Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
11.22. Нужно доказать, что sin a + sin b − sin( a + b ) = 4 sin a 2 sin b 2 sin Заменим в левой части sin( a + b ) на sin a cos b + sin b cos a . Далее sin a 2 sin b 2 sin a + b 2 = 4 sin a 2 sin b 2 “ sin a 2 cos b 2 + sin b 2 cos a 2 ” = = 2 sin 2 a 2 sin b + 2 sin 2 b 2 sin a = (1 − cos a ) sin b + (1 − cos b ) sin a Решения задач. Прежде всего заметим, что cos a = sin 2 a 2 sin a . Поэтому cos a × × cos 2 a = sin 2 a cos 2 a 2 sin a = sin 4 a 4 sin и т. да) Применим формулу из задачи 11.23 для n = 2 и a = = 2 p /7. В результате получим, что требуемое произведение равно sin(16 p /7) 8 sin(2 p /7) . Но sin(16 p /7) = б) Решается аналогично а. Нужно лишь заметить, что sin(16 p /9) = − sin(2 p /9). 11.25. а) Ясно, чтоб) Согласно задаче а a = ctg a − 2 ctg 2 a , 2 tg 2 a = 2 ctg 2 a − 4 ctg 4 a , 2 n tg 2 n a = 2 n ctg 2 n a − 2 n +1 ctg Сложив эти равенства, получим требуемое. Ясно, что tg(k + 1) a − tg k a = sin(k + 1) a cos(k + 1) a − sin k a cos k a = = sin((k + 1) a − k a ) cos k a cos(k + 1) a = sin a cos k a cos(k + Поэтому sin a cos a cos 2 a + sin a cos 2 a cos 3 a + . . . + sin a cos(n − 1) a cos n a = tg n a − tg a 11.27. Докажем сначала, что sin 2 p 2n + 1 sin 4 p 2n + 1 . . . sin 2n p 2n + 1 = = sin p 2n + 1 sin 2 p 2n + 1 . . . sin n p 2n + 1 (1) Разберём отдельно случай чётного и нечётного n. Если n = то нужно воспользоваться тем, что sin (2k + 2) p 2n + 1 = sin (2k − 1) p 2n + 1 , sin (2k + 4) p 2n + 1 = sin (2k − 3) p 2n + 1 , . . . , sin 4k p 2n + 1 = sin p 2n + 1 . После сокра- Глава 11. Тригонометрия щения в равенстве (1) этих равных множителей остаётся произведение одинаковых множителей. Если n = 2k + 1, то нужно воспользоваться тем, что sin (2k + 2) p 2n + 1 = sin (2k + 1) p 2n + 1 , sin (2k + 4) p 2n + 1 = = sin (2k − 1) p 2n + 1 , . . . , sin (4k + 2) p 2n + 1 = sin p 2n + Заменим в левой части равенства (1) каждый множитель sin 2 a на 2 cos a sin a . После сокращения на sin p 2n + 1 sin 2 p 2n + 1 . . . sin n p 2n + 1 6= получим требуемое. а) Пусть S — искомая сумма синусов. Воспользовавшись тождеством 2 sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y), получим sin a 2 = 2 sin a sin a 2 + 2 sin 2 a sin a 2 + . . . + 2 sin n a sin a 2 = = “ cos a 2 − cos 3 a 2 ” + “ cos 3 a 2 − cos 5 a 2 ” + . . . . . . + “ cos (2n − 1) a 2 − cos (2n + 1) a 2 ” = cos a 2 − cos (2n + Затем воспользуемся тождеством cos x − cos y = 2 sin y − x 2 sin y + В результате получим 2S sin a 2 = 2 sin n a 2 sin (n + б) Пусть S — искомая сумма косинусов. Воспользовавшись тождеством, получим sin a 2 = 2 cos a sin a 2 + 2 cos 2 a sin a 2 + . . . + 2 cos n a sin a 2 = = “ sin 3 a 2 − sin a 2 ” + “ sin 5 a 2 − sin 3 a 2 ” + . . . . . . + “ sin (2n + 1) a 2 − sin (2n − 1) a 2 ” = sin (2n + 1) a 2 − sin a 2 11.29. а) Сложим тождества sin “ a + “ k + 1 2 ” x ” − sin “ a + “ k − 1 2 ” x ” = 2 sin 1 2 x cos( a + для k = 0, 1, 2, . . . , n. В результате получим требуемое. б) Для a = 0 и x = f формула из задачи ада т равенство + cos f + cos 2 f + . . . + cos n f = sin “ n + 1 2 ” f + sin f 2 2 sin f 2 Решения задач 155 При этом (n + 1/2) f + f /2 = (n + 1) f = 2k p . Остаётся заметить, что если сумма двух углов равна 2k p , то сумма синусов этих углов равна нулю кроме того, sin f 2 6= 0, так как 0 < f 2 < p 11.30. а) Ясно, что U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x и T 1 (x) = x. Кроме того, формулы sin(n + 1) f = sin n f cos f + cos n f sin f , cos(n + 1) f = cos n f cos f − sin n f sin показывают, что U n (x) = xU n −1 (x) + T n (x) и T n +1 (x) = xT n (x) − − U n −1 (x)(1 − б) Используя полученные рекуррентные соотношения, легко проверить, что T 2k+1 (x) = xa k (x 2 ) T 2k (x) = b k (x 2 ) U 2k+1 (x) = xc k (x 2 ), U 2k (x) = d k (x 2 ), где a k , b k , c k , d k — многочлены степени k. Поэтому x) = d k (cos 2 x) = d k (1 − sin 2 x) = P k (sin 2 x). 11.31. Согласно задаче 11.30 б + 1) f sin f = P k (sin 2 f ), где многочлен степени k. Далее, если f = l p 2k + 1 , то sin(2k + 1) f = = 0. Поэтому sin 2 p 2k + 1 ”“ x − sin 2 2 p 2k + 1 ” . . . “ x − sin 2 k p 2k + где l — некоторое число. Чтобы вычислить l , положим x = Ясно, что P(0) = lim f →0 sin(2k + 1) f sin f = 2k + 1. Кроме того, согласно задаче 23.7 в + 1 sin 2 2 p 2k + 1 . . . sin 2 k p 2k + 1 = 2k + 1 Значит (−4) k 11.32. Первое уравнение можно переписать в виде y = 2x 1 − ясно, что x 6= ±1). Пусть x = tg f . Тогда y = tg 2 f . Аналогично tg 4 f и x = tg 8 f . Таким образом, tg 8 f = tg f . Поэтому tg 7 f = tg 8 f − tg f 1 + tg 8 f tg f = tg f − tg f 1 + tg 2 f = те, где k — целое число. Наоборот, если 7 f = k p , то tg 8 f = tg и мы получаем решение данной системы уравнений. Всего получаем 7 различных решений, соответствующих углам f = 0, p 7 , . . . , 6 p 7 Глава 11. Тригонометрия. Ответ) и (−1/3, −1/2, Равенства + x 2 ) = y 4(1 + y 2 ) = z 5(1 + показывают, что числа имеют одинаковые знаки, причём если (x, y, z) — решение системы, то (−x, −y, −z) — тоже решение. Поэтому достаточно найти положительные решения. Воспользуемся тем, что tg f + 1 tg f = 2 sin 2 f . Выберем углы a , b , g , заключённые между 0 итак, что tg( a /2) = x, tg( b /2) = y, tg( g /2) = z. Тогда sin a 3 = sin b 4 = sin и + y 1 − xy , те. Если 0 < a , b , g < p , тора- венство tg “ p 2 − g 2 ” = tg выполняется лишь в том случае, когда p 2 − g 2 = a + b 2 , те. Таким образом и углы треугольника, стороны которого относятся как : 4 : 5. Значит, sin a = 3 5 , sin b = 4 5 , g = p 2 . Поэтому tg a 2 = 1 3 , tg b 2 = 1 и tg g 2 = 1 (можно воспользоваться, например, формулой tg a 2 = 1 sin a − r 1 sin 2 a − 1. 11.34. а) Положим x i = tg f i , где 0 < f i < p /2. Тогда x j 1 + x i x j = = tg( f i − f j ). Будем считать, что x 1 < . . . < x n . Тогда числа f 2 − f 1 , f 3 − f 2 , . . . положительны и их сумма меньше Значит, среди них есть положительное число, меньшее p 2(n − Соответствующая ему пара чисел и обладает требуемым свой- ством. б) Положим x i = tg f i , где − p /2 < f i < p /2. Тогда x j 1 + x i x j = = tg( f i − f j ). Будем считать, что x 1 < . . . < x n . Тогда числа f 2 − f 1 , f 3 − f 2 , . . . положительны и их сумма равна p . Значит, среди них есть положительное число, не превосходящее. Соответствующая ему пара чисел и обладает требуемым свойством. Выберем на оси Ox точку A = (x, 0), а на оси Oy выберем точки B k = (0, k), k = 0, 1, . . . Рассмотрим треугольник Пусть f = ∠B k −1 AB k , k = 1, 2, . . . Вычислив площадь треугольни- Решения задачка двумя способами, получим 2 x = 1 2 B k −1 A · AB k sin те. Поэтому sin f k = x p (k − Учитывая, что f k > sin f k , получаем. Остаётся заметить, что f 1 + . . . + f n < p /2. 11.36. Согласно определению многочлена Чебышева cos n f = = T n (cos f ), причём T n (x) = 2 n −1 x n + . . . задача 32.30). Поэтому a 0 + a 1 T 1 (x) + a 2 T 2 (x) + . . . + a n T n (x), где x = cos Наоборот, пусть задан многочлен P(x) = b 0 + b 1 x + . . . + Равенства cos f = cos f , cos 2 f = 2 cos 2 f − 1, cos 3 f = 4 cos 3 f − −3 cos f , . . . позволяют получить выражения cos f = cos f , cos 2 f = = 1 2 (cos 2 f + 1), cos 3 f = 1 4 (cos 3 f + 3 cos f ), . . . Если при этом в выражении для cos m f встречается выражение cos k f , где k < то мы записываем для cos k f то выражение, которое уже было получено ранее. Так мы получим выражения cos m f = 1 2 m −1 cos m f + c 1 cos(m − 1) f + . . . + c m −1 cos f + Заменив в многочлене P(x) каждый моном на 2 m −1 cos m f + c 1 cos(m − 1) f + . . . + c m −1 cos f + получим соответствующий тригонометрический многочлена) Тригонометрический многочлен й степени представляет собой сумму слагаемых вида cos k f , 0 6 k 6 n. Поэтому достаточно проверить, что при 0 6 k 6 n − при k = При k = 0 и k = n это очевидно. Покажем, что если 1 6 k 6 n − 1, то 0, n −1 X m =0 ( −1) m cos k(2m + 1) p n = Действительно, согласно задаче 11.29 1 2n 2n−1 X m =0 ( −1) m cos “ a + km p n ” = sin “ a + (2n − 1)k p n ” − sin “ a − k p n ” 2 sin a 2 = 0. Глава 11. Тригонометрия б) Согласно задаче а) среднее арифметическое чисел f(0), f “ p n ” , . . . , f “ (2n − равно a n , поэтому среднее арифметическое их модулей не меньше |a n |. Но если среднее арифметическое чисел не меньше |a n |, то одно из них не меньше |a n |. 11.38. Согласно задаче 11.36 многочлену P(x) соответствует тригонометрический многочлен f( f ) со старшим коэффициентом, для которого f( f ) = P(cos f ). Согласно задаче 11.37 |f( f 0 ) | > 1 для некоторого f 0 . Положим x = cos f 0 . Тогда = |f( f 0 ) | > 1 2 n −1 11.39. Рассмотрим функцию g( f ) = 2 sin f 2 f(x). Воспользовавшись тождеством sin f 2 cos k f = sin “ k + 1 2 ” f − sin “ k − 1 получим g( f ) = a n sin(n + 1/2) f − h( f ), где (a n − a n −1 ) sin “ n − 1 2 ” f + . . . + (a 1 − a 0 ) sin f 2 + При этом |h( f ) | 6 (a n − a n −1 ) + . . . + (a 1 − a 0 ) + a 0 = a n . Более того, числа sin и не могут быть одновременно равны +поэтому |h( f ) | < a n . Таким образом, если sin(n + 1/2) f = 1, то) > 0, а если sin(n + 1/2) f = −1, то g( f ) < Ясно, что sin(n + 1/2) f = ±1 прите. при f = 1 + 2l 1 + 2n p . Между каждой парой соседних точек + 2l 1 + 2n p , где 0, 1, . . . , n, лежит ровно один корень уравнения g( f ) = 0. Всего получаем n корней, причём f = 0 не корень. Значит, для всех этих точек функция sin не обращается в нуль (если 0 6 f 6 p , то sin обращается в нуль только прите. они являются также и корнями тригонометрического многочлена f( f ). ГЛАВА УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Пифагоровы тройки Натуральные числа a, b, c называют пифагоровой тройкой, если+ b 2 = c 2 . Пифагорову тройку называют примитивной, если у чисел a, b, c нет общего делителя. Докажите, что если a, b, c — пифагорова тройка, то одно из этих чисел делится на 3, другое (или тоже самое) делится на 4, третье — на 5. 12.2. Пусть a, b, c — примитивная пифагорова тройка. Докажите, что одно из чисел a или b чётно, а другое нечётно. 12.3. Пусть a, b, c — примитивная пифагорова тройка, причём число a чётно. Докажите, что существуют взаимно простые числа m и n, для которых a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 12.4. Пусть a, b, c — примитивная пифагорова тройка. Докажите, что ab делится на 12. 12.5. Пусть a, b, c — примитивная пифагорова тройка. Докажите, что число ab/2 (площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b) не может быть полным квадратом. Нахождение всех решений. Решите в целых числах уравнение 2xy + 3x + y = 0. 12.7. Решите в целых числах уравнение+ 3x − 5y = −3. |