Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
28.2. Докажите, что если функция f(x) дифференцируема в точке x 0 , то она непрерывна в этой точке. Докажите, что если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке x 0 , то: а) (f + g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) + б) (fg) ′ (x 0 ) =f ′ (x 0 )g(x 0 ) +f(x 0 )g ′ (x 0 ), где (fg)(x) =f(x)g(x); Глава 28. Производная в f(x 0 )g ′ (x 0 ) (g(x 0 )) 2 , если g(x 0 ) 6= Композицией функций f и g называют функцию g◦f(x)=g(f(x)). 28.4. Пусть функция f дифференцируема в точке а функция g дифференцируема в точке y 0 = f(x 0 ). Предположим, что уточки есть такая окрестность что если x принадлежит U(x 0 ) и x 6= x 0 , то f(x) 6= Докажите, что функция g ◦ f дифференцируема в точке и (g ◦ f) ′ (x 0 ) = Пусть функция f(x) монотонно возрастает на отрезке [a, b]. Тогда каждой точке y отрезка [f(a), f(b)] соответствует единственная точка x отрезка [a, b], для которой y = f(x). Поэтому можно определить обратную функцию g(y) = x. 28.5. Пусть f ′ (x 0 ) 6= 0, g(y) — обратная к f(x) функция. Докажите, что если y = f(x 0 ), то g ′ (y 0 ) = 1 f ′ (x 0 ) 28.2. Производные элементарных функций. Докажите, что (x n ) ′ = для любого натурального. Докажите, что (x a ) ′ = для любого вещественного и положительного x. 28.8. Докажите, что (sin x) ′ = cos x и (cos x) ′ = − sin x. 28.9. Докажите, что (tg при x 6= (2k + и x) ′ = при x 6= k p 28.10. Докажите, что (a x ) ′ = a x ln a для a > 0. 28.11. Докажите, что (log a x) ′ = 1 x ln a 28.12. Докажите, что (arcsin x) ′ = 1 p 1 − и (arctg x) ′ = = 1 1 + x 2 28.13. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы, причём функция u(x) положительна. Докажите, что функ- Условия задач 333 ция u v = дифференцируема и найдите её производную. Вычислите производную функции f(x) = x sin для > 0). 28.15. Вычислите производную функции f(x) = cos x a − − sin x a, где 0 < a < p /2 — постоянный угол. Кратный корень многочлена. Докажите, что многочлен f(x) степени n > 2 имеет кратный корень тогда и только тогда, когда f(x) и имеют общий корень. Докажите, что если 0 + a 1 x 3 0 + a 2 x 2 0 + a 3 x 0 + a 4 = 0, 4x 3 0 + 3a 1 x 2 0 + 2a 2 x 0 + a 3 = то x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + делится на (x − x 0 ) 2 28.18. Докажите, что многочлен 1 + x + x 2 2! + . . . не имеет кратных корней. См. также задачи 23.22, 24.7. 28.4. Производная многочлена. Пусть P(x) — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что все коэффициенты его й производной) делятся на n! для любого натурального n. 28.20. Докажите, что среднее арифметическое корней многочлена равно среднему арифметическому корней его производной. Пусть f и g — многочлены степени n. Докажите, что fg (n) −f ′ g (n −1) +f ′′ g (n −2) −f (3) g (n −3) +. . .+(−1) n f (n) g — константа Глава 28. Производная. Пусть p и q — вещественные числа. Выясните, сколько вещественных корней имеет кубическое уравнение+ px + q = 0 в зависимости от знаков чисел p и D = q 2 4 + p 3 27 28.23. Пусть f(x)=(x−x 1 ) . . . (x −x n ), где числа x 1 , . . . , попарно различны и отличны от нуля. Докажите, что n X i=1 x k i f ′ (x i ) = ( 0 при 0 6 k 6 n − при k = n − 1. 28.24. Пусть P(x) = (x −x 1 ) . . . (x − x n ), где x 1 , . . . , x n — вещественные числа. Докажите, что (P ′ (x)) 2 > P(x)P ′′ (x) для всех вещественных x. 28.25. Четыре корня многочлена четвёртой степени образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что корни его производной тоже образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что любой многочлен можно представить в виде разности двух монотонно возрастающих многочленов. Докажите, что многочлен P(x)=a 0 + a 1 x k 1 + a 2 x k 2 + + . . . + имеет не более n положительных корней. Докажите, что если все корни многочлена a 0 x n + a 1 x n −1 + . . . + с вещественными коэффициентами вещественны и попарно различны, то i + 1 n − i · i + 1 i a i −1 a i+1 , i = 1, 2, . . . , n − 1 ( Ньютон). См. также задачу 10.33. 28.5. Тождества. Пусть (x + a) n = A 0 + A 1 x + . . . + A n x n . Найдите коэффициенты A 0 , . . ., последовательным дифференцированием Условия задач. Вычислите сумму 1 +2x+3x 2 + . . . + nx n −1 , продифференцировав равенство 1 + x + x 2 + . . . + x n = 1 − x n +1 1 − См. также задачи 14.16, 30.14. 28.6. Касательная и нормаль. Касательная к кривой y = в точке (x 0 , y 0 ) пересекает ось Ox в точке (x 1 , 0). Докажите, что разность одна и та же для всех точек кривой. На параболе, ось которой параллельна оси Oy, взяты точки A 1 , и A 3 . Пусть k 1 — тангенс угла наклона касательной в точке A 1 , k ij — тангенс угла наклона секущей. Докажите, что k 1 = k 12 + k 13 − Нормаль к кривой y = f(x) в точке (x 0 , y 0 ) — это прямая, которая проходит через точку (x 0 , y 0 ) перпендикулярно касательной в этой точке. Докажите, что нормаль к кривой y = f(x) в точке, y 0 ) задаётся уравнением y 0 ) = x − x 0 28.34. Нормаль к параболе y = в точке (x 0 , y 0 ) пересекает ось Oy в точке (0, y 1 ). Докажите, что разность y 1 − постоянна для всех точек параболы. См. также задачу 8.17. 28.7. Функции, дифференцируемые на отрезке. Функция f(x) определена на отрезке [a, b] ив некоторой внутренней точке этого отрезка она достигает наибольшего или наименьшего значения. Докажите, что если в точке существует производная, то f ′ (x 0 ) = 0 (Ферма. Функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b], причём f(a) = f(b). Докажите, что существует внутренняя точка этого отрезка, для которой f ′ (x 0 ) = 0 (Ролль). Глава 28. Производная. Функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, Докажите, что существует внутренняя точка этого отрезка, для которой f(b) a − b (Лагранж). Теорему Лагранжа, записанную в виде f(a) = f ′ (x 0 )(b − часто называют формулой конечных приращений. Функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b], причём f ′ (x) = 0 для всех точек x отрезка [a, b]. Докажите, что функция f(x) постоянна на отрезке [a, b]. 28.39. Функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, а) Докажите, что эта функция неубывающая (на этом отрезке) тогда и только тогда, когда f ′ (x) > 0 для любой точки x интервала (a, б) Докажите, что если f ′ (x) > 0 для любой точки x интервала) и не существует отрезка [p, q], содержащегося в [a, b], во всех точках которого обращается в нуль, то функция f(x) возрастающая. Функции f(x) и g(x) дифференцируемы наотрез- ке [a, b]. Докажите, что если f(a) = g(a) и f ′ (x) > g ′ (x) для любой точки x интервала (a, b), то f(x) > g(x) для любой точки x интервала (a, b). 28.41. Докажите, что если x > 0, то cos x > 1 − x 2 и sin x > > x − x 3 6 28.42. Докажите, что если 0 < x < p /2, то tg x > x + 1 Замечание. Доказательства неравенств из задачи основаны на том, что из неравенства для производных следует неравенство для функций. Другими словами, из неравенства для функций следует неравенство для первообразных (интегралов. Такой подход (по сути дела, эквивалентный) в некотором смысле более естествен чтобы получить неравенство, нужно вычислить первообразную. Поэтому здесь мы привели только два Условия задач 337 неравенства. Более подробно этот метод доказательства неравенств обсуждается в разделе 29.8. 28.43. а) Пусть 0 < a < 1 и x > 0. Докажите, чтоб) Пусть a, b, p и q — положительные числа, причём 1 p + 1 q = 1. Докажите, что ab 6 1 p a p + 1 q b q 28.44. Функции f(x) и g(x) дифференцируемы на отрезке, b], причём производная g ′ (x) не обращается в нуль во внутренних точках этого отрезка. Докажите, что существует внутренняя точка отрезка [a, b], для которой f(a) g(b) − Коши. Неравенства. Докажите, что если 0 < a < b < p /2, то a sin b < < b sin a 28.46. Докажите, что если 0< a < b < p /2, то a tg b > b tg a 28.47. Докажите, что если 0< a < p /2, то 2 sin a +tg a > 3 a 28.48. а) Докажите, что e x > 1 + x для любого x 6= б) Докажите, что+ 1 < ln n + для любого натурального. Пусть x > 0, x 6= 1. Докажите, что а) ln x < x − б) ln x > x − 1 x 28.50. а) Докажите, что ln x < n(x 1/n − 1) < x 1/n ln x для любого положительного числа x 6= б) Докажите, что lim n →∞ n(x 1/n − 1) = ln x для любого положительного числа x 6= 1. 28.51. Пусть x > а) Докажите, чтоб) Докажите, что lim n →∞ (1 + x/n) n = e x 28.52. Докажите, что для любого положительного e. Глава 28. Производная. Пусть a и b — положительные числа. Докажите, что b · 2 a + a · 2 −b > a + b. 28.54. Пусть a > b > 0. Докажите, что < a − b ln a − ln b < a + b 2 28.55. Докажите, что sin x + 1 2 sin 2x + 1 3 sin 3x + . . . + 1 n sin nx > при 0 < x < p 28.56. Пусть 0 < x < p /4. Докажите, что x) cos 2 x > (sin и (cos x) cos 4 x < (sin x) sin 4 x 28.57. Докажите, что если x > −1 и x 6= 0, то + x < |ln(1 + x)| < |x| √ 1 + См. также задачу 8.17. 28.9. Правило Лопиталя 28.58. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют условиям теоремы Коши (задача 28.44) и, кроме того, f(a) = g(a) = = 0. Докажите, что если lim x →a+ f ′ (x) g ′ (x) = A, то lim x →a+ f(x) g(x) = правило Лопиталя). 28.59. Вычислите с помощью правила Лопиталя предел lim x →0 x − sin x x 3 28.60. Вычислите предел lim x →a a x − x a x − a 28.61. Вычислите предел lim x →0 tg x − x x − sin x 28.10. Количество корней уравнения. Сколько (вещественных) решений имеет уравнение в зависимости от значения параметра a? Условия задач. Сколько решений имеет уравнение x 3 + 1 = ax в зависимости от значения параметра a? 28.64. Сколько решений имеет уравнение e x = ax в зависимости от значения параметра a? 28.65. Сколько решений имеет уравнение a x = x в зависимости от значения положительного параметра a? 28.66. Сколько решений имеет уравнение a x = log a x в зависимости от значения положительного параметра a 6= 1? 28.67. Сколько решений имеет уравнение 16 x =log 1 16 x? 28.68. Докажите, что прич тном n многочлен 1 + x + x 2 2! + . . . не имеет вещественных корней, а при нечётном n имеет ровно один вещественный корень. См. также задачу 24.4. 28.11. Периодические функции. Докажите, что если f(x) — периодическая функция, то f ′ (x) тоже периодическая функция. Докажите, что если a — положительное иррациональное число, то функция f(x) = sin x + sin a x непериодическая. Нормированные симметрические функции Элементарная симметрическая функция s k (x 1 , . . . , x n ) содержит слагаемых. В связи с этим иногда рассматривают элементарные симметрические функции. Удобно считать, что, . . . , x n ) = 1. 28.71. Пусть x 1 , . . . , x n — корни многочлена, y 1 , . . . , корни его производной. Докажите, что, . . . , x n ) = = S k (y 1 , . . . , y n −1 ). Глава 28. Производная. Пусть x 1 , . . ., x n — положительные числа и, . . . , x n ). Докажите, что. . . > n p S n ( Маклорен). 28.73. Пусть x 1 , . . . , x n — вещественные числа. Докажите, что для всех k = 1, 2, . . ., n − 1 имеют место неравенства, . . . , x n ) > S k −1 (x 1 , . . . , x n ) S k+1 (x 1 , . . . , Ньютон. Алгебраические и трансцендентные функции Функцию f(x) называют алгебраической, если существуют многочлены, для которых+ P 1 (x)(f(x)) n −1 + . . . + P n (x) = 0, причём многочлен P 0 (x) неравен тождественно нулю. В противном случае функцию f(x) называют трансцендентной. Докажите, что функция f(x) = sin x трансцендентная. Докажите, что функция трансцендентная. Формула Тейлора. а) Пусть a — фиксированное число. Докажите, что любой многочлен f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + можно записать в виде A 0 + A 1 (x − a) + A 2 (x − a) 2 + . . . + A n (x − где A 0 , A 1 , . . ., A n — константы. б) Докажите, что A 0 = f(a), A 1 = f ′ (a), A 2 = f ′′ (a) 2! , . . . . . . , A n = f (n) (a) n! 28.77. Пусть a — фиксированное число, f(x) — функция, имеющая производные до порядка n + 1 включительно для Решения задач 341 любого x между a и b для некоторого b). Докажите, что если число x заключено между a и b и если f(a) + f ′ (a) 1! (x − a) + f ′′ (a) 2! (x − a) 2 + . . . + f (n) (a) n! (x − то T(x) = f (n +1) ( j ) (n + 1)! (x − для некоторого между a и x формула Тейлора. а) Докажите, что разность между sin x и x − x 3 3! + + x 5 5! − x 7 7! + . . . + (−1) n x 2n+1 (2n + не превосходит+ б) Докажите, что разность между cos x и 1 − x 2 2! + x 4 4! − x 6 6! + + . . . + не превосходит+ в) Докажите, что разность между и 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + . . . . . не превосходит e x |x| n +1 (n + Замечание. Приводимые в задаче 28.78 следствия из формулы Тейлора можно получить и более простыми средствами. Поэтому поводу см. раздел Решения. Рассматриваемая прямая задаётся уравнением y − y 0 = = f(x 1 ) − f(x 0 ) x 1 − x 0 (x − x 0 ), поэтому k(x 1 ) = f(x 1 ) − f(x 0 ) x 1 − x 0 . Теперь непосредственно из определения производной видно, что lim x 1 →x 0 k(x 1 ) = = f ′ (x 0 ). |