Глава 13. Магнитное поле в вакууме
Магнетизм– особая форма взаимодействия между электрическими то- ками, между электрическими токами и магнитами и между магнитами. Магнит- ные свойства присущи в той или иной степени всем без исключения телам, по- этому при рассмотрении магнитных свойств веществ введен общий термин –
магнетики.
В наиболее общем виде магнетизм можно определить как особую форму материального взаимодействия, возникающую между движущимися электриче- ски заряженными частицами. Передача магнитного взаимодействия, реализую- щая связь между пространственно разделенными телами, осуществляется маг- нитным полем. Магнитные поля существуют в космическом пространстве, они влияют на движение заряженных частиц, образующих космические лучи. Ши- рокий диапазон явлений магнетизма, простирающийся от магнетизма элемен- тарных частиц до магнетизма космического пространства, обуславливает его большую роль в науке и технике.
§49 Магнитное поле
49.1 Характеристики магнитного поля
В 1820 году датский физик Эрcтед* обнаружил, что магнитная стрелка, расположенная параллельно прямолинейному проводнику, при пропускании через него постоянного тока I стремится расположиться пер- пендикулярно проводнику (рис. 49.1). При изменении направления тока стрелка поворачивалась на 180
. То же самое происходило, когда стрелка переносилась вверх и располагалась над проводом.
В том же году А. Ампер* установил, что два про- водника, расположенные параллельно друг другу, ис- пытывают взаимное притяжение при пропускании че- рез них тока в одном направлении и отталкиваются, если токи имеют противоположные направления
(рис. 49.2). Сила взаимодействия проводников пропор- циональна величине токов и обратно пропорциональна расстоянию между ними:
d
I
I
F
2 1
Если проводник с током поместить между полю- сами подковообразного магнита, то он будет или
________________________________________________________________________________________________________________________
*Эрстед Ханс Кристиан (1777–1851), датский физик.
*Ампер Андре Мари (1775–1836), французский физик, математик и химик.
S
N
I
Рисунок 49.1
Рисунок 49.2
Электромагнетизм
175
втягиваться, или выталкиваться из него в зависимости от направления тока
(рис. 49.3). Сила действия со стороны магнитного поля пропорциональна силе тока и длине проводника:
lIF .
Таким образом, эксперименты показали, что вокруг проводников с током и постоянных магнитов существует
магнитное поле, которое обнаруживается по его силовому действию на другие проводники с током, постоянные магниты, движущиеся электри- ческие заряды. В отличие от электрического поля магнитное поле не оказывает действия на покоя- щийся заряд.
Для характеристики способности магнитного поля оказывать силовое действие на проводники с током вводится физическая величина, называемая
магнитной индукцией.
Магнитное поле исследуют с помощью за- мкнутого контура с током. Контур должен иметь малые размеры по сравнению с расстояниями, на которых магнитное поле заметно изменяется. Это может быть проволочная рамка произвольной фор- мы (рис. 49.4 а). Подводящие проводники сплетают вместе, чтобы результиру- ющая сила, действующая на них со стороны магнитного поля, была равна нулю.
Расположим на расстоянии, значительно большем размеров рамки, про- вод. Если пропустить ток через рамку и провод, то рамка поворачивается и рас- полагается так, что провод оказывается в плоскости рам- ки (рис. 49.4 б). Как известно из курса механики, тело по- ворачивается под действием момента сил. Если брать разные по площади рамки с разными токами, то моменты сил, действующие на эти рамки в данной точке поля, бу- дут разными. Однако, отношение максимального момен- та сил к произведению силы тока в рамке на ее площадь будет для данной точки поля одним и тем же. Это отно- шение принимают в качестве величины, характеризую- щей магнитное поле, и называют магнитной индукцией поля в данной точке.
Магнитная индукция (B
) – векторная физическая величина, силовая характеристика магнитного поля, численно равная отношению макси-мального вращающего момента, действующего на контур с током в одно-родном магнитном поле, к произведению силы тока I в контуре на его пло-щадь S. SIMBmax
(49.1)
Из опытов Ампера следует, что на проводник с током,
помещенный в магнитное поле, действует сила, пропорциональная силе тока в проводнике и длине проводника. Величина силы также зависит от ориентации проводника в
Рисунок 49.3
I0
Iа) б)
Рисунок 49.4
Электромагнетизм
176
магнитном поле. Оказывается, что отношение максимальной силы, действую- щей на проводник с током, к произведению силы тока на длину проводника, для данной точки поля остается постоянным. Поэтому можно дать другое опре- деление магнитной индукции.
Магнитная индукция (
B
) – векторная физическая величина, силовая
характеристика магнитного поля, численно равная отношению макси-
мального значения силы, действующей на проводник с током в однородном
магнитном поле, к произведению силы тока I в нем на длину проводника l.
l
I
F
B
max
(49.2)
)
тесла
(
Тл с
А
кг м
с
А
м кг м
А
Н
*
2 2
B
Кроме вектора магнитной индукции для характеристики магнитного поля используют вспомогательную величину
H
, называемую
напряженностью
магнитного поля
. Магнитная индукция и напряженность связаны между собой соотношением:
H
B
0
,
(49.3)
где
7 0
10 4
Гн/м
магнитная постоянная;
относительная магнитная проницаемость среды;
H
напряженность магнитного поля.
Магнитная проницаемость среды
физическая величина, показыва- ющая, во сколько раз магнитная индукция поля в данной среде отличается от магнитной индукции поля в вакууме. Для вакуума
=1.
Напряженность магнитного поля
H
– векторная величина, являющая- ся количественной характеристикой магнитного поля. Напряженность магнит- ного поля определяет тот вклад в магнитную индукцию, который дают внешние источники поля. м
А
]
[H
49.2 Графическое изображение магнитных полей
Графически магнитные поля можно изображать с помощью линий маг- нитной индукции (силовых линий магнитного поля).
Линия, в любой точке которой вектор магнитной индукции B
направлен по касательной к ней, называется
линией магнитной индукции (силовой ли-
нией магнитного поля)
Силовые линии чертят так, чтобы их густота была пропорциональна мо- дулю вектора B
в данном месте. Линии индукции магнитного поля ни в одной точке поля не обрываются, т.е. они всегда непрерывны. Они не имеют ни нача- ла, ни конца. Этим силовые линии магнитного поля отличаются от силовых ли- ний электростатического поля, которые всегда начинаются и заканчиваются
________________________________________________________________________________________________________________________
*Тесла Никола (1856
1943), америк. ученый, физик, инженер. Серб по происхождению.
Электромагнетизм
177
на электрических зарядах или уходят в бесконечность. Векторное поле, имею- щее непрерывные силовые линии, называется
вихревым полем
. Магнитное по- ле – это вихревое поле.
Линии индукции прямого проводника с то- ком представляют собой окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной к проводнику. Цен- тры окружностей находятся на оси проводника
(рис. 49.5) Направление линий индукции магнитно- го поля определяется по мнемоническому
правилу
буравчика
: направление линий индукции совпадает с направлением ручки буравчика, ввинчиваемого вдоль направления тока.
Линии индукции кругового тока представлены на рис. 49.6. Линии ин- дукции поля, создаваемого постоянным магнитом – на рис. 49.7.
Если во всех точках некоторой части пространства вектор магнитной ин- дукции B
не изменяет своего направления и численного значения, то магнит- ное поле в этой части пространства называется однородным. В противном слу- чае магнитное поле является неоднородным.
§50 Расчет магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа
50.1 Закон Био
Савара
Лапласа
В 1820 году французские ученые Био* и Савар* провели исследование магнитных полей токов, текущих по тонким проводникам различной формы.
Лаплас* проанализировал экспериментальные данные и получил соотношение, которое позволяет определить магнитную индукцию B
d
поля, создаваемого элементом тока. Под
элементом тока
понимают произведение тока I на эле- мент длины l
d
проводника.
По закону Био
Савара Лапласа индукция B
d
магнитного поля, созда- ваемого элементом тока l
Id
в произвольной точке А, определяется выражени- ем:
________________________________________________________________________________________________________________________
*Био Жан Батист (1774–1862), французский физик.
*Савар Феликс (1791–1841), французский физик.
*Лаплас Пьер Симон (1749–1827), французский астроном, математик и физик.
B
B
B
I
Рисунок 49.6
Рисунок 49.7
I
B
B
Рисунок 49.5
Электромагнетизм
178 3
0 4
rrlIdBd
(50.1)
В скалярном виде:
2 0
sin
4
rIdldB
,
(50.2) где
угол между направлениями элемента тока и радиус-вектора
r
, идущего от элемента тока к точке, в которой определяется ин- дукция (рис. 50.1).
Аналогичные формулы можно записать для напряженности магнитного поля:
3 4
rrlIdHd
,
(50.3)
2 4
sin
rIdldH
(50.4)
Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемых элементарными участками токов:
lBdB
Если магнитное поле создается системой проводников с током, то индук- ция результирующего поля в любой его точке также равна
векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждым током в отдельности:
nBBBB
2 1
Данное утверждение носит название
принципа суперпозиции полейПрименим закон Био
Савара Лапласа для расчета полей, создаваемых проводниками правильной геометрической формы в вакууме.
50.2 Примеры расчета магнитных полей 1.
Поле прямого тока. Все элементы тока прямолинейного проводника дают сонаправленные векторы
Bd
(для указан- ного на рис. 50.2 направления тока векторы
Bd
направлены перпендикулярно плоскости чертежа к нам). Векторное сложение можно заменить скалярным:
llrdlIdBB2 0
4
sin
(50.5)
Приведем подынтегральное выражение к одной пере- менной
. Из рис. 50.2 следует, что
IA
dBrIdlРисунок 50.1
dlr1
dIN2
Mr0
Рисунок 50.2
Электромагнетизм
179
sin
0
r
r
,
2 0
sin sin
d
r
rd
dl
Полученные выражения подставим в формулу (50.5):
2 1
2 1
sin
4
sin sin
4 0
0 2
0 2
3 0
0
d
r
I
r
d
r
I
B
Интегрирование дает соотношение:
2 1
0 0
cos cos
4
r
I
B
(50.6)
Углы
1
и
2
обозначены на рис. 50.2.
Рассмотрим проводник бесконечной длины. Практически это выполняет- ся при условии
l
r
0
. Получим выражение для индукции магнитного поля, со- здаваемого бесконечно длинным проводником. В этом случае можно считать, что
0 1
,
2
2 4
cos
0
cos
4 0
0 0
0
r
I
r
I
B
,
0 0
2 r
I
B
,
(50.7) где
0
r
расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Аналогичную формулу можно записать для напряженности магнитного поля:
0 2 r
I
H
(50.8)
2. Поле кругового тока на его оси. Найдем индукцию магнитного поля B
в точке А, расположенной на оси кругового тока радиуса R, на расстоянии x от его центра (рис. 50.3).
Индукция B
d
поля, созданного элементом тока
l
Id
, согласно формуле (50.2):
2 0
sin
4
r
Idl
dB
Разложим вектор B
d
на две составляю- щие:
II
B
d
направленную вдоль оси 0x и
B
d
перпендикулярную к ней.
x
A
x
r
I
R
dl
0
Idl
B
d
B
d
B
d
Рисунок 50.3
Электромагнетизм
180
l
l
B
d
B
d
B
II
При суммировании полей всех элементов тока по длине окружности со- ставляющие
B
d
в сумме дадут нуль, т.е.
0
l
B
d
Векторы
II
B
d
сонаправлены, поэтому векторную сумму заменим скаляр- ной:
l
l
dB
dB
B
sin
II
Из рис. 50.3 находим
2 2
2
x
R
r
,
2 2
sin
x
R
R
r
R
Подставив полученные соотношения и учитывая, что
1
sin
, имеем:
2 3
2 2
0 4
x
R
R
Idl
dB
Интегрируя по dl и учитывая то, что
l
R
l
dl
2
, получим:
2 3
2 2
2 0
2 3
2 2
0 4
2 4
x
R
R
I
x
R
R
Idl
B
l
,
2 3
2 2
2 0
2
x
R
R
I
B
. (50.9)
Аналогичную формулу можно записать для напряженности магнитного поля:
2 3
2 2
2 2
x
R
IR
H
(50.10)
При x = 0 получим выражение для расчета индукции в центре кругового тока:
R
I
B
2 0
(50.11)
Электромагнетизм
181
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока:
R
I
H
2
(50.12)
3. Поле соленоида конечной длины. Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. На рис. 50.4 показано сечение со- леноида. Магнитная индукция B
поля соленоида конечной длины равна гео- метрической сумме магнитных индукций
i
B
полей всех витков этого соленои- да:
N
i
i
B
B
1
(50.13)
Внутри соленоида направление индукции
B
совпадает с направлением оси.
Используя формулы (50.9) и (50.13), можно получить формулу для расчета индукции магнит- ного поля в произвольной точке А, лежащей на его оси соленоида конечной длины:
2 1
0
cos cos
2
In
B
,
(50.14)
где
l
N
n
число витков на единицу длины соленоида (плотность намотки);
1
и
2
углы, под которыми из точки А видны концы соленоида (рис. 50.4).
Напряженность магнитного поля в произвольной точке на оси соленоида конечной длины
2 1
cos cos
2
n
I
H
. (50.15)
В учении об электромагнетизме большую роль играет воображаемый
бесконечно длинный соленоид
. Причина этого заключается в том, что поле та- кого соленоида однородно и ограничено объемом соленоида (аналогично элек- трическое поле бесконечного плоского конденсатора однородно и ограничено объемом конденсатора). Соленоид считается бесконечно длинным, если
R
l
.
Для бесконечно длинного соленоида
0 1
,
2
. Тогда:
2 2
cos
0
cos
2 0
0
In
In
B
,
n
I
B
0
(50.16)
x
R
0 x A
r
2 1
B
l
Рисунок 50.4
Электромагнетизм
182
Соответственно, напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида:
n
I
H
(50.17)
§51 Законы магнитного поля
51.1 Магнитный поток
Потоком вектора магнитной индукции или магнитным потоком (dФ)
сквозь площадку dS называется скалярная физическая величина
cos
BdS
S
d
B
d
Ф
,
(51.1) где
dS
n
S
d
,
n
единичный вектор нормали к площадке;
угол между направлением нормали n
и вектором магнитной индукции B
(рис. 51.1).
Вб м
Tл
Ф
2
(вебер*).
Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S:
S
S
d
B
Ф
(51.2)
Если поле однородно
const
B
, а поверхность плоская, то
cos
BS
Ф
(51.3)
51.2 Теорема Гаусса для магнитного поля
Теорема Гаусса* для магнитного поля является обобщением опытных данных. Согласно теореме Гаусса:
Поток вектора магнитной индукции
B
сквозь любую замкнутую по-
верхность равен нулю.
0
S
S
d
B
(51.4)
Она отражает тот экспериментальный факт, что линии вектора B
не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий вектора B
, выходящих из любого объема, ограниченного
замкнутой
поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
________________________________________________________________________________________________________________________
*Вебер Вильгельм Эдуард (1804–1891), немецкий физик.
*Гаусс Карл Фридрих (1777–1855), немецкий математик, астроном и физик.
B
n
dS
Рисунок 51.1
Электромагнетизм
183
Закон (51.4) выражает также и тот факт, что в природе не существуют единичные магнитные заряды, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B
51.3 Циркуляция вектора магнитной индукции. Закон полного тока
Циркуляцией вектора магнитной индукции
B
по замкнутому контуру l называется интеграл вида:
l
l
l
d
B
Bdl
l
d
B
,
cos
,
(51.5) где l
замкнутый контур произвольной формы,
l
d
вектор элементарной длины контура, направленный по обходу кон- тура.
Согласно закону полного тока:
Циркуляция вектора магнитной индукции
B
в вакууме по произволь-
ному замкнутому контуру l равна произведению магнитной постоянной
0
на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром
.
l
N
k
k
I
l
d
B
1 0
,
(51.6) где N
число проводников с током, охватываемых контуром l произвольной формы.
Закон справедлив для проводников с током любой формы и любых разме- ров. При вычислении алгебраической суммы токов ток считается положитель- ным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным.
Закон полного тока можно сформулировать и для циркуляции вектора напряженности:
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H
по произ-
вольному замкнутому контуру l равна алгебраической сумме токов, охва-
тываемых этим контуром.
l
N
k
k
I
l
d
H
1
(51.7)
Закон полного тока играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для вектора напряженности электрического поля E
. Мы знаем, что магнитное поле определяется всеми токами, а циркуляция вектора
B
только теми токами, которые охватывает данный контур. При наличии симметрии теорема о цир- куляции позволяет очень просто находить B
. Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B
можно свести, выбрав разумно контур, к произведению В на длину контура или его часть. Если этого нет, то расчет приходится проводить другими способами, например, с помощью закона
Электромагнетизм
184
Био
Савара Лапласа или путем решения соответствующих дифференциаль- ных уравнений, и расчет становится значительно сложнее.
Пример:
расчет индукции магнитного поля, создавае- мого бесконечно длинным прямолинейным проводником с током.
В качестве контура выберем окружность радиуса
r (рис. 51.2), совпадающую с линией магнитной индукции (ток
I идет от нас за чертеж). Запишем закон полного тока:
lniiIldB1 0
,
llldBBdlldB
,
cos
Угол между векторами
B
и
ld
равен нулю, 1 0
cos
. Внутри выбранного контура находится ток
I. Тогда:
lIBdl0
Так как замкнутый контур обхода выбран в виде окружности, то для дан- ного расстояния
r от провода const
B. После интегрирования получим:
IrB0 2
,
rIB
2 0
(51.8)
Полученный результат совпадает с формулой (50.7).
§52 Действие магнитного поля на проводник с током 52.1 Закон Ампера Обобщив экспериментальные данные по исследованию действия магнит- ного поля на различные проводники с током, Ампер уста- новил, что
сила Fd
, с которой магнитное поле действу-ет на элемент тока, равна векторному произведению элемента тока lId
на магнитную индукциюB
.BlIdFd
, (52.1)
sin
IBdldF,
(52.2) где
угол между направлением тока и вектором магнитной индукции
B
(рис. 52.1).
I rdllBРисунок 51.2
dlBIdFРисунок 52.1
Электромагнетизм
185
Направление силы F
d
определяют по правилу векторного произведения.
На практике чаще применяют мнемоническое
правило левой руки
: если распо- ложить ладонь левой руки так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ла- донь, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока, то отстав- ленный на 90
большой палец укажет направление силы, действующей на про- водник с током в магнитном поле (рис. 52.1).
Если проводник имеет конечные размеры, то
l
l
B
l
Id
F
d
F
(52.3)
Примеры:
1.
Сила, действующая на прямолинейный проводник с током в однородном магнитном поле (рис. 52.2).
Для однородного поля const
B
, поэтому
l
l
dl
IB
B
l
Id
F
sin
,
sin
IBl
F
, (52.4) где l
длина проводника.
угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.
2.
Сила взаимодействия двух бесконечно длинных прямых токов.
Рассмотрим два параллельных тока I
1
и I
2
, находящихся на расстоянии r друг от друга (рис. 52.3). Из опытов Ампера (см. §49) следует, что
параллельные токи одного направления притягиваются;
параллельные токи противоположных направлений оттал- киваются.
Пусть длина каждого проводника l. Каждый из про- водников с током находится в магнитном поле тока другого проводника. Сила, с которой второй ток действует на пер- вый
sin
2 1
12
l
B
I
F
, o
90
,
1 90
sin o
.
Так как проводники длинные, то
r
I
B
2 2
0 2
Сделаем замену, получим
l
r
I
I
F
2 2
1 0
12
(52.5)
B
I
F
Рисунок 52.2
I
I
1 2
B
B
2 1
F
12
F
21
r
Рисунок 52.3
Электромагнетизм
186
Можно показать, что сила
F21
, с которой первый ток действует на второй, равна и противоположна силе
F12
, с которой второй ток действует на первый.
Сила, действующая на единицу длины проводника:
rIIlFFl
2 2
1 0
(52.6)
На основании формулы (52.6) дается определение единицы силы тока
амперу.
Ампер
это сила такого неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу взаимодействия, равную 2·10
7 H на каждый метр длины проводника. 52.2 Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле Рассмотрим цепь с током, образованную неподвижными проводами и скользящим по ним подвижным проводником длиной
l(рис. 52.4). Цепь нахо- дится в однородном магнитном поле (
B
= const), направленном перпендику- лярно к плоскости чертежа.
По закону Ампера на проводник действует сила
IBlF
При перемещении проводника на расстояние
dx эта сила совершит работу
IBdSIBldxFdxA
, (52.7) где
ldxdS
заштрихованная площадь (см. рис.
52.4).
Произведение
BdS дает магнитный поток
dФ(см. формулу (51.1)). Сдела- ем замену в (52.7), получим
Ф
dIА
,
(52.8) где
dФ
магнитный поток через площадь, которую пересекает проводник при движении.
Таким образом, работа, совершаемая
магнитной силой над проводником с током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока через поверхность, пересеченную проводником при рассматриваемом движении.
2 1
Ф
dIA(52.9)
IldSFnBРисунок 52.4
Электромагнетизм
187
Для I=const:
1 2
Ф
Ф
Ф
I
I
A
,
(52.10) где
1 2
Ф
Ф
Ф
– изменение магнитного потока.
§53 Действие магнитного поля на контур с током
53.1 Магнитный момент
Магнитным моментом
m
p
плоского замкнутого контура с током I
называется векторная физическая величина, численно равная произведению
тока I на площадь контура S.
IS
n
p
m
,
(53.1) где n
единичный вектор положительной нормали к поверхности, ограничен- ной этим контуром. Положительной называется нормаль, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта. Поэтому вектор
m
p направлен пер- пендикулярно плоскости контура так, что из его конца ток в контуре виден идущим против часовой стрелки (рис. 53.1).
2
м
А
m
p
Магнитный момент является очень важной характери- стикой контура с током. Этой характеристикой определяется как поле, создава- емое контуром, так и поведение контура во внешнем магнитном поле.
53.2 Сила, действующая на контур с током в однородном магнитном поле
Рассмотрим, как ведет себя контур с током в однородном магнитном поле
(
const
B
). По формуле (52.2) на элемент контура действует сила
B
l
Id
F
d
. (53.2)
Результирующая этих сил равна
l
B
l
Id
F
(53.3)
Постоянные величины
I и B
можно вынести за знак интеграла:
B
l
d
I
F
l
,
Из курса математики известно, что
l
l
d
0
, поэтому
0
F
. Таким образом, ре- зультирующая сила, действующая на контур с током в однородном магнитном
I
m
n
p
Рисунок 53.1
Электромагнетизм
188
поле, равна нулю. Это справедливо для контуров любой формы при произволь- ном расположении контура относительно поля.
53.3 Вращающий момент, создаваемый силами, приложенными к контуру
Рассмотрим плоский контур, находящийся в однородном магнитном поле
(
const
B
). Пусть контур ориентирован так, что линии магнитной индукции параллельны плоскости контура (рис. 53.2). На сторо- ны 1
2 и 34 контура действуют силы
12
F
и
34
F
:
IBa
F
F
34 12
,
(53.4) где
а
сторона 12 контура.
Силы, приложенные к противоположным сторо- нам, образуют пару сил, момент которой равен:
l
F
M
12
,
(53.5)
В результате контур поворачивается относительно оси OO
'.
На рис. 53.3 показан вид на контур сверху. Из рисунка следует, что плечо пары сил
sin
b
l
, где
b
сторона 14 контура;
φ
угол между направлением вектора B
и нормалью
n
к контуру (рис. 53.3).
Заменив в (53.5)
F
12
по формуле (53.4), получим
sin
IBab
M
(53.6)
Произведение
ab дает площадь контура S.
Таким образом,
sin
IBS
M
(53.7)
Выражение (53.7) можно преобразовать, воспользо- вавшись понятием магнитного момента. Заменив произведе- ние
IS
через магнитный момент, получим
sin
B
p
M
m
(53.8)
Формулу (53.8) можно записать в векторном виде:
B
p
M
m
(53.9)
Вектор вращающего момента
M
направлен вдоль оси вращения
OO
'
так, что из его конца вращение рамки под действием пары сил видно
O
O
b
1
4
2
3
a
F
12
F
34
Рисунок 53.2
l
1
4
B
P
m
P
F
12
F
34
M
Рисунок 53.3
F
B
I
F
I
B
Рисунок 53.4 а) б)
Электромагнетизм
189
происходящим против часовой стрелки (рис. 53.3).
Если магнитное поле направлено перпендикулярно к плоскости контура, то векторы
m
p и
B
будут сонаправлены. В этом случае вращающий момент
M
(см. формулу (53.8)) равен нулю.
Силы, действующие на разные элементы контура, будут либо растягивать его (рис. 53.4 а), либо сжимать (рис. 53.4 б) в зависимости от направления поля и тока.
53.4 Контур с током в неоднородном магнитном поле
Рассмотрим контур с током, находящийся в неоднородном магнитном поле. Поле называется
неоднородным
, если направление и (или) численное значение вектора магнитной индукции изменяются, т.е. const
B
Предполо- жим, что поле быстрее всего изменяется в направлении оси 0
x, совпадающей с направлением
B
в том месте, где расположен центр контура.
Магнитный момент
m
p
контура ориентирован по полю (рис. 53.5). Так как const
B
, выражение (53.2) может не быть равным нулю. Сила
F
d
, действующая на элемент контура, перпендикулярна к
B
, т.е. линии маг- нитной индукции в месте пересечения ее с l
d
Результирующая сил, приложенных к элементам контура, направлена в сторону возрастания
B
и, следо- вательно, втягивает контур в область более сильного поля. Если изменить направление тока на противопо- ложное (
m
p
будет направлен против
B
), то направле- ния всех
F
d
и их результирующей
F
изменятся на об- ратные. При такой ориентации
m
p
и
B
контур будет выталкиваться из поля (рис. 53.6).
Величина силы, втягивающей или выталкивающей контур, определяется соотношением:
cos
x
B
p
F
m
x
,
(53.10) где
m
p
магнитный момент контура;
угол между векторами
m
p
и
B
;
x
B
градиент индукции магнитного поля – величина, характеризующая степень неоднородности поля, численно равная изменению индукции, прихо- дящемуся на единицу длины.
Таким образом, в неоднородном магнитном поле контур не только сжи- мается (растягивается), но и втягивается (выталкивается) в область неоднород- ного поля.
I
B
F
d
F
d
m
x
p
Рисунок 53.5
I
B
F
d
F
m
x
p
Рисунок 53.6
Электромагнетизм
190
§54 Работа, совершаемая при вращении контура с током
в постоянном магнитном поле
При повороте контура на угол
d
(см. рис. 53.3) совершается элементар- ная работа
d
M
Md
d
M
A
,
cos
(54.1)
Так как
sin
B
p
M
m
, а векторы
M
и
d сонаправлены (при этом
1
)
,
cos(
d
M
), то
d
B
p
A
m
sin
. (54.2)
Работа, совершаемая при повороте контура на конечный угол от
1
до
2
, определяется интегрированием:
2 1
2 1
)
cos cos
(
sin
1 2
B
p
B
p
d
B
p
A
A
m
m
m
. (54.3)
Из формулы (54.3) можно сделать вывод, что работа по повороту контура определяется лишь его конечным и начальным положениями.
Величину
cos
B
p
m
обозначим через W
п и назовем ее
потенциальной
энергией взаимодействия контура с током с магнитным полем.
cos п
B
p
W
m
(54.4)
Выражение (54.4) можно записать как скалярное произведение векторов
m
p
и B
:
B
p
W
m
п
(54.5)
§55 Сила Лоренца
Магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на от- дельные заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле. Сила л
F
, дей- ствующая на электрический заряд, движущийся в магнитном поле, называется
силой Лоренца
*. Сила Лоренца рассчитывается по формуле:
B
q
F
v
л
(55.1)
Модуль силы Лоренца равен:
sin л
v
qB
F
,
(55.2) где q
заряд частицы;
B
индукция магнитного поля, в котором движется заряд;
________________________________________________________________________________________________________________________
*Лоренц Хедрик Антон (1853–1928), нидерландский физик.
Электромагнетизм
191
v
скорость заряда;
угол между векторами v
и B
Направление силы Лоренца определяется по правилу векторного произве- дения. На практике можно использовать правило левой руки (см. §52), при этом надо учитывать знак заряда. Для отрицательных частиц направление силы меняется на противоположное.
Взаимные расположения векторов
v
, B
и л
F
для положительного (
0
q
) и отрицательного (
0
q
) заря- дов показаны на рис. 55.1.
С помощью силы Лоренца можно дать еще одно определение магнитной индукции
B
Магнитная индукция (
B
) – векторная физиче-
ская величина, силовая характеристика магнитного
поля, численно равная отношению максимального значения силы, действу-
ющей на единичный положительный заряд, который в данной точке дви-
жется с единичной скоростью
.
v
q
F
B
max л
(55.3)
Сила Лоренца направлена всегда перпендикулярно скорости движения заряженной частицы и сообщает ей центростремительное ускорение. Не изме- няя модуля скорости, а лишь изменяя ее направление, сила Лоренца не совер- шает работы и кинетическая энергия заряженной частицы при движении в маг- нитном поле не изменяется.
Рассмотрим частные случаи.
1. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Под действием силы Лоренца заряженная частица движется по окружности постоянного радиуса R (рис. 55.2).
v
qB
F
л
,
(55.4)
(sin
= 1, так как
B
v
).
По второму закону Ньютона:
n
ma
F
,
(55.5) где m
масса частицы.
Нормальное (центростремительное) ускорение:
R
a
n
2
v
Приравняем выражения (55.4) и (55.5), заменив
n
a :
R
m
qB
2
v
v
B
B
Рисунок 55.1
0
B
F
л
R
v
Рисунок 55.2
Электромагнетизм
192
Найдем радиус окружности:
qB
m
R
v
(55.6)
Период вращения (время одного полного оборота):
qB
m
R
l
T
v
v
v
v
2 2
, где
R
l
2
длина окружности.
qB
m
T
2
(55.7)
2. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом
к ли- ниям магнитной индукции.
Разложим скорость
v
частицы на две составляющие (рис. 55.3):
II
v
па- раллельную вектору B
, и
v
перпендикуляр- ную вектору B
. Скорость
II
v
в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение за- ряженной частицы вдоль силовой линии. Ско- рость
v
в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению. Дви- жение частицы можно рассматривать как сло- жение двух движений: равномерного вращения по окружности со скоростью
v и равномерно- го перемещения вдоль поля со скоростью
II
v
В результате частица движется по винтовой линии.
На основании формулы (55.6)
qB
m
qB
m
R
sin
v
v
(55.8)
Шаг h винтовой линии (расстояние между соседними витками)
T
h
II
v
Заменив Т по формуле (55.7), получим
qB
m
h
cos
2
v
(55.9)
Если на движущийся электрический заряд кроме магнитного поля индук- цией B
действует и электрическое поле напряженностью E
, то результирую- щая сила F
, приложенная к заряду, равна векторной сумме силы
E
q
F
э
и си- лы Лоренца (55.1):
R
0
F
e
B
v
v
II
I_
h
л
Рисунок 55.3
Электромагнетизм
193
BqEqF
v (55.10)
Выражение (55.10)
также называется силой Лоренца, иногда – обобщен- ной силой Лоренца.
§56 Эффект Холла Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный элек- трический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и поля, возникает разность потен- циалов. Это явление было обнаружено Э. Холлом* в 1879 году и называется
эффектом ХоллаВеличина разности потенциалов
U зависит от тока
I, индукции магнитно- го поля
B и толщины пластинки
b:
bIBRUH
H
, (56.1) где
RH
постоянная Холла. Ее значение и знак определяются природой про- водника.
Направления магнитной индукции
B
, то- ка
I указаны на рис. 56.1. Одной из основных причин эффекта Холла является отклонение носителей заряда, движущихся в магнитном поле, под действием силы Лоренца. Наблюда- ется эффект Холла во всех проводниках и по- лупроводниках, независимо от материала.
Для металлов и примесных полупровод- ников с одним типом проводимости постоянная
Холла равна:
nqR1
H
,
(56.2) где
q заряд;
n концентрация носителей тока.
Измерения постоянной Холла были про- изведены в очень широком интервале темпера- тур. Оказалось, что
в металлах постоянная Холла не зависит от температуры, следова- тельно, и
концентрация свободных электронов не зависит от температу-ры. Это означает, что тепловое движение не играет никакой роли в образовании свободных электронов в металлах.
Значительно более сложные явления наблюдаются при проведении опыта
Холла с полупроводниками: селеном, кремнием, германием, окислами ряда ме- таллов и т.д. Постоянная Холла для них примерно в 10 5
раз больше;
________________________________________________________________________________________________________________________
*Холл Эдвин Герберт (1855–1938), американский физик.
abdIIUí
BBB+_Рисунок 56.1
Электромагнетизм
194
электропроводность в 10 5
раз меньше, примерно во столько же раз меньше и концентрация свободных электронов.
Постоянная Холла полупроводников с ростом температуры резко падает, следовательно,
концентрация свобод-ных электронов растет при увеличении температуры полупроводникаВторой характерной особенностью полупроводников является то, что у некото- рых из них эффект Холла имеет противоположный знак
при таких же направ- лениях тока и индукции магнитного поля, как на рис. 56.1, нижняя грань пла- стины заряжается положительно. Это означает, что проводимость осуществля- ется за счет движения положительных зарядов.
Таким образом, эффект Холла является одним из эффективных методов исследования носителей заряда, особенно в полупроводниках. Он позволяет оценивать концентрацию носителей и определять их знак, судить о количестве примесей в полупроводниках и характере химических связей. Кроме этого эф- фект Холла применяется для измерения величины магнитной индукции (датчи- ки Холла), определения величины сильных разрядных токов.
Скачать 2.41 Mb.