Том-1_РУ-1. Учебное пособие для студентов инженерно технических специальностей высших учебных заведений. Донецк
 Скачать 2.41 Mb.
|
|
Глава 3. Работа, мощность, энергия §8 Механическая работа. Мощность 8.1 Работа Пусть в некоторый момент времени на тело действует сила F , под дей- ствием которой тело совершает перемещение r d (рис. 8.1). Элементарной работой ( A ) называется ска- лярная физическая величина, равная скалярному про- изведению силы F на элементарное перемещение r d точки приложения силы. r d F A (8.1) В скалярном виде: cos Fdr A , (8.2) где – угол между направлениями силы и перемещения. Дж м Н ] [ A (джоуль*). Работа на конечном перемещении равна 2 1 r r r d F A (8.3) Если в процессе перемещения сила не меняется ни по модулю, ни по направле- нию ( const F ), то ее можно вынести за знак интеграла: 2 1 2 1 2 1 cos cos cos 1 2 r r r r r r r r F dr F Fdr r d F A Так как при прямолинейном движении S r r 1 2 , где S – пройденный путь (рис. 8.2), то cos FS A (8.4) ________________________________________________________________________________________________________________________ *Джоуль Джеймс Прескотт (1818–1889), английский физик. dr F v 1 2 Рисунок 8.1 S F F Рисунок 8.2 Физические основы механики 42 Проанализируем уравнение (8.2). 1. Работа является величиной алгебраической, т.е. она может быть положитель- ной и отрицательной. Если угол между F и r d острый ( 2 0 ), то рабо- та положительна, если угол тупой ( 2 ), то работа отрицательна. Например, работа силы трения отрицательна, так как сила трения направлена против перемещения. 2. Сила не совершает работы: а) если тело покоится ( r d =0); б) если направ- ление силы F перпендикулярно направлению перемещения r d ( 2 ). Например, центростремительные силы работы не совершают, так как r d F 8.2 Графическое представление работы Работу можно вычислить графически. 1. Рассмотрим случай, когда const F . Проекция силы F на заданное направ- ление r (рис. 8.3) равна: r F F cos График зависимости проекции F r от r представляет собой пря- мую линию (рис.8.4). Найдем работу 2 1 1 2 r r r r r S F r r F dr F A Очевидно, что работа постоянной силы равна площади заштрихованного пря- моугольника (рис. 8.4). 2. Если const F , то график зависимости проекции F r от r представляет собой не- ко- то- рую кривую (рис.8.5). Элементарная работа А равна площади узкой заштрихован- ной полоски dr F A r Работа на конечном перемещении 2 1 r r r dr F A F r r r r 1 2 r r 1 2 r F r Рисунок 8.4 Рисунок 8.5 F F r r Рисунок 8.3 Физические основы механики 43 будет изображаться площадью криволинейной трапеции (рис. 8.5). 8.3 Мощность Мощность (N) – скалярная физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы и численно равная работе, совершаемой за единицу времени. dt dA N (8.5) ) (ватт Вт с Дж ] [ * N Формула (8.5) дает значение мгновенной мощности. Подставив в (8.5) r d F A , получим v F dt r d F N (8.6) Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы на скорость тела. Если работа совершается за время t, то средняя мощность t A N (8.7) Эффективность работы принято характеризовать коэффициентом полезного действия (кпд). % 100 затр п А A , (8.8) где А п – полезная работа; А затр – затраченная работа. 8.4 Работа и мощность при вращательном движении Рассмотрим вращение твердого тела относительно неподвижной оси под действием силы, направленной по касательной к окружности (рис. 8.6). Элемен- тарная работа, совершаемая при повороте на угол d cos FdS A Сила F и перемещение S d параллельны, = 0, cos = 1. Rd dS , Тогда FRd A Произведение FR дает момент силы относительно оси вращения: M FR . Окончательно получим: Md A , (8.9) ________________________________________________________________________________________________________________________ *Уатт Джеймс (1736–1819), английский изобретатель. z R dS F Рисунок 8.6 Физические основы механики 44 2 1 12 Md A (8.10) Если M = const, то M A (8.11) Разделив работу на время dt, за которое тело повернулось на угол d , по- лучим мощность, развиваемую силой F: M dt d M dt A N , M N , (8.12) где – угловая скорость. §9 Энергия. Закон сохранения энергии Энергия – это единая мера всех форм движения материи и типов вза- имодействия материальных объектов. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. В соответствии с различными формами движения мате- рии рассматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную. Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная. 9.1 Кинетическая энергия Пусть на материальную точку массой m действует сила F . Найдем рабо- ту этой силы за время, в течение которого скорость точки изменится от v 1 до v 2 Элементарная работа силы F на перемещении r d r d F A По второму закону Ньютона dt p d F , v md p d . Приняв, что m = const, сделаем замену. В результате получим: v v d m dt r d p d A Проинтегрируем полученное выражение с учетом того, что скалярное произве- дение v v v v d d 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 v v v v v v v v v v m m d m d m A (9.1) Величину 2 2 v m обозначим через W к и назовем кинетической энергией Физические основы механики 45 2 2 к v m W (9.2) Кинетическая энергия (или энергия движения) – часть механической энергии, которая определяется массой и скоростью материальной точки (тела). Таким образом, изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело. 2 2 2 1 2 2 к v v m m W A (9.3) Выражение (9.3) называется теоремой об изменении кинетической энергии. Свойства кинетической энергии: 1. Кинетическая энергия – величина скалярная. 2. Кинетическая энергия – величина положительная. 3. Кинетическая энергия – величина относительная, т.к. скорость зависит от выбора системы отсчета. 4. Кинетическая энергия – величина аддитивная. Это означает, что кинетиче- ская энергия системы равна сумме кинетических энергий частиц (тел), вхо- дящих в систему. Энергия, которой обладает твердое тело, вращающееся вокруг неподвиж- ной оси, проходящей через центр масс тела, называется кинетической энергией вращательного движения этого тела. Эта энергия складывается из кинетических энергий материальных точек, составляющих тело: N i i i N i i i N i i i N i i r m r m m W W 1 2 2 1 2 2 1 2 1 вр к 2 2 2 v , где линейная скорость i r i v , а J r m N i i i 1 2 – момент инерции твердого тела. Тогда кинетическая энергия вращающегося тела 2 2 вр к J W (9.4) Для вращательного движения также справедлива теорема об изменении кинетической энергии: 2 2 2 1 2 2 J J A (9.5) Если все точки твердого тела перемещаются параллельно некоторой не- подвижной плоскости, то движение называется плоским. При плоском движе- нии тело может одновременно вращаться и двигаться поступательно. В этом случае полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий посту- пательного и вращательного движений и рассчитывается по формуле: Физические основы механики 46 2 2 2 2 вр к пост к к J m W W W v , (9.6) где v – скорость поступательного движения центра масс; – угловая скорость относительно оси, проходящей через центр масс. 9.2 Потенциальная энергия Потенциальная энергия – часть механической энергии, которая зави- сит от взаимного расположения тел или частей тела, а также от приро- ды сил, действующих между телами. 9.2.1 Консервативные и неконсервативные силы Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется лишь конечным и начальным положением тела, называют консервативными, а их поля – потенциальными. Примеры консервативных сил: гравитационные, упругие, кулоновские. Силы, работа которых зависит от формы траектории, называют неконсер- вативными или диссипативными, а их поля – непотенциальными. Примеры неконсервативных сил: силы сухого и вязкого трения, силы со- противления, силы давления газа, силы вихревого электрического поля; силы, развиваемые какими-либо «источниками» сил (машинами, двигателями и т.д.). 9.2.2 Работа и потенциальная энергия Рассчитаем работу некоторых консервативных сил. 1. Работа силы упругости. Для того, чтобы растянуть пружину, надо приложить к ней некоторую силу F. При этом возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе. По закону Гука kx F упр . Найдем работу, совершаемую силой упруго- сти при растяжении пружины от х 1 до х 2 : 2 2 ) ( 2 2 2 1 2 1 упр 2 1 kx kx dx kx r d F A x x , 2 2 2 1 2 2 kx kx A (9.7) Величину 2 2 kx обозначим через W п и назовем потенциальной энергией упруго деформированной пружины 2 2 п x k W (9.8) Физические основы механики 47 Тогда п п п W W W A 1 2 , (9.9) т.е. работа сил упругости равна убыли потенциальной энергии. Работа сил упругости не зависит от промежуточного значения координа- ты и определяется лишь ее конечным и начальным значениями. Следовательно, сила упругости – консервативная. 1. Работа силы тяжести. Пусть материальная точка массой m переместилась по про- извольной траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 9.1). Точки отстоят от поверхности Земли соответственно на расстоя- нии h 1 и h 2 . Работа, совершаемая силой тяжести cos mgr r g m A Из рис. 9.1 следует, что 2 1 cos h h r . Таким образом, 1 2 2 1 mgh mgh h h mg A (9.10) Величину mgh обозначим через W п и назовем потенци- альной энергией материальной точки (тела) в поле силы тяжести Земли. mgh W п (9.11) Работа силы тяжести также равна убыли потенциальной энергии. Она определяется только начальным и конечным положением тела, следовательно, сила тяжести является консервативной. Свойства потенциальной энергии: 1. Потенциальная энергия может быть только взаимной: она в одинаковой сте- пени характеризует оба взаимодействующих тела. Однако эту энергию часто приписывают одному из тел. Например, говорят о потенциальной энергии поднятого над Землей тела. Так поступают для удобства анализа. 2. Числовое значение потенциальной энергии зависит от выбора нулевого уров- ня (начала отсчета) потенциальной энергии. Выбрать нулевой уровень – значит выбрать такое относительное расположение взаимодействующих тел, при котором их взаимную потенциальную энергию можно условно принять равной нулю. 3. Потенциальная энергия может иметь как положительное, так и отрицатель- ное значение. Это связано с произвольностью выбора начала отсчета. 4. Состояние взаимодействующих тел можно описать потенциальной энергией только в том случае, если между телами действуют консервативные силы. 9.2.3 Графическое представление потенциальной энергии График зависимости потенциальной энергии от координат называется потенциальной кривой. Рассмотрим одну из возможных потенциальных кри- h h 1 h 2 1 mg r 2 Рисунок 9.1 Физические основы механики 48 вых для двух материальных точек (рис. 9.2). Одна из этих точек находится в начале координат, а вторая перемещается вдоль направления r Если при движении материальной точки ее потенциальная энергия резко возрастает, то говорят о существовании потенциального барьера , о высоте ба- рьера, его ширине, наклоне стенок и т.д. Например, для точки, находя- щейся в положении 1 с координатой r 1 высота барьера W п , а ширина барьера 1 2 r r . Если потенциальный барьер встречается на пути точки как в поло- жительном, так и в отрицательном направлениях оси r , то говорят, что точка находится в потенциальной яме . На рис. 9.2 – это участок 4-3-1. Форму и глубину потенциальной ямы определяет вид зависимости потенци- альной энергии от координат. Приведем примеры реальных потенциальных кривых. На рис. 9.3 а изображена потенциальная кривая материальной точки, со- вершающей колебания на пружине. Ее потенциальная энергия 2 2 п r k W Как следует из рисунка, материальная точка находится в потенциальной яме с симметричными стенками. На рис. 9.3 б изображена потенциальная кривая взаимодействия двух мо- лекул реального газа. Особенностью кривой является ее асимметрия: один край крутой, а другой – пологий. Кривая на рис. 9.3 в изображает потенциальную энергию свободных электронов в металле и за его пределами. Свободные электроны в металле находятся в потенциальной яме. Стенки ямы почти вертикальны. Это означает, 0 4 1 2 r r r r 1 0 2 W n 3 W n Рисунок 9.2 W n 0 r W n W n 0 0 r r Металл а) б) в) Рисунок 9.3 Физические основы механики 49 что электрическая сила, действующая на электроны на границе металла с ваку- умом очень велика. Гладкое горизонтальное дно ямы означает, что на свобод- ные электроны внутри металла сила не действует. Анализ потенциальных кривых взаимодействия частиц в твердом теле позволяет установить характер и границы движения частиц, объяснить причи- ны теплового расширения и т.д. Рассмотрение потенциальных кривых свобод- ных электронов в металлах позволяет понять и объяснить такие явления, как термоэлектронная эмиссия, возникновение контактной разности потенциалов, термоэлектродвижущей силы и т.д. 9.3 Закон сохранения механической энергии Материальная точка может одновременно обладать и кинетической, и по- тенциальной энергией. Сумма кинетической и потенциальной энергий точки называется ее полной механической энергией W п к W W W (9.12) Рассмотрим систему, которая состоит из N материальных точек, взаимо- действующих друг с другом. Силы взаимодействия между точками будем счи- тать консервативными. Система также находится под воздействием внешних сил, как консервативных, так и неконсервативных. Определим работу, совер- шаемую этими силами. Суммарная работа всех сил по теореме об изменении кинетической энергии 1 2 к к W W A С другой стороны, работа А равна сумме работ, совершаемых внешними консервативными и неконсервативными силами, а также внутренними консер- вативными: внутр конс внеш неконс внеш конс A A A A Работа внутренних консервативных сил равна убыли взаимной потенци- альной энергии тел 1 2 внутр конс п п W W A Если система является замкнутой (см. п. 6.6), то 0 внеш конс A , 0 внеш неконс A . В этом случае 1 2 1 2 к к п п W W W W Сгруппируем члены уравнения следующим образом: 2 2 1 1 п к п к W W W W Это означает, что для любых двух состояний: const п к W W (9.13) Физические основы механики 50 Мы пришли к закону сохранения механической энергии. Полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек (тел), между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. Действие неконсервативных сил (например, сил трения) уменьшает меха- ническую энергию системы. Такой процесс называется диссипацией энергии («диссипация» означает «рассеяние»). Силы, приводящие к диссипации энер- гии, называются диссипативными. При диссипации энергии механическая энергия системы преобразуется в другие виды энергии (например, во внутрен- нюю энергию). Преобразование идет в соответствии со всеобщим законом при- роды – законом сохранения энергии. Закон сохранения энергии применим ко всем без исключения процессам в природе. Его можно сформулировать следующим образом: Полная энергия изолированной системы всегда остается постоянной, энергия лишь переходит из одной формы в другую. §10 Соударение тел Предельными, идеализированными видами соударений являются абсо- лютно неупругий и абсолютно упругий удары. Абсолютно неупругим называ- ется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не воз- никает; кинетическая энергия тел частично или полностью переходит во внутреннюю. После удара тела движутся с одинаковой скоростью (т.е. как од- но тело) или покоятся. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса. Механическая энергия не сохраняется – она частично или полностью переходит во внутреннюю. Абсолютно упругим называется удар, при котором полная механиче- ская энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия снова переходит в кинетическую и тела разлетаются. При таком ударе выполняются закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса. Рассмотрим центральный удар двух однородных шаров. Удар называет- ся центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры (рис. 10.1). Предположим, что шары движутся поступательно (т.е. не вращаясь), и что они образуют замкнутую си- стему. Обозначим массы шаров через m 1 и m 2 , скорости шаров до удара 1 v и 2 v , после удара 1 u и 2 u m 1 m 2 m 2 m 1 a v 1 v 2 v 1 v 2 б x x Рисунок 10.1 Физические основы механики 51 1. Абсолютно неупругий удар. По закону сохранения импульса u m m m m 2 1 2 2 1 1 v v (10.1) где u – общая скорость шаров после удара. Отсюда 2 1 2 2 1 1 m m m m u v v (10.2) Для числовых расчетов все векторы проецируются на ось х (рис. 10.1). 2. Абсолютно упругий удар. Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии: 2 2 1 1 2 2 1 1 u m u m m m v v (10.3 а) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 u m u m m m v v (10.3 б) Решив полученную систему уравнений (попробуйте выполнить это самостоя- тельно), найдем скорости шаров после удара. 2 1 1 2 1 2 2 1 2 m m m m m u v v (10.4) 2 1 2 1 2 1 1 2 2 m m m m m u v v (10.5) Чтобы выполнить расчеты, необходимо спроецировать векторы скоростей на ось х (рис. 10.1). Если при расчете какая-то проекция скорости окажется от- рицательной, то это означает, что вектор этой скорости направлен в сторону, противоположную направлению оси х. В заключение отметим, что величины, характеризующие динамику враща- тельного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соот- ветствующим величинам и формулам поступательного движения. Эта аналогия прослеживается в таблице 10.1. Физические основы механики 52 Таблица 10.1. Сопоставление формул кинематики и динамики поступательного и вращательного движения Поступательное движение Вращательное движение S путь угол поворота dt r d v линейная скорость dt d угловая скорость dt d a v линейное ускорение dt d угловое ускорение Равномерное движение v =const, t S v Равномерное вращение =const, =t Равнопеременное движение а =const , at 0 v v 2 2 0 at t S v Равнопеременное вращение =const , t 0 2 2 0 t t m – масса тела J – момент инерции v m p – импульс тела J L – момент импульса твердого тела относительно оси вращения F – сила F dt p d – основное уравнение динамики поступательного движения Если m = const, то a m F M – момент силы M dt L d – основное уравнение динамики вращательного движения Если J =const, то J M 2 2 пост к v m W – кинетическая энергия 2 2 вр к J W – кинетическая энергия 2 2 2 1 2 2 v v m m A – теорема об изменении кинетической энергии 2 2 2 1 2 2 J J A – теорема об изменении кинетической энергии dr F A r – работа d M A – работа v F N – мощность M N – мощность |