Том-1_РУ-1. Учебное пособие для студентов инженерно технических специальностей высших учебных заведений. Донецк
 Скачать 2.41 Mb.
|
|
Глава 2. Динамика поступательного и вращательного движения §6 Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела Динамика – раздел механики, изучающий движение тел с учетом причин, вызывающих это движение. 6.1 Основные понятия динамики 1. Масса (m) – скалярная физическая величина, являющаяся мерой инерт- ных и гравитационных свойств тела. Может служить мерой энергосодержа- ния. [m] = кг. Основные свойства массы: - масса в классической механике не зависит от скорости движения; - масса является величиной аддитивной, т.е. масса системы тел равняется сумме масс тел, входящих в систему; - масса замкнутой системы остается величиной постоянной, т.е. выполняется за- кон сохранения массы. Плотность ( ) – скалярная физическая величина, характеристика материа- ла, численно равная массе единицы объема. V m (6.1) 3 м кг ] [ 2. Импульс тела ( p ) – векторная физическая величина, равная произведе- нию массы тела на его скорость v m p (6.2) с м кг ] [ p Направление импульса тела совпадает с направлением скорости. 3. Сила ( F ) – векторная физическая величина, являющаяся мерой механи- ческого воздействия на тело других тел или полей . Сила характеризуется модулем (численным значением), направлением действия, точкой приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. ) ньютон ( Н ] [ F Действие силы может быть статическим и динамическим. Статическое действие проявляется в возникновении деформаций, динамическое – в возник- новении ускорений. Вид формулы для расчета силы зависит от природы взаи- модействий. Физические основы механики 27 6.2 Виды взаимодействий В классической механике приходится иметь дело с гравитационными и электромагнитными взаимодействиями, которые проявляются по-разному, и поэтому, могут быть представлены различными конкретными силами. Эти силы принято выражать законами. 1. Гравитационные взаимодействия. Закон всемирного тяготения. Две материальные точки массами m 1 и m 2 притягиваются друг к другу с си- лой прямо пропорциональной массам этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними (рис. 6.1). 2 2 1 r m m G F , (6.3) где 2 2 11 кг м Н 10 67 , 6 G – гравитационная постоянная. Если одно из взаимодействующих тел – Земля, а тело массой m находится на высоте h от поверхности Земли, то закон всемирного тяготения записывается в виде 2 h R m M G F , где М – масса Земли; R – средний радиус Земли. На поверхности Земли (или вблизи поверхности) h 0. В этом случае 2 R m M G F Можно ввести обозначение g R M G 2 , где g – ускорение свободного падения. Величину mg F тяж (6.4) называют силой тяжести. 2. Электромагнитные взаимодействия Частными случаями проявления электромагнитных взаимодействий яв- ляются силы упругости и силы трения. В курсе механики они не рассматрива- ются с атомистической точки зрения, так как этим занимается физика твердого тела. Для сил упругости и трения можно получить лишь приближенные, эмпи- рические (т.е. основанные на опыте) формулы. m 1 m 2 F 1 F 2 F 1-2 F 2-1 F r Рисунок 6.1 Физические основы механики 28 а) Закон Гука *. Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменение раз- меров и формы тел). Если после прекращения действия сил восстанавливаются прежняя форма и размеры тела, то деформация называется упругой. Для упру- гих деформаций справедлив закон Гука: Сила упругости пропорциональна абсолютному удлинению x k F x , (6.5) где F x – проекция силы упругости на ось х ; k – жесткость пружины; x – абсолютное удлинение пружины. Однородные стержни при растяжении или сжатии ведут себя подобно пру- жине. Для них также справедлив закон Гука, который принято формулировать следующим образом: Механическое напряжение прямо пропорционально относительному удлинению. E (6.6) Механическое напряжение: S F , (6.7) где F – упругая сила, действующая перпендикулярно площади поперечного сечения стержня S Относительное удлинение: 0 l l , (6.8) где l – приращение длины; l 0 – первоначальная длина; Е – модуль Юнга*, Па м Н ] [ 2 E Модуль Юнга (модуль упругих деформаций) – физическая величина, ха- рактеризующая упругие свойства материала. Зависит от природы материала. б) Закон сухого трения Сила трения скольжения пропорциональна модулю силы нормальной ре- акции опоры и не зависит от площади соприкосновения тел (рис. 6.2) N F тр , (6.9) где – коэффициент трения скольжения. Он зависит от природы материалов и качества обработки соприкасаю- щихся поверхностей. Значения коэффициентов трения определяют экспериментальным путем. ________________________________________________________________________________________________________________________ *Гук Роберт (1635–1703), английский физик. *Юнг Томас (1773–1829), английский ученый. N F F Рисунок 6.2 Физические основы механики 29 в) Закон вязкого трения На тело, движущееся в вязкой (жидкой или газообразной) среде, действу- ет сила, тормозящая его движение. Эта сила называется силой вязкого трения. v r F , (6.10) где v – скорость движения тела; r – коэффициент сопротивления. Коэффициент r зависит от формы и размеров тела, характера его поверхно- сти, а также от свойств среды. Знак «–» указывает на то, что сила трения направлена противоположно скорости. Например, если шарик диаметром d па- дает в жидкости с установившейся скоростью v , то сила сопротивления выра- жается формулой Стокса v d F 3 c , (6.11) где – вязкость жидкости. г). Закон Архимеда *. На тело, погруженное в жидкость ( газ ), действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости ( газа ) (рис. 6.3). gV F ж A , (6.12) где ж – плотность жидкости (газа); V – объем погруженной части тела. 6.3 Сложение сил Как правило, на тело действует не одна сила, а несколько. Равнодействую- щей нескольких сил называется сила, действие которой эквивалентно одновремен- ному действию этих сил. Равнодействующая равна векторной сумме действующих сил. Складываются силы по правилу параллелограмма (рис. 6.4). 2 1 F F F , F – равнодействующая (результирующая) сил 1 F и 2 F . Из теоремы косинусов следует, что модуль равнодействующей двух сил рассчитывается по фор- муле: cos 2 2 1 2 2 2 1 F F F F F F 6.4 Разложение сил Для упрощения анализа физических процессов и математических выкла- док нередко приходится прибегать к разложению сил на составляющие по ________________________________________________________________________________________________________________________ *Архимед из Сиракуз (ок. 287–212 до н.э.), древнегреческий математик, механик и астроном. F mg A Рисунок 6.3 F F F 1 2 Рисунок 6.4 Физические основы механики 30 каким-либо направлениям. Разложение вектора на составляющие состоит в за- мене вектора двумя или несколькими векторами, сумма которых равна данному вектору. Векторную величину можно полностью характеризовать проекциями данного вектора на оси прямоугольной системы координат. Обычно при нахождении проекций вектора сначала находят его составляющие по осям. Для этого из начала и конца вектора опускают перпендикуляры на соответ- ствующие координатные оси (рис 6.5). Если составляю- щая совпадает с положительным направлением оси, то проекцию берут со знаком «плюс», если нет, то со знаком «минус». На рис. 6.5 проекция силы тяжести g m на ось 0x равна sin mg , а проекция на ось 0y равна cos mg : sin mg mg F x x , cos mg mg F y y 6.5 Основные законы динамики материальной точки (законы Ньютона) Динамика базируется на законах Ньютона, которые математически не вы- водятся, а являются обобщением опыта. 6.5.1 Первый закон Ньютона Первый закон Ньютона устанавливает факт существования инерциальных систем отсчета и описывает характер движения свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямоли- нейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не изменят этого состояния. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называ- ется инерциальной. Свойство тел сохранять неизменным состояние своего дви- жения по отношению к инерциальным системам отсчета, когда внешние воз- действия на тело отсутствуют или взаимно уравновешиваются, называется инерцией Первый закон Ньютона можно сформулировать и таким образом. Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно, если на это тело не действуют другие тела или действие этих тел ском- пенсировано. Любая другая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью также является инерциальной. 6.5.2 Второй закон Ньютона Скорость изменения импульса тела равна результирующей всех сил, действующих на тело. y 0 mg x Рисунок 6.5 Физические основы механики 31 dt p d F (6.13) Проведем анализ уравнения (6.13). Импульс тела равен v m p . Сделаем замену в (6.13) и продифференцируем произведение: dt d m dt dm dt m d F v v v ) ( (6.14) 1. Если 0 dt dm , то это уравнение описывает движение тела с переменной массой. Уравнение (6.14) можно применять не только в тех случаях, когда мас- са меняется с течением времени (например, при полете ракеты), но и при изме- нении массы с изменением скорости. Это бывает при больших скоростях дви- жения, приближающихся к скорости света в вакууме. 2. Если масса тела остается постоянной const m , т.е. 0 dt dm , то уравне- ние (6.14) примет следующий вид: a m dt d m F v , a m F (6.15) Результирующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. 3. Если const F , то, умножив обе части уравнения (6.13) на dt,получим: p d dt F Проинтегрируем полученное уравнение 2 1 2 1 t t p p p d dt F , или p t F (6.16) Величина, равная произведению силы на время действия этой силы t F , называется импульсом силы . Таким образом: Импульс силы равен изменению импульса тела. На основании второго закона Ньютона можно сделать вывод, что измене- ния скоростей материальных точек или тел происходят не мгновенно, а в тече- ние конечных промежутков времени. 6.5.3 Третий закон Ньютона Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и про- тивоположны по направлению. Физические основы механики 32 21 12 F F (6.17) Таким образом, силы всегда возникают попарно. Силы, фигурирующие в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам, поэтому они не уравно- вешивают друг друга. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. 6.6 Динамика системы материальных точек. Закон сохранения импульса Совокупность материальных точек (тел), выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в эту систему. Поэтому силы, которые действуют на тела системы, делят на внешние и внутренние. Внут- ренние силы обусловлены взаимодействием тел, входящих в систему. Внешние силы обусловлены взаимодействием с телами, не входящими в систему. Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы. Рассмотрим систему тел (рис. 6.6), которые взаимодействуют как между собой, так и с внешними телами. Обозначим: k i f – внутренняя сила, действующая на i-ое тело со стороны k-го тела; i F – равнодействующая внешних сил, дей- ствующих на i-ое тело. Для каждого тела запишем второй закон Ньютона. 1 3 1 2 1 1 F f f dt p d , 2 3 2 1 2 2 F f f dt p d , 3 2 3 1 3 3 F f f dt p d Сложим уравнения почленно: 3 2 1 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 3 2 1 F F F f f f f f f p p p dt d По третьему закону Ньютона 1 2 2 1 f f , i k k i f f , поэтому каждая из скобок равна нулю. Сумма внешних сил, действующих на тела системы, называется главным вектором внешних сил. F 1 f 1-2 f 1-3 f 2-1 f 2-3 F 2 f 3-1 f 3-2 F 3 1 2 3 Рисунок 6.6 Физические основы механики 33 F F F F 3 2 1 , где F – главный вектор внешних сил. Сумма импульсов тел, входящих в систему: p p p p 3 2 1 , где p –импульс системы тел. Таким образом, для системы тел получим уравнение: F dt p d . (6.18) Скорость изменения суммарного импульса системы тел равна глав- ному вектору внешних сил. Допустим теперь, что главный вектор внешних сил равен нулю, т.е. 0 F . Такая система является замкнутой. В этом случае 0 dt p d Если производная некоторой величины равна нулю, то эта величина по- стоянна. Поэтому из последнего уравнения следует, что const p , или const 3 2 1 p p p , (6.19) const 3 3 2 2 1 1 v v v m m m (6.20) Формулы (6.19) и (6.20) выражают закон сохранения импульса: Импульс замкнутой системы материальных точек (тел) остается постоянным. Рассмотрим частные случаи выполнения закона сохранения импульса. 1. Пусть 0 i F , т.е. на систему действуют внешние силы, но их векторная сумма равна нулю: N i i F 1 0 . В этом случае 0 dt p d . Это означает, что импульс системы сохраняется. 2. Пусть 0 i F , N i i F 1 0 , но равна нулю сумма проекций этих сил на ка- кое-либо направление, например, на направление оси x: N i ix F 1 0 . Из уравне- ния (6.18) следует, что для этой проекции 0 dt dp x , а поэтому N i ix p 1 const . Та- Физические основы механики 34 ким образом, полный импульс системы не сохраняется, но сохраняется проек- ция импульса на направление оси x. 2. Пусть 0 i F , N i i F 1 0 , но время действия сил dt очень мало, т.е. dt 0. При этом p d также стремится к нулю: 0 p d . В этом случае const p им- пульс системы сохраняется. Примером является взаимодействие тел при ударе, взрыве. §7 Динамика вращательного движения При изучении законов движения материальной точки был введен ряд ди- намических характеристик: масса, импульс, сила. Если твердое тело движется поступательно, то все его точки двигаются по одинаковым траекториям, т.е. с одинаковой скоростью. Если же твердое тело вращается, то все его точки движутся по концен- трическим окружностям, центры которых лежат на одной прямой. Все эти точ- ки движутся с разными линейными скоростями, а одинаковой у них будет угло- вая скорость . Поэтому необходимо ввести ряд новых физических величин – момент инерции, момент импульса, момент силы, которыми можно характери- зовать вращательное движение. 7.1 Основные характеристики динамики вращательного движения 7.1.1 Момент инерции Рассмотрим материальную точку массой i m , которая находится на рас- стоянии r i от неподвижной оси (рис. 7.1). Моментом инерции (J) материальной точки относительно оси называется ска- лярная физическая величина, равная произведению массы m i на квадрат расстояния r i до этой оси. 2 i i i r m J (7.1) 2 м кг ] [ J Момент инерции системы материальных точек будет равен сумме момен- тов инерции отдельных точек N i i i r m J 1 2 . (7.2) Момент инерции твердого тела находится интегрированием: m dm r J 2 (7.3) r i m i Рисунок 7.1 Физические основы механики 35 Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг неподвижной оси, подобно тому, как масса тела является ме- рой его инертности при поступательном движении. Таким образом: Момент инерции – мера инертных свойств твердого тела при вра- щательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения.Это означает, что момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения. Вычисление интеграла (7.3) представляет собой сложную задачу, поэтому приведем формулы для расчета момента инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр масс. Таблица 7.1. Формулы для расчета момента инерции тел правильной геометри- ческой формы относительно оси, проходящей через центр масс R R 1 R 2 R 1 R 2 l R 1. 2. 3. 4. 5. Тело Формула Шар Толстостенный цилиндр (труба) Тонкостенный цилиндр (обруч) R 1 R 2 Стержень Диск J= m(R +R ) 1 2 2 J= mR 2 5 2 2 2 1 J= mR 1 2 2 J= ml 1 12 2 J=mR 2 Физические основы механики 36 Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера*. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс парал- лельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. 2 c md J J (7.4) Пример: Найдем момент инерции стержня относительно оси, проходящей че- рез конец перпендикулярно ему (рис. 7.2). 2 c ' o ' o md J J , 2 l d , 3 4 12 1 2 2 2 ' o ' o ml l m ml J (7.5) Следует отметить, что всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или нахо- диться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной адди- тивной. 7.1.2 Момент импульса а) Момент импульса материальной точки относительно точки вращения О. Моментом импульса ( L ) материальной точки относительно точки О называется векторная физическая величина, равная векторному произве- дению радиус-вектора r , проведенного из точки О в место нахождения материальной точки, на вектор ее импульса p . p r L , (7.6) Модуль момента импульса материальной точки: sin rp L (7.7) с м кг ] [ 2 L Направлен вектор L перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы. Если смот- реть из конца вектора L , то кратчайший поворот от r к p происходит против часовой стрелки (рис. 7.3). Если материальная точка движется по окруж- ности радиусом r, то модуль момента импульса относительно центра окружнос- ти равен r m L v , (7.8) ________________________________________________________________________________________________________________________ *Штейнер Якоб (1796–1863), немецкий математик. m r p L O Рисунок 7.3 d=1/2 O O O O Рисунок 7.2 Физические основы механики 37 так как угол между векторами v и r равен =90. б) Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения z. Момент импульса (L z ) тела относительно оси z равен сумме проекций моментов импульсов отдельных точек на эту ось. N i z i z L L 1 (7.9) Рассмотрим однородное твердое тело (для простоты изображения выбран диск), вращающееся относительно неподвижной оси z. Выделим в нем элемен- тарный объем массой m i (рис. 7.4). В соответствии с (7.8) момент импульса ма- териальной точки: i i i r m L i v Линейная скорость i v связана с угловой скоростью соотношением i i r v Сделав замену, получим 2 i i z m r L z i i J m r 2 , где J z – момент инерции тела относительно оси z. Тогда z z J L (7.10) Так как вектор направлен по оси вращения, то вектор L также будет направ- лен по оси вращения. Тогда формулу (7.10) можно переписать в векторном виде J L (7.11) 7.1.3 Момент силы Внешне механическое воздействие изменяет вращательное движение тела. Чтобы охарактеризовать это воздействие вводят по- нятие момента силы. а) Момент силы относительно неподвижной точки. Моментом силы ( M ) относительно точки О называется векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора r , проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу F (рис. 7.5). F r M (7.12) Модуль момента силы определяется соотношением: L r m i v z Рисунок 7.4 O M F r d=rsin Рисунок 7.5 Физические основы механики 38 Fd rF M sin . (7.13) м Н ] [ M Величина sin r d называется плечом силы. Плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы (рис. 7.5). Направлен вектор M перпендикулярно к плоскости, в которой лежат пе- ремноженные векторы, причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора M образуют правовинтовую систему. б) Момент силы относительно неподвижной оси z. Рассмотрим тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z под действием силы F . Сила F лежит в плоскости, перпенди- кулярной оси вращения (рис. 7.6). Моментом силы (М) относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы на плечо силы. Fd M z , (7.14) где sin r d – плечо силы. в) момент пары сил Две равные по модулю противоположно направ- ленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил. Расстояние d между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары (рис 7.7). Модуль момента пары сил равен произ- ведению модуля силы на плечо пары Fd rF M sin . (7.15) Вектор момента M пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы. 7.2 Основное уравнение динамики вращательного движения Продифференцируем по времени уравнение (7.6), записанное для матери- альной точки: dt p d r p dt r d p r dt d dt L d , v dt r d , F dt p d , v m p Выполнив замену, получим d F M F r Рисунок 7.7 O Z r F A Рисунок 7.6 Физические основы механики 39 F r m dt L d v v Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю, т.е. 0 v v m Векторное произведение M F r . Таким образом: M dt L d (7.16) Скорость изменения момента импульса материальной точки равна суммарному моменту сил, действующих на точку. Твердое тело является системой материальных точек. На них действуют как внутренние, так и внешние силы. Для каждой из этих точек можно записать равенство внешн внутр i i i M M dt L d , где внутр i M – момент внутренних сил, внешн i M – момент внешних сил. Для твердого тела N i N i i i N i i M M L dt d 1 1 внешн внутр 1 L L N i i 1 момент импульса тела. Из третьего закона Ньютона следует, что суммарный момент внутренних сил равен нулю. Следовательно, N i M dt L d 1 внешн (7.17) Скорость изменения момента импульса тела равна суммарному мо- менту внешних сил, действующих на тело. Полученное выражение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Спроецируем уравнение (7.17) на ось z. Тогда z z M dt dL , z z J L , Если const z J , то можно записать z z M dt d J Учитывая, что производная угловой скорости по времени дает угловое ускоре- ние , получим: Физические основы механики 40 z z M J Векторы M и направлены вдоль оси вращения, поэтому, опустив индексы, это уравнение можно переписать в векторном виде J M (7.18) Уравнение (7.18) называется основным законом динамики твердого тела, вра- щающегося вокруг неподвижной оси. 7.3 Закон сохранения момента импульса Основное уравнение динамики вращательного движения, записанное в виде dt L d M , может быть применено как к телу, момент инерции которого меняется в про- цессе движения, так и к системе тел, вращающихся вокруг данной неподвиж- ной оси. Если на твердое тело не действуют внешние силы или равнодействующая этих сил не создает вращающего момента относительно оси вращения, то М=0. В этом случае изменение момента импульса ) ( J d dL равно нулю. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса твердого тела. Если на тело не действуют внешние силы или действуют так, что равнодействующая этих сил не создает вращающего момента относи- тельно оси вращения, то момент импульса тела относительно этой оси сохраняется. const J (7.19) Уравнению (7.19) можно придать следующую форму: 2 2 1 1 J J . (7.20) Из (7.20) следует, что угловая скорость тела в этом случае обратно пропорцио- нальна его моменту инерции. Закон сохранения момента импульса можно записать для системы тел. Если система тел, вращающихся относительно некоторой оси, замкнута, то внешние силы не действуют. В этом случае М=0. Изменение момента импульса системы тел тоже будет равно нулю. Это означает, что момент импульса систе- мы тел остается постоянным. Мы получили закон сохранения момента импуль- са для системы тел. Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным. const L (7.21) Соотношение (7.21) означает, что в замкнутой системе сумма моментов им- пульсов всех тел системы в любые два момента времени одинакова: Физические основы механики 41 ' ' ' 2 ' 2 ' 1 ' 1 2 2 1 1 n n n n J J J J J J , (7.22) где J и J – моменты инерции тел в произвольные моменты времени t и t , и – соответствующие им угловые скорости. Закон сохранения момента импульса можно применять и для незамкну- тых систем, если алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси вращения равна нулю. |