Том-1_РУ-1. Учебное пособие для студентов инженерно технических специальностей высших учебных заведений. Донецк
 Скачать 2.41 Mb.
|
|
§59 Самоиндукция Самоиндукция это явление возникновения электродвижущей силы в проводящем контуре при изменении электрического тока, идущего по это- му контуру. Самоиндукция является частным случаем электромагнитной ин- дукции. При изменении тока в контуре меняется поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром. В результате этого в нем воз- буждается эдс самоиндукции. При увеличении в цепи силы тока эдс самоин- дукции препятствует его возрастанию, а при уменьшении тока – его убыванию. Можно сказать, что самоиндукция подобна явлению инерции в механике. Из эксперимента следует, что величина эдс самоиндукции пропорциональна ско- рости изменения силы тока и величине, называемой индуктивностью. 59.1 Индуктивность контура Электрический ток, текущий в проводящем контуре, создает в окружаю- щем пространстве магнитное поле. Полный магнитный поток Ψ, пронизываю- щий контур (сцепленный с ним), будет прямо пропорционален току: LI (59.1) Коэффициент пропорциональности L между полным магнитным потоком (потокосцеплением) и силой тока называется индуктивностью контура или ко- эффициентом самоиндукции контура. Индуктивность ( L) это скалярная физическая величина, характеризу- ющая магнитные свойства электрической цепи и равная отношению полного магнитного потока, сцепленного с контуром, к силе тока, текущему по контуру и создающему этот поток: Электромагнетизм 203 I L (59.2) Линейная зависимость Ψ от I наблюдается только в том случае, если маг- нитная проницаемость μ среды, которой окружен контур, не зависит от напря- женности поля Н. Это означает, что среда должна быть неферромагнитная. В противном случае μ сложным образом зависит от тока и, следовательно, зави- симость полного магнитного потока от тока также будет довольно сложная. Однако, соотношение (59.1) распространяют и на этот случай, считая индук- тивность L функцией тока I. Из сказанного следует, что индуктивность зависит от геометрической формы и размеров контура, а также магнитных свойств среды, в которой он находится. Если контур жесткий и вблизи него нет ферромагнетиков, то индук- тивность является величиной постоянной. За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого про- водника (контура), у которого при силе тока в нем 1 А возникает сцепленный с ним полный проток Ψ, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн). Гн А Вб L (генри*). Индуктивность можно рассчитывать на основе геометрии проводника. Пример . Расчет индуктивности соленоида. Возьмем соленоид такой длины, чтобы его можно было считать беско- нечным. На практике это означает, что l d (рис. 59.1). При протекании по обмотке тока I внутри соленоида возбуждается однородное магнитное поле, индукция которого In B 0 , где l N n плотность намотки; I сила тока. Полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом N Ф , где Ф магнитный поток, пронизывающий один виток, N число витков соленоида. S B Ф , где B индукция магнитного поля; S площадь поперечного сечения соленоида. Записанные соотношения подставим в формулу (59.2), получим: lS n I InSN L 2 0 0 , (59.3) ________________________________________________________________________________________________________________________ *Генри Джозеф (1799–1878), американский физик. l d Рисунок 59.1 Электромагнетизм 204 или V n l S n L 2 0 2 0 , (59.4) или l S N L 2 0 , (59.5) где V lS объем соленоида. Из формулы (59.4) следует, что индуктивность соленоида, не имеющего ферромагнитного сердечника, пропорциональна квадрату плотности намотки витков. 59.2. Эдс самоиндукции Самоиндукция является частным случаем явления электромагнитной ин- дукции. Воспользуемся законом Фарадея для электромагнитной индукции (см. формулу (58.2)): dt d s Согласно (59.1) полный магнитный поток: LI Сделаем замену, получим: dt LI d s (59.6) Если сила тока в контуре изменяется, то эдс самоиндукции будет равна: dt dI dI dL I L dt dI dI dL I dt dI L dt dL I dt dI L dt LI d s . (59.7) Величину dI dL I L обозначим через L дин и назовем динамической ин- дуктивностью. В случае изменяющейся силы тока dt dI L s дин (59.8) Если контур жесткий и вблизи него нет ферромагнетиков, то индуктив- ность L является величиной постоянной, и ее называют статической. В этом случае: dt dI L s , (59.9) так как в выражении (59.7) производная индуктивности по току при этих усло- виях обращается в нуль: 0 dI dL Электромагнетизм 205 Из формул (59.8) и (59.9) следует, что эдс самоиндукции пропорциональ- на скорости изменения силы тока. Знак « » обусловлен правилом Ленца, со- гласно которому индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодей- ствовать причине его вызывающей. Соотношение (59.9) дает возможность определить индуктивность как ко- эффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в кон- туре и возникающей вследствие этого эдс самоиндукции. Однако, такое опре- деление правомерно лишь в случае, когда const L 59.3 Токи при замыкании и размыкании цепи При замыкании цепи, содержащей постоянную эдс, сила тока за счет эдс самоиндукции устанавливается не мгновенно, а через некоторый промежуток времени. При выключении источника (размыкании цепи) ток не прекращается мгновенно. Это объясняется тем, что в контуре появляется индукционный ток, который по правилу Ленца противодействует изменению тока в цепи, вызвав- шего явление самоиндукции. Индукционный ток, накладываясь на основной ток, замедляет его возрастание или препятствует его убыванию. Установим характер изменения тока в цепи, содержащей индуктивность. Будет считать, что индуктивность не зависит от тока, т.е. const L а) Замыкание цепи К параллельно соединенным сопротивлению R и индуктивности L с помо- щью переключателя П может быть подключен источник, эдс которого ε (рис. 59.2). После подключения источника эдс до тех пор, пока сила тока не достигнет установившегося значения I 0 , в цепи кроме эдс ε будет действовать эдс самоин- дукции ε s . По закону Ома: dt dI L IR s Разделив это уравнение на L, приведем его к следую- щему виду: L I L R dt dI Решая данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение (по- пробуйте выполнить это самостоятельно) и, учтя, что в момент времени t=0 сила тока равна нулю, получим: t L R e I I 1 0 (59.10) График возрастания силы тока приведен на рис. 59.3. Из графика следует, что чем меньше индук- L R П Рисунок 59.2 R L 1 1 R L 2 2 > t 0 I 0 I Рисунок 59.3 Электромагнетизм 206 тивность цепи и больше ее сопротивление, тем быстрее нарастает ток. б) Размыкание цепи. В момент времени t=0 отключим источник переключателем П (рис. 59.2). Сила тока начнет убывать, в цепи возникает эдс самоиндукции. По закону Ома: dt dI L IR s Разделим уравнение на L, получим: 0 I L R dt dI Решая данное линейное однородное дифференциальное уравнение (по- пробуйте выполнить это самостоятельно) и учтя, что при t=0 сила тока имела значение I 0 , получим: t L R e I I 0 (59.11) После отключения источника сила тока в цепи убывает по экспоненциальному закону. График зави- симости I = f(t) приведен на рис. 59.4. Из графика сле- дует, что чем больше индуктивность и чем меньше со- противление, тем медленнее спадает ток в цепи. §60 Взаимная индукция Взаимной индукцией называется явление возникновения электродви- жущей силы в одном из контуров при изменении тока в другом Рассмотрим два близко расположенных контура 1 и 2 (рис. 60.1). В кон- туре 1 течет ток I 1 , который создает магнитный поток Ф 21 , пронизывающий контур 2: 1 21 21 I L Ф (60.1) Коэффициент пропорциональности L 21 называ- ется взаимной индуктивностью или коэффици- ентом взаимной индукции контуров 1 и 2. Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы I 2 возникает магнитный поток Ф 12 , сцепленный с контуром 1: 2 12 12 I L Ф , (60.2) где L 12 – коэффициент взаимной индукции контуров 2 и 1. Взаимная индуктивность – это скалярная физическая величина, харак- теризующая магнитную связь двух или более контуров. Взаимная индуктив- ность зависит от размеров и формы контуров 1 и 2, расстояния между ними, от 1 R L 1 R L 2 2 > t 0 I 0 I Рисунок 59.4 1 2 I I 2 1 B 1 B 2 Рисунок 60.1 Электромагнетизм 207 их взаимного расположения, а также от магнитной проницаемости окружаю- щей их среды. Измеряется взаимная индуктивность в генри. Согласно закону электромагнитной индукции при изменении тока I 1 в контуре 2 индуцируется эдс: dt dI L dt d 1 21 21 2 Ф . (60.3) При изменении тока I 2 в контуре 1 индуцируется эдс: dt dI L dt d 2 12 12 1 Ф (60.4) Если контуры находятся в неферромагнитной среде, то 21 12 L L . Поэтому можно не делать различия между L 12 и L 21 и просто говорить о взаимной индук- тивности двух контуров. Найдем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный железный сердечник (рис. 60.2). Если в первой катушке N 1 вит- ков и по ней течет ток I 1 , то по закону полного тока (см. формулу (51.7)): 1 1 I N l H , (60.5) где l длина сердечника; H напряженность поля внутри сердечника. Полный маг- нитный поток (потокосцепление) через вторую катушку: 2 0 2 21 HSN BSN , (60.6) где S площадь поперечного сечения сердечника: Из (60.5) l I N H 1 1 (60.7) (60.7) подставим в (60.6), получим: 1 2 1 0 21 I l S N N (60.8) Сравнение выражения (60.8) с формулой (60.1) позволяет сделать вывод, что l S N N L 2 1 0 21 (60.9) Аналогичное значение можно получить для L 12 : l S N N L 2 1 0 12 (60.10) В данном случае нельзя утверждать, что L 12 равно L 21 , т.к. величина μ, входящая в формулы, зависит от напряженности H поля в сердечнике. N 2 N 1 B Рисунок 60.2 Электромагнетизм 208 На явлении взаимоиндукции основана работа трансформатора, который служит для повышения или понижения напряжения переменного тока. §61 Энергия магнитного поля Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 61.1. Если замкнуть переключа- тель П, то по цепи потечет ток, который создает в ка- тушке (соленоиде) магнитное поле. Если разомкнуть переключатель, то через сопротивление R будет течь убывающий ток, поддерживаемый возникающей в со- леноиде эдс самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt: LIdI Idt dt dI L Idt A s , (61.1) (эдс самоиндукции s заменили по формуле (59.9)). Работа, совершаемая в цепи за все время, в течение которого исчезает магнитное поле: 2 2 0 LI LIdI A I , (61.2) так как ток при этом уменьшается от первоначального значения I до нуля. Работа, вычисленная по формуле (61.2), идет на нагревание сопротивле- ния R, соленоида и соединительных проводов. Совершение работы сопровож- дается исчезновением магнитного поля, которое существовало в соленоиде. Так как никаких других изменений не произошло, можно сделать вывод, что маг- нитное поле является носителем энергии, за счет которой совершается работа. По закону сохранения энергия магнитного поля: 2 2 LI W (61.3) Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. Если соленоид длинный, то его индуктивность V n L 2 0 , Напряженность поля внутри соленоида nI H , отсюда n H I (см. формулы (59.4) и (50.17)). Подставим значение L и I в выражение (61.3) и, проведя преобразования, получим: L R П Рисунок 61.1 Электромагнетизм 209 V H W 2 2 0 (61.4) Так как магнитное поле бесконечного соленоида однородно, то энергия распределена по его объему с постоянной плотностью w Объемная плотность энергии магнитного поля равна отношению энергии к объему: 2 2 0 м H V W w . (61.5) Используя соотношение (49.3), можно формуле (61.5) придать вид: 0 2 2 0 м 2 2 2 B BH H w (61.6) Из формулы (61.6) следует, что носителем энергии является магнитное поле, ко- торое локализовано в пространстве с объемной плотностью w . Объемная плот- ность энергии пропорциональна квадрату напряженности магнитного поля. §62 Магнитные измерения Магнитные измерения это измерения характеристик магнитного поля или магнитных свойств веществ (материалов). К измеряемым характеристикам магнитного поля относятся: вектор магнитной индукции B , напряженность магнитного поля H , поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) Ф, градиент магнитного поля и др. Для измерения магнитных характеристик применяют следующие методы: баллистический, магнетометрический, электродинамический, индукционный, мостовой, нейтронографический, резонансный и др. Баллистический метод основан на измерении баллистическим гальвано- метром количества электричества q, переносимого индукционным током через надетую на образец измерительную катушку с числом витков N при быстром изменении сцепленного с ней магнитного потока Ф. Изменение магнитного по- тока N qR Ф , где R сопротивление цепи. Баллистическим методом определяют основную кривую индукции B = f(H), кривую намагничивания J = f(H), петлю гистерезиса, различные виды проницаемости. Магнетометрический метод основан на воздействии исследуемого намаг- ниченного образца на расположенный вблизи него постоянный магнит. Распро- странен действующий по этому принципу астатический магнитометр. Он со- Электромагнетизм 210 стоит из двух одинаковых последовательно включенных в цепь катушек намагничивающей и компенсационной, между которыми на подвесе укреплен магнитный датчик: система из двух линейных магнитов одинаковых размеров с равными магнитными моментами (астатическая система). Магниты расположе- ны параллельно друг другу полюсами в разные стороны. Действие магнитных полей катушек на астатическую систему взаимно компенсировано. Образец, помещаемый в намагничивающую катушку, нарушает скомпенсированность полей и вызывает поворот системы магнитов. По углу поворота системы опре- деляют магнитный момент образца. Далее можно вычислить J, B и H. Метод дает возможность найти зависимость B(H) и J(H), петлю гистерезиса и магнит- ную восприимчивость. Благодаря высокой чувствительности магнитометриче- ского метода его применяют для измерения геомагнитного поля и решения ряда метрологических задач. Иногда для измерения характеристик магнитного поля, в частности в промышленных условиях, применяется электродинамический метод, при кото- ром измеряется угол поворота рамки с током, находящейся в магнитном поле намагниченного образца. Преимущество метода возможность градуирования шкалы прибора непосредственно в единицах измеряемой величины в Тл (для B) и А/м (для Н). Для исследования ферромагнитных веществ в широком интервале значе- ний Н используют индукционный метод, который позволяет измерять B(H), J(H), петлю гистерезиса и различные виды проницаемости. Он основан на из- мерении эдс индукции, которая возбуждается во вторичной обмотке, намотан- ной на образец, при пропускании намагничивающего переменного тока через первичную обмотку. Этот метод может быть также использован для измерения намагниченности в сильных импульсных магнитных полях и магнитной вос- приимчивости диа- и парамагнитных веществ в радиочастотном диапазоне. Этот метод используется, в частности, в индукционном магнитометре, в кото- ром исследуемый образец колеблется в магнитном поле и при этом возбуждает эдс в измерительных катушках. Приборы для магнитных измерений классифицируют по их назначению, условиям применения, по принципу действия чувствительного элемента (дат- чика, или преобразователя). Приборы для измерения напряженности магнитно- го поля H его индукции B , магнитного момента и ряда других магнитных ха- рактеристик вещества обычно называют магнитометрами, из них некоторые имеют свое наименование: для измерения магнитного потока флюксметры или веберметры; потенциала поля магнитные потенциалометры; градиента градиентометры; коэрцитивной силы коэрцитиметры и т.д. Индуктивность элементов электрических цепей определят с помощью прибора, который называют измерителем индуктивности (генриметр). Со- временные генриметры обеспечивают измерение индуктивности в диапазоне 10 –8 ÷10 5 Гн при погрешности до 0,1%. |