Учебное пособие к физическому практикуму для учащихся 911 классов лицея
 Скачать 0.77 Mb.
|
|
Пружинный маятник Пружинный маятник – колебательная система, представляющая со- бой совокупность некоторого тела массы m и прикрепленной к нему пру- жины, массой которой можно пренебречь по сравнению с массой тела. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружин- ный маятник – рис. 15), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник – рис. 16). Анализ свободных колебаний, совершае- мых пружинным маятником, значительно упро- щается, если: 1) силы трения, действующие на те- ло, пренебрежимо малы, и поэтому их можно не учитывать; 2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что их можно счи- тать упругими и в соответствии с этим пользо- ваться законом Гука ( x k F упр − = , где x - жест- кость пружины). Рис. 15 Для установления причин свободных колебаний пружинного маят- ника рассмотрим процесс колебаний горизонтального пружинного маятни- ка (рис. 16). На тело, прикрепленное к пружине, действуют три силы: сила тяже- сти mg F т = , сила реакции опоры N и сила упругости упр F . Силы т F и 0 x x mgr y F r X O 53 N уравновешивают друг друга и в сумме дают ноль, поэтому остается лишь сила упругости упр F Когда тело отводится на рас- стояние А влево от положения рав- новесия, пружина оказывается сжа- той и на тело начинает действовать сила упругости, направленная впра- во. В этот момент она максимальна. Отпустим тело. Под действием силы упругости оно начнет двигаться с пе- ременным ускорением вправо, и че- рез время, равное четверти периода, дойдет до положения равновесия. В этот момент сила упругости и ус- корение обратятся в ноль. Но тело не Рис. 16 остановится, а вследствие инертности сохранит в этот момент свою скорость и продолжит движение вправо. Пружина начнет растягиваться, и появится возрастающая сила упругости, направленная влево. Она будет тормозить движение тела, и через некото- рое время на расстоянии A x = от положения равновесия тело на мгнове- ние остановится, а затем начнет двигаться в обратную сторону к положе- нию равновесия. Еще через некоторое время оно по инерции пройдет это положение и, наконец, снова окажется на расстоянии A слева от него ( A x − = ) Тем самым завершится одно полное колебание. В дальнейшем весь процесс повторится сначала. Получим уравнение, описывающее свободные колебания горизон- тального пружинного маятника. x O = X x A = − O X O x A = X x A = − O X а б в г 54 По второму закону Ньютона упр F ma = , так как силы т F и N урав- новешивают друг друга. Перепишем это уравнение в проекции на горизон- тальную ось OX . С учетом закона Гука получим: x k a m x − = или x m k a x − = (25) Уравнение (25) называют уравнением свободных колебаний пру- жинного маятника. Оно справедливо и для горизонтального пружинного маятника (рис. 16), и для вертикального пружинного маятника (рис. 15). Рассмотрим движение тела, подвешенного на пружине (рис. 15). На тело действуют сила упругости упр F и сила тяжести mg F т = . Действием трения пренебрежем. Направим ось OX вертикально вниз. Начало отсчета (точку О) выберем на уровне положения равновесия тела. В положении равновесия пружина растянута на величину 0 x , значение которой опреде- ляется из закона Гука: mg x k = 0 , где k - жесткость пружины, m - масса тела, g - ускорение свободного падения. Отсюда k mg x = 0 Растянем пружину на величину x относительно положения равнове- сия тела. Тогда проекция силы упругости на ось OX : ( ) ( ) x x k F x упр + − = 0 , где x - координата тела относительно положения равновесия. Величина ( ) x x + 0 представляет собой удлинение пружины. По второму закону Ньютона: ( ) mg x x k ma x + + − = 0 , где x a - проек- ция ускорения на ось OX . Подставляя в это уравнение значение 0 x , получим окончательно: x k ma x − = или x m k a x − = (26) Уравнение (26) не содержит силы тяжести. Сила тяжести, действуя на тело, вызывает растяжение пружины на постоянную величину 0 x , но 55 это не влияет на характер движения тела, просто колебания происходят относительно положения равновесия тела при растянутой на величину 0 x пружине. Таким образом, свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины: 1.Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела x от положения равновесия и направленной всегда к этому положе- нию. 2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не оста- навливается в положении равновесия, а продолжает двигаться в прежнем направлении. Для нахождения периода свободных колебаний пружинного маятни- ка сравним формулы (25),(26) и (18). Из них видно, что m k = 2 ω и m k = ω Так как ω π 2 = T , то k m T π 2 = (27). Эта формула определяет период свободных колебаний пружинного маятника. Превращение энергии при гармонических колебаниях При гармонических колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. При движении тела к положению равновесия его потенциальная энергия убывает, а кинетиче- ская возрастает. В момент прохождения телом положения равновесия его потенциальная энергия минимальна, а кинетическая энергия максимальна. Полная механическая энергия системы п к E E E + = , где к E - кинетическая энергия, п E - потенциальная энергия. Для пружинного маятника в момент прохождения телом положения 56 равновесия 2 2 max m к mv E E = = , 0 = п E ; в крайних точках 2 2 max kA E E п = = , 0 = к E , в промежуточных точках 2 2 2 2 kx mv E + = На колеблющееся тело всегда действуют силы трения (силы сопро- тивления движению), поэтому свободные колебания тела с течением вре- мени затухают, то есть их амплитуда уменьшается до нуля. Вынужденные колебания. Резонанс Колебания тела или системы, совершаемые под действием внешней периодически изменяющейся силы за счет работы этой силы, называют вынужденными. Частота вынужденных колебаний равна частоте измене- ния внешней силы, действующей на тело. При совпадении частоты изме- нения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных ко- лебаний резко возрастает амплитуда вынужденных колебаний. Это явле- ние называют механическим резонансом. Возрастание амплитуды вынуж- денных колебаний при резонансе тем больше, чем меньше трение в систе- ме. Методика и техника эксперимента Лабораторная работа 11 Измерение периода колебаний математического маятника Цель работы : отработать прием измерения периода колебаний маят- ника с использованием секундомера; экспериментально проверить зависи- мость периода колебаний математического маятника от его массы и длины подвеса. Оборудование: общий вид экспериментальной установки показан на рис. 17. Установка содержит: стержень штатива с муфтой и лапкой, нить, измерительную ленту, секундомер, грузы по 100 г. (2 шт.). 57 Для проведения собранный штатив размещают так, чтобы конец лапки вы- ступал на 5-10 см за край поверхности рабочего стола. На конце нити де- лают петлю, за которую подвешивают груз. Другой конец нити зажимают в лапке. При этом груз должен находиться на высоте 2-3 см от пола Порядок выполнения работы 1.Измеряют длину подвеса с помощью измерительной ленты. Записывают показа- ния в табл. 12. 2.Груз отводят в сторону так, чтобы нить составляла с вер- тикалью угол порядка 0 10 , и отпускают, одновременно включая секундомер. 3.Определяют время 30-40 полных колебаний, записы- вают в таблицу. Подсчиты- вают период колебаний по формуле: n t T = , где t - время колебаний, n - коли- чество колебаний, совер- шенных за это время. Пери Рис. 17 од записывают в табл. 12 4. За петлю нити зацепляют еще один груз. 5. Проводят измерения с двумя грузами (п. 2,3). 6. Уменьшают длину нити примерно в два раза, измеряют ее с помощью измерительной ленты. Значение новой длины записывают в табл. 12 58 7. Проводят измерения с одним грузом (см. п. 2,3). Результаты заносят в табл. 12 Таблица 12 l m, кг t, с n экспер T , c теор T , c теор экс T T T − = Δ % 100 ⋅ Δ теор T T 1 l m 1 l 2m 2 l m 2 l 2m Обработка результатов эксперимента 1. Подсчитывают по формуле периода колебаний математического маятника g T l π 2 = значение теор T . Результаты записывают в табл 12. 1. Подсчитывают абсолютную ошибку измерения по формуле теор экс T T T − = Δ 2. Подсчитывают относительную ошибку измерения по формуле % 100 ⋅ Δ теор T T 4. Сравнивают периоды колебаний математических маятников (под- вешен один груз), имеющих разную длину. Объясняют полученные ре- зультаты. 5. Оформляют отчет по лабораторной работе. Требования к оформлению отчета. Отчет должен содержать: название работы, цель работы, краткие теоретические сведения, результаты измерений, оформленные в виде табл. 12, выводы по проделанной работе. 59 Лабораторная работа 12 Измерение ускорения свободного падения g Цель работы: отработать способ измерения ускорения свободного падения g с помощью груза на подвесе (математического маятника). Ус- корение свободного падения можно определить на основании зависимости периода свободных колебаний математического маятника от его длины и ускорения свободного падения g : g T l π 2 = . Из этой формулы следует: 2 2 4 T g l π = (28) Оборудование: общий вид экспериментальной установки показан на рис. 17. Установка содержит стержень штатива с муфтой и лапкой, нить, измерительную ленту, груз массой 100 г., секундомер. Для проведения опыта собранный штатив размещают так, чтобы ко- нец лапки выступал на 5-10 см за край поверхности рабочего стола. На конце нити делают петлю, за которую подвешивают груз. Другой конец нити зажимают в лапке. При этом груз должен находиться на высоте 2-3 от пола. Порядок выполнения работы 1.Измерительной лентой определяют расстояние от точки подвеса до середины груза. Записывают показания в табл. 13. 2.Груз отводят на 5-10 см в сторону, отпускают и одновременно включают секундомер. 3.Определяют время 30-40 полных колебаний, записывают в табли- цу. Подсчитывают период колебаний по формуле: n t T = , где t - время ко- лебаний, n - количество колебаний, совершенных за это время. Записыва- ют в табл. 13. 60 4.Уменьшают длину нити, измеряют расстояние от точки подвеса до середины груза. Записывают показания в табл. 13. Проводят измерения (см. п. 2 и 3). Результаты записывают в табл. 13 Таблица 13 м , l кг m, с t, n T экс g cp g теор ср g g g − = Δ % 100 ⋅ Δ теор g g 1 l 2 l Обработка результатов эксперимента. 1. Подсчитывают по формуле (28) ускорение свободного падения g для различных длин маятника l . 2. Подсчитывают среднее значение 2 2 1 g g g ср + = . Результат запи- сывают в табл. 13 3. Подсчитывают абсолютную ошибку по формуле теор ср g g g − = Δ где 2 8 , 9 c м g теор = 4. Подсчитывают относительную ошибку по формуле % 100 ⋅ Δ теор g g 5. Объясняют полученные результаты. Оформляют отчет по лабора- торной работе. Требования к оформлению отчета. Отчет должен содержать: название работы, цель работы, краткие теоретические сведения, результаты измерений, оформленные в виде табл. 13, выводы по проделанной работе. 61 Лабораторная работа 13 Измерение массы тела с помощью пружинного маятника. Цель работы: отработать метод измерения массы тела на основе зависи- мости периода колебаний пружинного маятника от массы его груза и же- сткости пружины. k m T π 2 = . Из этой формулы следует, что 2 2 4 π kT m = (29). Оборудование: общий вид экспериментальной установки приведен на рис. 18. Установка содержит: стержень штатива с муфтой и лапкой, спиральную пружину, желоб, грузы массой 100 г. (2 шт.), металлический брусок, се- кундомер, весы с разновесами. В лапке штатива закрепляют пру- жину. Она должна располагаться вертикально, свободным концом вниз. Желоб также закрепляют вертикально внешней шкалой к наблюдателю. Расстояние между пружиной и желобом должно быть не более 1-2 см. Порядок выполнения работы. Вначале измеряют коэффициент жесткости пружины. Для этого: 1.Замечают положение ее сво- бодного конца 1 X , записывают в табл. 14. Рис. 18 62 2. На пружину вешают два груза массой по 100 г. каждый и, после того, как колебания прекратятся, вновь замечают положение конца пружи- ны 2 X . Записывают в табл. 14 Вычисляют удлинение пружины 1 2 X X X − = Δ 3. Зная суммарную массу груза, подвешенного в пружине, вычисля- ют силу тяжести mg P = , действующую на грузы. Она равна силе упруго- сти X k F Δ − = , возникшей в пружине. 4. Найдя отношение величины силы, растягивающей пружину, к ее удлинению, получают коэффициент жесткости k . Записывают его значе- ние в табл. 14 Таблица 14 m, кг 1 X , м 2 X , м 1 2 X X X − = Δ , м м Н X mg k , Δ = Определив жесткость пружины k , приступают к измерению периода колебаний маятника. Для этого: 1. К пружине подвешивают брусок, оттягивают его от положения равновесия, отпускают и одновременно включают секундомер. 2. Измеряют время, за которое брусок совершит 15-20 колебаний. Записывают в табл. 15. Подсчитывают период колебаний по формуле: n t T = , где t - время колебаний, n - количество колебаний, совершенных за это время. Эксперимент проводят 3-4 раза. Результаты измерений запи- сывают в табл. 15 Таблица 15 Номер опыта м Н k, t, с n T, с m, кг ср m , кг бр m , кг 1 2 3 63 Обработка результатов эксперимента 1. Зная жесткость пружины k и период колебаний маятника T, по формуле (29) подсчитывают значение массы бруска для каждого эксперимента. 2. Подсчитывают 3 3 2 1 m m m m ср + + = 3. Полученный результат проверяют, измерив массу бруска бр m на весах. Объясняют полученные результаты. Оформляют отчет по лабораторной работе. Требования к оформлению отчета Отчет должен содержать: название работы, цель работы, краткие теоретические сведения, результаты измерений, оформленные в виде табл. 15, выводы по проделанной работе. Контрольные вопросы 1. Какое движение называют колебательным? 2. Какие колебания называют свободными? 3. Какие колебания называют вынужденными? С какой частотой они про- исходят? 4. Какие колебания называют гармоническими? Какое уравнение выражает смысл гармонического колебания? 5. Что называют амплитудой колебания? 6. Что называют периодом колебаний? Какова единица измерения периода колебаний? 7. Что называют частотой колебаний? Напишите формулы линейной и циклической частоты колебаний. Назовите единицы их измерения. 8. Что называют фазой гармонического колебания? Что понимают под на- чальной фазой? 9. Какой маятник называют математическим? 10. Сделайте рисунок, иллюстрирующий процесс свободных колебаний математического маятника. 64 11. Получите формулу для определения периода свободных колебаний ма- тематического маятника. 12. Какой маятник называют пружинным? 13. Сделайте рисунок, иллюстрирующий процесс свободных колебаний пружинного маятника (колебания груза на пружине). 14. Выведите уравнение движения пружинного маятника. 15. Получите формулу для определения периода свободных колебаний пружинного маятника. 16. Опишите процесс превращения энергии при гармоническом колеба- тельном движении на примере пружинного маятника. 17. По каким формулам определяют полную механическую энергию гар- монически колеблющегося тела в момент прохождения им точки равнове- сия и крайних точек движения? 18. По какой формуле определяют полную механическую энергию гармо- нически колеблющегося тела в момент прохождения между точкой поло- жения равновесия и крайней точкой движения? 19. Почему свободные колебания маятника затухают? При каких условиях колебания могут стать незатухающими? 20. Что называют механическим резонансом? Каково условие резонанса? 21. Опишите установку для измерения периода колебаний математическо- го маятника и порядок выполнения работы. 22. Опишите установку для измерения периода колебаний пружинного ма- ятника и измерения массы тела с помощью пружинного маятника. |