Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
11.2. Докажите, что если 0 < a 1 < a 2 < . . . и n > 2, то tg a 1 < sin a 1 + . . . + sin a n cos a 1 + . . . + cos a n < tg a n 11.3. Сравните числа tg и 1,4. 11.4. Докажите, что если 0 < a , b 6 p /4, то ptg a tg b 6 tg a + b 2 6 tg a + tg b 2 11.5. Докажите, что сумма cos 32x + a 31 cos 31x + a 30 cos 30x + . . . + a 1 cos принимает как положительные, таки отрицательные значения. Докажите, что если для любого угла выполняется неравенство f + a 2 cos 2 f + . . . + a n cos то a 1 + a 2 + . . . + a n 6 n. 11.7. Докажите, что если и b — острые углы и a < b , то tg a a < tg b b Условия задач. Пусть A — произвольный угол, B и C — острые углы. Всегда ли существует такой угол X, что sin X = sin B sin C 1 − cos A cos B cos C ? 11.2. Тригонометрические тождества. Упростите выражение tg 20 ◦ + tg 40 ◦ + √ 3 tg 20 ◦ tg 40 ◦ 11.10. Докажите, что arctg 1 3 + arctg 1 5 + arctg 1 7 + arctg 1 8 = p 4 11.11. Докажите, что arctg 1 5 − arctg 1 239 = p 4 11.12. Найдите соотношение между arcsin cos arcsin x и arccos sin arccos x. 11.3. Уравнения. Решите уравнение − 7 cos 2 x sin x − 3 sin 3 x = 0. 11.14. Решите уравнение + tg x 1 − tg x = 1 + sin 2x. 11.15. Найдите все действительные решения уравнения+ 2x sin (xy) + 1 = 0. 11.16. Решите уравнение sin f cos f + 4 sin f + 3 cos 2 f = 4 + cos f 11.17. Сколько корней имеет уравнение sin x = x 100 ? Глава 11. Тригонометрия. Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками При решении задач этого параграфа полезна следующая геометрическая задача. Докажите, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника в его вершины, равна нулевому вектору. Докажите следующие равенства: а) sin 2 p n + sin 4 p n + . . . + sin 2(n − 1) p n = б) cos 2 p n + cos 4 p n + . . . + cos 2(n − 1) p n = в) sin a +sin a + 2 p n +sin a + 4 p n +. . .+sin a + 2(n−1) p n =0. 11.20. Докажите следующие равенства: а) cos 36 ◦ − cos 72 ◦ = б) cos p 7 − cos 2 p 7 + cos 3 p 7 = 1 2 11.21. Докажите, что cos 2 p 2m + 1 + cos 4 p 2m + 1 + cos 6 p 2m + 1 + . . . + cos 2m p 2m + 1 = − 1 2 11.5. Вычисление сумм и произведений. Докажите, что если a + b + g = 0, то sin a + sin b + sin g = −4 sin a 2 sin b 2 sin g 2 11.23. Докажите, что если sin a 6= 0, то cos a cos 2 a cos 4 a . . . cos 2 n a = sin 2 n +1 a 2 n +1 sin a 11.24. Докажите, что: а) cos 2 p 7 cos 4 p 7 cos 8 p 7 = 1 б) cos 2 p 9 cos 4 p 9 cos 8 p 9 = − 1 8 Условия задача) Докажите, чтоб) Докажите, что tg a + 2 tg 2 a + 4 tg 4 a + . . . + 2 n tg 2 n a = ctg a − 2 n+1 ctg 2 n+1 a 11.26. Докажите, что a cos 2 a + 1 cos 2 a cos 3 a + . . . + 1 cos(n − 1) a cos n a = tg n a − tg a sin a 11.27. Докажите, что cos p 2n + 1 cos 2 p 2n + 1 . . . cos n p 2n + 1 = 1 2 n 11.28. Докажите, что а) sin a + sin 2 a + sin 3 a + . . . + sin n a = sin n a 2 sin (n + 1) a 2 sin б) cos a + cos 2 a + cos 3 a + . . . + cos n a = sin (2n + 1) a 2 2 sin a 2 − 1 2 11.29. а) Докажите, чтоб) Докажите, что если f = 2k p n + 1 , где число k целое и 1 6 k 6 n, то + cos f + cos 2 f + . . . + cos n f = 0. 11.6. Выражения для cos и т. па) Докажите, что cos n f = T n (cos f ) и sin(n + 1) f = = U n (cos f ) sin f , где и U n — многочлены степени б) Докажите, что sin(2k + 1) f = sin f P k (sin 2 f ), где многочлен степени k. Глава 11. Тригонометрия. Докажите, что sin(2k + 1) f sin f = (−4) k sin 2 f − sin 2 p 2k + 1 × × sin 2 f − sin 2 2 p 2k + 1 . . . sin 2 f − sin 2 k p 2k + 1 11.7. Вспомогательные тригонометрические функции. Решите систему уравнений + x 2 y = y, 2y + y 2 z = z, 2z + z 2 x = x. 11.33. Решите систему уравнений 4 y + 1 y = 5 z + 1 z , xy + yz + zx = 1. 11.34. а) Пусть x 1 , . . ., x n — попарно различные положительные числа, n > 3. Докажите, что среди них можно выбрать два числа и x j , для которых < x i − x j 1 + x i x j < tg p 2(n − б) Пусть x 1 , . . ., x n — попарно различные числа, n > Докажите, что среди них можно выбрать два числа и для которых < x i − x j 1 + x i x j 6 tg p n 11.35. Докажите, что для любого положительного числа и любого натурального числа n имеет место неравенство Решения задач. Тригонометрические многочлены Тригонометрическим многочленом й степени называют функцию, где, a 1 , . . . , a n — некоторые числа, причём a n 6= 0. 11.36. Докажите, что для любого тригонометрического многочлена f( f ) = a 0 + a 1 cos f + . . . + a n cos n f существует многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, для которого P(cos f ) = f( f ). И наоборот, любому многочлену соответствует тригонометрический многочлен. Пусть f — тригонометрический многочлен степени со старшим коэффициентом а) Докажите, чтоб) Докажите, что > |a n | для некоторого целого числа m. 11.38. Докажите, что если P(x) = x n + a n −1 x n −1 + . . . + то |P(x 0 ) | > 1 для некоторого x 0 , где −1 6 x 0 6 1. 11.39. Пусть 0 < a 0 < a 1 < . . . < a n . Докажите, что тригонометрический многочлен f( f ) = a 0 + a 1 cos f + . . . + a n cos n f имеет на отрезке [0, p ] ровно n корней. Решения 11.1. Пусть O — центр окружности радиуса 1, A и B — точки этой окружности, для которых ∠AOB = a . Рассмотрим также точку, в которой касательная к окружности в точке B пересекает луч OA. Пусть S AOB — площадь треугольника AOB, S — площадь сектора, высекаемого радиусами AO и OB, S BOC — площадь треугольника. Тогда S AOB < S < S BOC . Но S AOB = 1 2 sin a , S = 1 2 a и S BOC = 1 2 tg a 11.2. Прежде всего заметим, что tg a 1 < tg a 2 . Поэтому согласно задаче 8.23 tg a 1 < sin a 1 + sin a 2 cos a 1 + cos a 2 < tg a 2 < tg a 3 Глава 11. Тригонометрия Ещё раз воспользовавшись задачей 8.23, получим tg a 1 < sin a 1 + sin a 2 + sin a 3 cos a 1 + cos a 2 + cos a 3 < tg и т. д. Ясно, что tg 55 ◦ = tg(45 ◦ + 10 ◦ ) = tg 45 ◦ + tg 10 ◦ 1 − tg 45 ◦ tg 10 ◦ = 1 + tg 10 ◦ 1 − tg Далее, tg 10 ◦ = tg p 18 > p 18 > 3 18 = 1 6 . Поэтому + tg 10 ◦ 1 − tg 10 ◦ = 2 1 − tg 10 ◦ − − 1 > 7 5 = 1,4. 11.4. Из формулы для тангенса разности двух углов следует, что tg a − tg a + b 2 = tg a − b 2 “ 1 + tg a tg a + b 2 ” , tg b − tg a + b 2 = − tg a − b 2 “ 1 + tg b tg Поэтому tg a + tg b −2 tg a + b 2 = tg a − b 2 tg a + b 2 (tg a −tg b ) > 0 при Ясно, что tg 2 a + b 2 − tg a tg b = sin 2 a + b 2 cos 2 a + b 2 − sin a sin b cos a cos b = = 1 − cos( a + b ) 1 + cos( a + b ) − sin a sin b cos a cos После приведения этих дробей к общему знаменателю получим дробь, числитель которой равен cos( a + b )(1 + cos( a − b )) > 0 при < a , b 6 p /4. Знаменатель дроби при таких a , b положителен. Предположим, что сумма cos 32x + a 31 cos 31x + a 30 cos 30x + . . . + a 1 cos принимает только положительные значения при всех x. Заменив на x + p , получим, что выражение cos 32x − a 31 cos 31x + a 30 cos 30x − . . . + a 2 cos 2x − a 1 cos x Решения задач 149 принимает положительные значения при всех x. Сложив эти выражения, получим, что сумма cos 32x + a 30 cos 30x + . . . + a 4 cos 4x + a 2 cos принимает положительные значения при всех x. Затем повторим те же самые рассуждения, последовательно заменяя x на x + p 2 , x + p 4 , x + p 8 , x + p 16 . В результате получим, что cos 32x принимает положительные значения при всех x. Но при x = p /32 выражение cos 32x принимает значение −1. Получено противоречие. Согласно задаче 11.29 б) cos f k + cos 2 f k + . . . + cos n f k = для f k = 2k p n + 1 , где k = 1, 2, . . . , n. Поэтому, сложив n неравенств f k + a 2 cos 2 f k + . . . + a n cos получим −a 1 − a 2 − . . . − a n > −n. 11.7. Возьмём на окружности радиуса 1 с центром O точки K, итак, что ∠AOK = a ирис. Опустим из точки A O K A B H C a Рис. перпендикулярна прямую Пусть C — точка пересечения этого перпендикуляра и прямой Сравнение площадей сектора и треугольника OAC показывает, что) < OH · (tg b − tg a ). Сравнение площадей сектора OAK и треугольника показывает, что a > OH · tg Из двух полученных неравенств следует, что b − a a < tg b − tg a tg те Ответ да, всегда. По условию cos B cos C > 0. Кроме того и cos A 6 1. Поэтому sin B sin C 6 1 − cos B cos C 6 1 − cos A cos B cos C и < sin B sin C 1 − cos A cos B cos C 6 1. 11.9. Покажем, что tg 20 ◦ + tg 40 ◦ + √ 3 tg 20 ◦ tg 40 ◦ = √ 3, те. Действительно 20 ◦ + tg 40 ◦ 1 − tg 20 ◦ tg 40 ◦ = tg 60 ◦ = √ 3. Глава 11. Тригонометрия. Применяя формулу tg(x + y) = tg x + tg y 1 − tg x tg y , получаем tg “ arctg 1 3 + arctg 1 5 ” = 1 3 + 1 5 1 − 1 15 = 4 7 , tg “ arctg 1 3 + arctg 1 5 + arctg 1 7 ” = 4 7 + 1 7 1 − 4 49 = 7 9 , tg “ arctg 1 3 + arctg 1 5 + arctg 1 7 + arctg 1 8 ” = 7 9 + 1 8 1 − 7 72 = Каждый из рассматриваемых арктангенсов меньше p /4, поэтому их сумма меньше p . Если угол заключён между 0 и и его тангенс равен 1, то этот угол равен p /4. 11.11. Пусть tg f = 1/5. Дважды воспользовавшись равенством tg 2 f = 2 tg f 1 − tg 2 f , получим сначала tg 2 f = 5 12 , а затем tg 4 f = 120 Поэтому tg “ 4 arctg 1 5 ” = 120 119 , а значит arctg 1 5 − arctg 1 239 ” = 120 119 − 1 239 1 + 120 119 · 1 239 = 28561 28561 = 1. 11.12. Ответ Пусть arcsin cos arcsin x = a и arccos sin arccos x = b . Тогда 0 6 6 a , b 6 p /2. Действительно, 0 6 cos arcsin x 6 1, поскольку 6 6 arcsin x6 p 2 , и 06sin arccos x61, поскольку 06arccos x6 p . Далее a = cos arcsin x, поэтому arcsin x = и sin “ ± “ p 2 − a ”” = = ± cos a ; cos b = sin arccos x, поэтому arccos x = p 2 ∓ b и x = = cos “ p 2 ∓ b ” = ± sin b . Из того, что cos a = sin b ( = ±x), следует, что a + b = p 2 11.13. Ответ и x = (−1) k p 6 + k p Решения задач 151 Положим t = sin x. Учитывая, что cos 2 x = 1 − t 2 , получаем уравнение. Это уравнение имеет корни t 1 = 1, t 2 = и t 3 = −3/2. Последний корень нам не подходит. Ответ и x = Положим t = tg x. Учитывая, что sin 2x = 2t 1 + t 2 , получаем уравнение+ те (по условию t 6= 1). Это уравнение имеет корни −1 и t 2 = 0. 11.15. Ответ+ Если мы рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x, то его дискриминант будет равен Дискриминант должен быть неотрицательным, поэтому sin 2 (xy) > > 1, те. Решения уравнения x 2 ± 2x + 1 = 0 имеют вид x = ∓1. Далее, если sin(∓y) = ±1, то sin y = −1. 11.16. Положим x = sin и y = cos f . Рассматриваемое уравнение эквивалентно системе уравнений + 4x + 3y 2 − y − 4 = 0, x 2 + y 2 = При условии x 2 + y 2 = 1 первое уравнение эквивалентно уравнению + 4x + 3y 2 − y − 4 + l (x 2 + y 2 − 1) = 0. Подберём так, чтобы левую часть можно было представить в виде произведения двух линейных множителей. Согласно задаче для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство l ( l + 3)(−4 − l ) + 2 · 3 2 · 4 2 · “ − 1 2 ” = 4( l + 3) + 1 4 l + 9 4 ( −4 Несложно проверить, что это уравнение имеет корень l = Чтобы получить разложение выражения 3xy − 3x 2 + 4x − y − прежде всего заметим, что 3xy − 3x 2 = 3x(y − x). Далее+ a)(y − x + b) = 3xy − 3x 2 + (3b − a)x + ay + Поэтому нужно положить a = −1 и b = 1. В итоге получаем, что исходное уравнение эквивалентно уравнению sin f − 1)(cos f − sin f + 1) = 0. 11.17. Ответ. Прежде всего отметим, что число положительных корней равно числу отрицательных корней, а ещё есть Глава 11. Тригонометрия корень 0. Поэтому достаточно убедиться, что число положительных корней равно 31. Если sin x = x/100, то |x| = 100|sin x| 6 Рассмотрим графики функций y=x/100 и y=sin x. Участок оси от 0 до 100 содержит 15 отрезков длиной 2 p и один отрезок длиной меньше 2 p . Рассматривая указанные графики, легко убедиться, что на первом отрезке длиной 2 p есть один корень данного уравнения, а на каждом из остальных 14 отрезков длиной 2 p есть два корня. Вычисления показывают, что длина последнего отрезка больше p , поэтому на нём тоже есть два корня. Всего получаем положительный корень. Сумма векторов, идущих из центра правильного угольника в его вершины, переходит в себя при повороте на угол А единственный вектор, который переходит в себя при повороте на угол 2 p /n, — это нулевой вектор. Возьмём правильный угольник, вписанный в окружность радиуса 1 с центром вначале координат. Повернём его так, чтобы одна его вершина попала в точку (1, 0). Рассмотрев проекции суммы векторов, идущих из центра правильного угольника в его вершины, на оси x и y, получим равенства аи б нужно только учесть, что sin 0 = 0 и cos 0 = 1. Если же этот угольник повернуть на угол a , то получим равенство в. Согласно задаче 11.19 б) cos 2 p 5 +cos 4 p 5 +cos 6 p 5 +cos 8 p 5 = = 1. При этом cos 8 p 5 = cos 2 p 5 = cos и cos 4 p 5 = cos 6 p 5 = − cos б) Возьмём правильный угольник с центром вначале координат, одна из вершин которого расположена в точке (−1, Рассмотрев проекцию на ось x суммы векторов, идущих изначала координат в вершины угольника, получим требуемое. При n = 2m + 1 сумма из задачи 11.19 б) состоит из чётного числа слагаемых. Эти слагаемые разбиваются на пары cos 2k p n = cos 2(n − k) p n |