Том-1_РУ-1. Учебное пособие для студентов инженерно технических специальностей высших учебных заведений. Донецк

• Название: Учебное пособие для студентов инженерно технических специальностей высших учебных заведений. Донецк
• Дата: 21.04.2022
• Размер: 2.41 Mb.
• Имя файла: Том-1_РУ-1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #489103
• страница: 2 из 20

Глава 1. Кинематика поступательного и вращательного движения
§4 Кинематика материальной точки
4.1 Основные понятия кинематики
Для описания реальных движущихся тел в механике пользуются в зави- симости от условий конкретной задачи различными физическими моделями:
______________________________________________________________________________________________________________________
*Ньютон Исаак (1642–1727), английский физик, математик и астроном.
*Эйнштейн Альберт (1879–1955), немецкий физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии
1921 г.

Физические основы механики
18
материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсо- лютно неупругое тело.
Материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Например, при исследовании движения ав- томобиля из одного пункта в другой, его можно считать материальной точкой.
Если же вы изучаете движение водителя, находящегося внутри автомобиля, то автомобиль надо рассматривать как протяженное тело.
Абсолютно твердым телом называется тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между со- бой.
Абсолютно упругим телом называется тело, которое после прекращения внешнего силового воздействия полностью восстанавливает свои первоначаль- ные размеры и форму.
Абсолютно неупругим телом называется тело, которое после прекраще- ния внешнего силового воздействия полностью сохраняет деформированное состояние, вызванное этим воздействием.
4.2 Система отсчета. Траектория. Путь. Перемещение
Положение тела в пространстве всегда указывается относительно других тел. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется те-
лом отсчета. Чтобы определить положение исследуемого тела, с телом отсче- та жестко связывают систему координат, снабженную часами. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов, отсчитывающих время, называется системой отсчета. В дальнейшем мы будем пользоваться прямоугольной декартовой системой координат.
Линия, описываемая в пространстве движу- щейся точкой, называется траекторией. В зависи- мости от вида траектории движение делят на прямо- линейное и криволинейное. Частным видом криво- линейного движения является движение по окружно- сти.
Пусть материальная точка, двигаясь по некоторой траектории (рис. 4.1), переместилась из точки 1 в точку 2. Расстояние S
12
между точками 1 и 2, отсчи- танное вдоль траектории, называется длиной пройденного пути или просто
пройденным путем.
Если материальная точка повернет обратно и дойдет до точки 3, то полный путь равен: S=S
12
+S
23
Путь всегда выражается положительным числом.
Вектор, соединяющий начальное и конечное положения точки, называется перемещением. Обо- значается r
 (рис. 4.2).
1
3
2
Рисунок 4.1
1
2
r
Рисунок 4.2

Физические основы механики
19
4.3 Способы задания положения тела в пространстве
Основная задача кинематики – определить положение тела в любой момент времени. Обычно положение тела определяют с помощью координат.
Движение точки считается полностью определенным, если заданы уравнения, описывающие изменение координат точки со временем:
 
t
x
x

 
t
y
y

 
t
z
z

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки.
Координаты тела можно задавать несколькими способами.
1. Табличный способ.
При этом способе для каждого момента времени указывают значение ко- ординаты тела и представляют эту зависимость в виде таблицы. Например:
t, с 0 2 4 6 8 10 12 14
x, м 2 6 18 38 66 102 146 198 2. Графический способ.
Зависимость координат от времени дается в виде графика. Например, для равномерного прямолинейного движения эта зависимость имеет вид, представленный на рис. 4.3.
3. Аналитический способ.
Зависимость координат от времени задается в виде формул.
Пример: для равномерного прямолинейного движения координата зависит от времени:
t
x
x
v


0
Если тело движется по плоскости, то можно описывать зависимость ко- ординаты
y от координаты x, т.е.
)
(x
f
y

. При этом координаты
y
и x зависят от времени, т.е. )
(t
f
y

, )
(t
f
x

. Зависимость
)
(x
f
y

называется урав- нением траектории.
Пример
:
t
A
x


sin
1
,
t
A
y


cos
2
. Проведя преобразования, получим:
1 2
2 2
2 1
2


A
y
A
x
. Траекторией тела является эллипс.
4. Положение тела в пространстве можно задавать радиус-вектором r

Радиус-вектор
r

– это вектор, проведенный из начала координат в точку, где находится тело
(рис. 4.4). Радиус-вектор можно разложить на со- ставляющие:
x
x
t
0 0
Рисунок 4.3
M
y
x
i
j
k
r
x
z
y
z
Рисунок 4.4

Физические основы механики
20
z
k
y
j
x
i
r







, где i

, j

, k

– единичные векторы (орты).
4.4 Скорость
Для характеристики быстроты движения тела в механике вводится поня- тие скорости. Пусть в момент времени t тело находилось в точке 1, положение которой задается радиус-вектором r

. За время
t оно совершило перемещение
r
 и оказалось в точке 2 (рис. 4.5).
Скорость тела определяется как предел отно- шения перемещения r
 к промежутку времени t, за который оно произошло, при условии, что
t стре- мится к нулю:
r
dt
r
d
t
r
t












0
lim
v
(4.1) с
м
]
[

v
Скорость
(
v ) –
векторная физическая вели-
чина, характеризующая быстроту изменения положения тела в простран-
стве и равная первой производной радиус-вектора по времени
Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону движения. Модуль скорости
v определяется как производная пути по времени:
dt
dS

v
,
(4.2)
Из (4.2) следует, что путь
dS
, пройденный за элементарно малое время
dt
будет определяться следующим образом:
 
dt
t
dS
v

Путь, пройденный телом за конечный промежуток времени от
t
1
до
t
2
, находится интегрированием:


2 1
)
(
t
t
dt
t
S
v
(4.3)
Пройденный путь численно равен площади за- штрихованной криволинейной трапеции (рис. 4.6).
Если направление вектора скорости не изменяет- ся, то движение называется
прямолинейным
Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется
равномерным
y
x
v
S
1 2
r
r
r
r
0
Рисунок 4.5
v( )
t
t
t
1 2
t
S
Рисунок 4.6

Физические основы механики
21
При равномерном движении скорость тела постоянна const


t
S
v
(4.4)
Путь, пройденный телом при равномерном движении, зависит от времени линейно:
t
S
v

(4.5)
Если тело движется неравномерно, то величина, равная отношению прой- денного пути
S к промежутку времени t, в течение которого был пройден путь, называется
средней скоростью
за этот промежуток времени
t
S




 v
(4.6)
(Средние значения величин будем обозначать заключением этих величин в уг- ловые скобки).
4.5 Ускорение
Чтобы охарактеризовать изменение скорости тела с течением времени, используется величина, называемая ускорением.
Пусть в момент времени t тело находилось в точке 1, имея скорость
1
v .
Через время
t оно переместилось в точку 2, при этом его скорость стала рав- ной
2
v (рис. 4.7 а).
Приращение вектора скоро- сти равно
1 2
v
v
v






(рис. 4.7 б).
Чтобы охарактеризовать быстроту изменения скорости, используется величина:
v
v
v












dt
d
t
a
t 0
lim
2
с м
]
[

a
Принимая во внимание (4.1), можно записать:
2 2
dt
r
d
dt
d
a




 v
(4.7)
Ускорение
( a ) –
векторная физическая величина, характеризующая
быстроту изменения вектора скорости и равная производной вектора ско-
рости по времени.
Ускорение направлено по вектору приращения скорости
v
 .
При прямолинейном движении направление скорости остается постоян- ным, поэтому вектор ускорения a или совпадает с направлением скорости, или
y
x
v
1 2
r
1
v
2 1
r
2 0
Рисунок 4.7 1
v
1
v
2
v
б) а)

Физические основы механики
22
противоположен ему. Если модуль ускорения при этом не изменяется с течени- ем времени, то в первом случае движение будет равноускоренным, во втором – равнозамедленным. Скорость движения в любой момент времени будет опре- деляться соотношением:
t
a


0
v
v
(4.8) где
0
v – начальная скорость тела, т.е. скорость в момент времени t=0. Знак
«плюс» относится к равноускоренному движению, «минус» – к равнозамедлен- ному.
Интегрируя функцию (4.8) в пределах от 0 до произвольного момента времени t, найдем формулу для расчета пройденного пути (см. формулу (4.3)):


2 2
0 0
0
at
t
dt
at
S
t





v
v
(4.9)
Отметим, что формула (4.9) дает правильный результат для пройденного пути только в том случае, если за время t направление движения точки (знак скорости) не изменяется.
Если скорость изменяется с течением времени произвольным образом, то величина, равная отношению изменения скорости
v к промежутку времени t, в течение которого изменялась скорость, называется
средним ускорением
за этот промежуток времени
t
a





v
(4.10)
При криволинейном движении вектор скорости
v изменяет свое направ- ление. При этом может изменяться и его численное значение, т.е. модуль.
В этом случае вектор ускорения a удобно раскла- дывать на две составляющие. Одна из них

a – каса- тельная к траектории, вторая
n
a

– перпендикулярна этой касательной (рис. 4.8). Составляющая

a

называется
тангенциальным
(касательным) ускорением; состав- ляющая
n
a

–
нормальным
(центростремительным) ускорением. Из рис. 4.8 следует, что
n
a
a
a






(4.11)
Модуль полного ускорения равен
2 2
n
a
a
a



(4.12)
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по величине и равно первой производной модуля скорости по времени:
dt
d
a
v


(4.13)
v
a
a
a
n
Рисунок 4.8

Физические основы механики
23
Если скорость по величине не изменяется, то а

= 0.
Если d
v > 0, то тангенциальное ускорение

a
направлено по вектору скорости, если
d
v < 0, то

a
направлено в сторону, противоположную вектору скорости.
Нормальное (центростремительное) ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено по радиусу к центру кривизны траектории.
Численное значение нормального ускорения определяется формулой:
R
a
n
2
v

(4.14)
Если направление скорости не изменяется, то
а
n
= 0.
Примеры:
1) Тело движется прямолинейно, равномерно:
a
n
= 0,
a

=0.
2) Тело движется прямолинейно, равноускоренно (равнозамедленно):
a
n
= 0,
a

=const.
3) Тело вращается по окружности с постоянной по величине скоростью:
a
n
= const,
a

=0.
4) Тело вращается по окружности равноускоренно (равнозамедленно):
a
n

t
2
,
a

=const.
§5 Кинематика вращательного движения
Вращательное движение – движение, при котором все точки абсолютно твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой. Эта прямая называется осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных этой оси.
5.1 Характеристики вращательного движения
Рассмотрим вращение материальной точки относительно оси OO

(рис. 5.1). Вращение характеризуют угловым перемещением.
Угловое перемещение
(

d ) – вектор, модуль которого
равен углу поворота, выраженному в радианах
.
Направлено угловое перемещение по оси вращения так, что если смотреть с конца вектора

d , то направление вращения радиус-вектора происходит против часовой стрелки
(рис. 5.1).
Угловая скорость
(

) – векторная физическая
величина, характеризующая быстроту вращения и равная
первой производной углового перемещения по времени
.
dt
d





,
(5.1)
r
O
O
Рисунок 5.1

Физические основы механики
24
с рад
]
[


Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора углового перемещения.
Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом
t



(5.2)
Равномерное вращение принято характеризовать периодом вращения и частотой вращения.
Период вращения
(Т) – время, в течение которого совершается один
полный оборот
. За время, равное периоду, тело поворачивается на угол 2

Отсюда следует, что
T



2
(5.3)
Частота вращения
(

) – число оборотов за единицу времени.





2 1
T
,



2
(5.4) c
1
]
[


Вектор угловой скорости

может изменяться как за счет изменения скорости вращения (в этом случае он изменяется по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае изменяется направление угловой скорости). Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуют угловым ускорением.
Угловое ускорение
(

) – векторная физическая величина,
характеризующая быстроту изменения угловой скорости и равная первой
производной угловой скорости по времени.
dt
d





(5.5)
2
с рад
]
[


Рассмотрим случай, когда ось вращения неподвижна.
1.
Если
d
 > 0, то движение ускоренное. При этом вектор углового ускорения
 совпадает по направлению с вектором угловой скорости  (рис. 5.2.а).
2.
Если
d
 < 0, то движение замедленное. При этом вектор углового ускорения
 направлен в сторону, противоположную вектору угловой скорости
 (рис. 5.2.б).
Векторы, направление которых связывается с направлением вращения (

d
,
 ,  ) называются
аксиальными
векторами или псевдовекторами.

Физические основы механики
25
При равнопеременном вращательном движении имеют место соотношения, аналогичные формулам, описывающим равнопеременное прямолинейное движение (см. (4.8) и (4.9)):
t





0
,
(5.6)
2 2
0
t
t





(5.7)
5.2 Связь между линейными и угловыми характеристиками
Точка, отстоящая от оси вращения на расстоянии
R
(рис. 5.3), при повороте тела на угол
 за время
dt
проходит путь
S = R
. (5.8)
Продифференцируем уравнение (5.8) по времени:
dt
d
R
dt
dS


(5.9)
Из него следует


R
v
(5.10)
Продифференцируем уравнение (5.10) по времени
dt
d
R
dt
d


v
(5.11)
Отсюда следует



R
a
(5.12)
Кинематические величины, характеризующие вращательное движение и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения. Эта аналогия прослеживается в таблице 10.1, приведенной на с. 52.
R
S
O
Рисунок 5.3 а) б)
Рисунок 5.2

Физические основы механики
26