Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В

• Название: Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
• Дата: 16.10.2022
• Размер: 3.28 Mb.
• Имя файла: algebra.pdf
• Тип: Учебное пособие; #736986
• страница: 11 из 71

7.2. Вычисления. Над озёрами летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озёрах. Сколько было гусей в стае. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B и встретились в 70 км от Продолжая двигаться с теми же скоростями, они доехали дои и повернули обратно. Второй раз они встретились в 90 км от B. Найдите расстояние от A до B.

Условия задач. Пароход от Горького до Астрахани идёт 5 суток, а от
Астрахани до Горького 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Горького до Астрахани. Два человека A и B должны попасть из пункта в пункт N, расположенный в 15 км от M. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. A отправляется в путь пешком, а B едет на велосипеде до встречи с пешеходом C, идущим изв Дальше B идёт пешком, а C едет на велосипеде до встречи си передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в а) Когда должен выйти из N пешеход C, чтобы A и прибыли в пункт N одновременно (если он идёт пешком стой же скоростью, что A и б) Когда должен выйти из N пешеход C, чтобы время,
затраченное A и B на дорогу в N, было наименьшим (C идёт пешком стой же скоростью, что A и B; время, затраченное на дорогу, считается от момента выхода A и B из M до момента прибытия последнего из них в N)?
7.3. Неравенства. Города и B расположены на реке на расстоянии км друг от друга. На что пароходу потребуется больше времени проплыть от A дои обратно или проплыть 20 км по озеру. В деревне A 100 жителей, в деревне B 50 жителей. В каком месте шоссе, соединяющего деревни, нужно построить баню, чтобы общее расстояние, которое нужно пройти всем 150 жителям до бани и обратно, было наименьшим. В таблице размером 10 × 10 записано 100 чисел.
В каждой строке выбрано наименьшее число и среди них выбрано наибольшее число A. В каждом столбце выбрано

Глава 7. Текстовые задачи наибольшее число и среди них выбрано наименьшее число. Может ли оказаться, что A > B?
7.10. Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причём никакие двое не собрали одинакового количества грибов.
Докажите, что среди них есть трое грибников, собравших вместе не менее 50 грибов. Школьники одного класса ходили в два туристических похода. В каждом походе мальчиков было меньше общего количества участников похода. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников был по крайней мере водном походе. Целочисленные приближения. В классе провели контрольную работу. Оказалось,
что у мальчиков средняя оценка 4; у девочек 3,25; у всех вместе 3,6. Сколько мальчиков и сколько девочек писали контрольную работу, если известно, что в классе больше и меньше 50 человек. В отчёте о лыжном забеге сказано, что 96% его участников выполнили норму. Известно, что эта цифра дана с точностью до 0,5%. Каково наименьшее число участников этого забега. В карьере заготовлено 120 гранитных плит пот и 80 плит пот. На железнодорожную платформу можно погрузить дот. Какое наименьшее число платформ потребуется, чтобы вывезти все плиты. Груз весом 13,5 т упакован в ящики так, что вес каждого ящика не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Весом пустого ящика можно пренебречь. Десять рабочих должны собрать из деталей 50 изделий. Сначала детали каждого изделия нужно покрасить;
на это одному рабочему требуется 10 минут. После окраски детали 5 минут сохнут. На сборку изделия одному рабоче

Решения задач
91
му требуется 20 минут. Сколько рабочих нужно назначить малярами и сколько монтажниками, чтобы работа была выполнена в кратчайшее время (Двое рабочих не могут одновременно красить или монтировать одно и тоже изделие. Соответствия. На консультации было 20 школьников и разбиралось задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника.
Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задачи все задачи были разобраны. В библиотеке поставили две доски. На одной доске читатель записывает число читателей, которых он застал,
войдя в читальный зала на другой — сколько читателей оставалось, когда он уходил из библиотеки. Рано утром и поздно вечером читателей в библиотеке не было. Докажите, что задень на обеих досках появятся одни и те же числа (возможно, в другом порядке. Подряд выписаны n чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчёркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчёркнутых чисел положительна. Докажите, что число всех цифр в последовательности, равно числу всех нулей в последовательности, Решения. Из второго стакана убавилось молока ровно столько, сколько в него добавилось чая. Поэтому чая в молоке ровно столько,
сколько молока в чае. Ответ км. Можно считать, что велосипедист всё время едет водном направлении (длина пути от этого не меняется

Глава 7. Текстовые задачи
Его скорость в 2 раза больше скорости пешехода, поэтому зато время, за которое пешеход пройдёт 5 км, велосипедист проедет км. Ответ. Мысленно добавим к стае какую-нибудь птицу, например, утку, которая летит со стаей до самого последнего озера. Тогда на каждом озере садится ровно половина птиц,
причём на седьмом озере садятся две птицы — гусь и утка. Значит,
в стае было 2 птиц, из них 2 7
− 1 = 127 гусей. Ответ км. Пусть x — расстояние от A до B. До первой встречи оба велосипедиста вместе проехали x км, а до второй км. Значит, велосипедист, выехавший из A, к моменту второй встречи проехал 3 · 70 = 210 км. С другой стороны, он проехал км. Поэтому x = 210 − 90 = 120 км. Ответ. Пусть v — скорость течения реки, u — скорость парохода, l — расстояние от Горького до Астрахани. По условию + v
= 5 и v
= 7; требуется найти l/v. Из системы уравнений l = 5u + 5v, l = 7u − 7v находим l/v = 35.
7.6. а) Чтобы A и B прибыли в пункт N одновременно, они должны пройти пешком одно и тоже расстояние x км и проехать на велосипеде одно и тоже расстояние 15 − x. Тогда C до встречи с B тоже должен пройти пешком расстояние x. Поэтому C до встречи с A проедет на велосипеде 15 − 2x, а после этого A проедет на велосипеде 15 − x. Всего A и C вместе проедут на велосипеде − 3x. За это же время B пройдёт пешком x, поэтому − те км. B до встречи с C едет − x
15
=
1 15
·
105 11
=
7 часа C до встречи с B идёт
x
6
=
1 6
·
60 11
=
10 ч, поэтому C должен выйти из M зач до того, как A и B отправятся в путь изб) Чтобы A и B затратили на дорогу наименьшее время, они должны прибыть в N одновременно, те. они должны пройти пешком одинаковые расстояния. Действительно, пусть A проходит пешком расстояние x и проезжает на велосипеде 15 − x, а проходит y и проезжает 15 − y. Тогда время, затраченное A, равно, а время, затраченное B, равно 1 +Нас интересует большее из этих чисел оно должно быть наименьшим. Зато же самое время, за которое A проходит пешком расстояние x, B и C успевают проехать на велосипеде расстояние y) + (15 − y − x). Поэтому − x − 2y
15
=
x
6
, те Решения задач
93
Прямая x = y пересекает прямую 7x + 4y = 60 в точке 11
,
60 Для любой другой точки прямой 7x + 4y = 60 координата x или координата y будет больше.
Задача о том, когда должен выйти C, чтобы A и B прибыли одновременно, — это в точности задача а. Пусть скорость парохода равна v, скорость течения реки равна w. Если v 6 w, то пароход вообще не сможет плыть против течения. Если жетона путь изв и обратно требуется время + w
+
10
v
− w
=
20v
v
2
− а на то, чтобы проплыть 20 км по озеру, требуется время 20/v.
7.8. Пусть расстояние между деревнями равно a. Предположим, что баня построена на расстоянии x от деревни A (0 6 x 6 Тогда общее расстояние равно 200x + 100(a − x)= 100x+ 100a. Оно минимально, когда x = 0. Это означает, что баню нужно построить в деревне A.
7.9. Ответ нет, не может. Пусть на пересечении строки,
в которой стоит число A, и столбца, в котором стоит число B, стоит число x. Тогда A 6 x 6 B.
7.10. Пусть a
1
>
a
2
>
. . . > a
7
— количество грибов, собранных грибниками. Если a
3
>
16, то a
2
>
17 и a
1
>
18, поэтому+ a
2
+ a
3
>
51. Если a
3 6
15, то a
4 6
14, a
5 6
13, a
6 6
12 и a
7 поэтому a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7 6
50, а значит, a
1
+ a
2
+ a
3
>
50.
7.11. Первое решение. По условию в каждом походе мальчиков было меньше 2/3 девочек, участвовавших в походе.
Следовательно, в каждом походе мальчиков было меньше 2/3 всех девочек, учащихся в классе. Каждый мальчик был хотя бы водном походе, поэтому мальчиков в классе меньше 4/3 всех девочек,
т. е. мальчиков меньше 4/7 общего числа учеников.
В тор о ере ш е ни е. Пусть всего в классе x мальчиков и девочек в первом походе было мальчиков и девочек, во втором и y
2
. По условию 5x
1
<
2(x
1
+ y
1
), поэтому 3x
1
<
2y
1 Аналогично 3x
2
<
2y. Следовательно, 3(x
1
+ x
2
) < 4y. Кроме того,
по условию x
1
+ x
2
>
x. Поэтому 3x < 4y, те. Пусть в классе x мальчиков и y девочек. Тогда + 3,25y
x + y
=
= 3,6, те. Значит, x = 7a и y = 8a для некоторого целого Поэтому число x + y = 15a делится на 15. Единственное число,
делящееся на 15, которое больше 30 и меньше 50, — это 45. Таким образом, x = 21 и y = 24.

Глава 7. Текстовые задачи. Пусть в забеге участвовало n лыжников, причём k из них не выполнили норму. По условию 3,5 6 100k/n 6 4,5. Значит, k > и n >
100k
4,5
>
22,2k > 22,2. Поэтому n > 23. Если в забеге участвовало лыжника, из которых норму не выполнил только один, то требуемое условие выполняется. На одну платформу нельзя погрузить 6 плит даже пот. Поэтому нужно по крайней мере 200/5 = 40 платформ. Сорока платформ достаточно на каждую платформу можно погрузить плиты пот и 2 плиты пот. Выделим 8 машин и будем последовательно их грузить,
причём каждый раз тот ящик, который уже нельзя погрузить,
будем ставить рядом с машиной. Погруженные ящики вместе с ящиками, стоящими рядом с машинами, весят более 8·1,5=12 т,
поэтому оставшиеся ящики весят менее 1,5 тих можно увезти на одной полуторатонке. Поскольку 4 · 350 = 1400 < 1500, на одной машине можно увезти любые 4 ящика. Значит, 8 ящиков,
стоящих рядом с машинами, можно увезти на двух оставшихся полуторатонках. Ответ маляра и 6 монтажников (один рабочий лишний, те. можно назначить 4 маляров и 6 монтажников или 3 маляров и 7 монтажников. Легко проверить, что 3 маляра и 6 монтажников могут выполнить работу за 195 минут. Действительно,
через 15 минут после начала работы маляров 3 изделия готовы к сборке и 3 монтажника соберут их через 20 минут. После этого к сборке будут готовы 6 изделий, причём монтажникам никогда уже не придётся ждать, пока маляры закончат покраску очередного изделия. Через 15 + 20+ 140= 175 минут после начала работы будет смонтировано 3 + 7 · 6 = 45 изделий. Чтобы смонтировать оставшихся изделий, нужно ещё 20 минут (этим смогут заниматься только 5 монтажников).
Если маляров меньше трёх, то покраска займёт не менее минута если монтажников меньше шести, то монтаж займёт не менее 200 минут. Начнём разбор задач с того, что произвольный школьник расскажет одну из решённых им задач. Пусть этот школьник решил задачи и a
2
, а рассказал он задачу a
1
. Тогда есть ровно один школьник, который тоже решил задачу и ещё задачу a
3
). Этот школьник расскажет задачу a
2
. Затем школьник, который решил задачи и a
4
, расскажет задачу и т. д. Так мы дойдём до го школьника, который решил задачи и a
k
, где 16 k6 n−1. Нужно понять, что делать, если n < 20. Ясно, что k = 1. Действительно

Решения задач
95
задачу a
k
, где 2 6 k 6 n − 1, решили два школьника с номерами 1 и k. Пусть й школьник расскажет задачу a
n
. Для оставшихся школьников и оставшихся задач выполняется тоже самое условие каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Поэтому можно повторить тоже самое и т. д. Можно считать, что всегда выходит самый последний из пришедших в библиотеку читателей. Действительно, не имеет значения, кто именно запишет на доске число читателей, остающихся в зале один читатель может перепоручить это другому — результат от этого не изменится. Тогда каждый читатель на обеих досках запишет одно и тоже число. Пусть выписаны числа a
1
, a
2
, . . . , a
n
. Подчеркнём число чертами, если k — наименьшее число, для которого+ a
i
+1
+ a
i
+2
+ . . . + a
i
+k
>
0 (положительное число a
1
подчёрки- вается одной чертой. Ясно, что если число a
i
подчёркнуто k + чертами, то числа a
i
+1
, a
i
+2
, . . . , a
i
+k
подчёркнуты соответственно, k
− 1, . . ., 2, 1 чертами. Подчёркнутые числа разобьём на группы следующим образом. Сначала возьмём числа, подчёркнутые наибольшим числом черт (пусть это число черт равно K), и следующие за каждым из них K − 1 чисел. Затем возьмём числа,
подчёркнутые K−1 чертами, и следующие за каждым из них чисел, и т. д. Сумма чисел в каждой группе положительна. Сопоставим цифре числа из первой последовательности нуль числа из второй последовательности следующим образом. Напишем после данной цифры нуль. В результате получим число из второй последовательности с отмеченным нулём. Нашей цифре мы сопоставляем именно этот нуль. Наоборот, нулю числа из второй последовательности сопоставим цифру числа из первой последовательности следующим образом. Отметим цифру, которая стоит перед данным нулём, и после этого нуль вычеркнем. В результате получим число из первой последовательности с отмеченной цифрой. Нашему нулю мы сопоставляем именно эту цифру. Эти операции взаимно обратны, поэтому мы получаем взаимно однозначное соответствие между цифрами числа первой последовательности и нулями чисел второй последовательности

ГЛАВА НЕРАВЕНСТВА. Неравенство x + 1/x > Напомним, что согласно задаче 1.1 для всех x > 0 выполняется неравенство x + 1/x > 2.
8.1. При каких n существуют положительные числа, . . ., x
n
, удовлетворяющие системе уравнений+ x
2
+ . . . + x
n
= 3,
1
x
1
+
1
x
2
+ . . . +
1
x
n
= 3?
8.2. Докажите, что если числа a
1
, . . ., положительны и a
1
. . . a
n
= 1, то+ a
1
)(1
+ a
2
) . . . (1
+ a
n
) > 2
n
8.3. Докажите, что если x
5
− x
3
+ x = 2, то 3 < x
6
<
4.
8.4. а) Докажите, что если x
1
, x
2
, x
3
— положительные числа, то+ x
3
+
x
2
x
3
+ x
1
+
x
3
x
3
+ x
2
>
3 б) Докажите, что если x
1
, x
2
, . . ., x
n
— положительные числа, причём n > 4, то+ x
n
+
x
2
x
3
+ x
1
+ . . . +
x
n
−1
x
n
+ x
n
−2
+
x
n
x
1
+ x
n
−1
>
2.
8.2. Неравенство треугольника
Будем говорить, что положительные числа a, b, c удовлетворяют
неравенству треугольника, если a + b > c, b + c > a и c + a > b. На

Условия задач
97
геометрическом языке это означает, что из отрезков длиной a,
b, c можно составить треугольник. Докажите, что положительные числа a, b, c удовлетворяют неравенству треугольника тогда и только тогда,
когда (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
>
2(a
4
+ b
4
+ c
4
).
8.6. Докажите, что если для положительных чисел a
1
,
a
2
, . . ., a
n
(n > 3) выполняется неравенство 1
+ a
2 2
+ . . . + a
2
n
)
2
>
(n
− 1)(a
4 1
+ a
4 2
+ . . . + то любые три из этих чисел удовлетворяют неравенству треугольника. Неравенство+ Cc) + Bb(Cc + Aa) + Cc(Aa + Bb) >
>
1 2
(ABc
2
+ BCa
2
+ где a>0, b>0, c>0 — заданные числа, выполняется для всех > 0, B > 0, C > 0. Можно ли из отрезков a, b, c составить треугольник. Неравенство Коши. Докажите неравенство xy 6 (x
2
+ y
2
)/2.