный член (при k=2 поверхность отклика такой регрессии является параболический цилиндр). Таким образом, при числе факторов k≤3 после канонического преобразования уравнения регрессии легко определить к какому типу относится геометрический образ функции отклика. Однако, решая практические задачи поиска условного оптимума, возможно множество 17 вариантов сочетаний геометрических интерпретаций функций отклика. В курсе лекций по дисциплине подробно изложены все остальные варианты объемно-геометрических моделей функций отклика второго порядка, а так же методы построения и анализа двумерных сечений поверхности отклика, необходимых для отыскания условного оптимума. В данном пособии на конкретном примере подробно дается методика рототабельного планирования эксперимента и отыскания условного оптимума, которая поможет студентам решить непростые задачи расчетно- графического задания. От студента потребуется лишь недюжинные способности пространственного мышления, строгая математическая логика, сообразительность и удача. 18 |