Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
25.40. Ответ да, сходится к 0. Согласно задаче 25.39 дробная часть числа n! e заключена между 0 и 1/n. Поэтому 0 p n! e)< < sin(2 p /n) при n > 4. 25.41. Предположим, что e = m/n, где m и n — натуральные числа. Тогда согласно задаче 25.39 0 < m n − “ 2 + 1 2! + . . . + 1 n! ” < 1 n! После умножения на n! получим, что 0 < a < 1/n, где a — целое число. Этого не может быть. Первое решение. Пусть a n = n! n n . Тогда + 1)! (n + 1) n · n n n! = 1 (1 + 1/n) n → 1 e . Поэтому согласно задаче 25.9 lim n →∞ n √ a n = 1 e , те. Второе решение. Ясно, что ln n √ n! n = 1 n ln n! − ln n = 1 n n X k =1 ln k − 1 n n X k =1 ln n При n → ∞ последнее выражение превращается в) dx = −1. Решения задач. Пусть l 1 = 1 + √ 2 + √ 3, l 2 = 1 − √ 2 + √ 3, l 3 = 1 + √ 2 − √ 3, l 4 = 1 − √ 2 − √ 3. Тогда l n 1 = q n + r n √ 2 + s n √ 3 + t n √ 6, l n 2 = q n − r n √ 2 + s n √ 3 − t n √ 6, l n 3 = q n + r n √ 2 − s n √ 3 − t n √ 6, l n 4 = q n − r n √ 2 − s n √ 3 + Поэтому l n 1 + l n 2 + l n 3 + l n 4 = 4q n , l n 1 + l n 2 − l n 3 − l n 4 = 4s n √ 3, l n 1 − l n 2 + l n 3 − l n 4 = 4r n √ 2, l n 1 − l n 2 − l n 3 + l n 4 = Ясно также, что lim n →∞ l n 2 l n 1 = lim n →∞ l n 3 l n 1 = lim n →∞ l n 4 l n 1 = 0. Поэтому lim n →∞ l n 1 q n = 4, lim n →∞ r n l n 1 = 1 4 √ 2 , lim n →∞ s n l n 1 = 1 4 √ 3 , lim n →∞ t n l n 1 = 1 4 √ 6 , а значит, и lim n →∞ t n q n = 1 √ 6 25.44. Точная верхняя грань равна 0. Максимума нет, поскольку не входит в рассматриваемое множество. Проведём доказательство только для точной верхней грани. Пусть и x 1 — две точные верхние грани, причём Тогда для e = x 1 − x 0 2 найдётся x число из рассматриваемого множества, для которого x + x 1 − x 0 2 > x 1 , те. Но это противоречит тому, что x 0 — точная верхняя грань. Докажем теперь существование точной верхней грани. Построим неубывающую последовательность {a n } и невозрастающую последовательность так, что для каждого n существует x> и не существует x > b n . А именно, в качестве a 1 возьмём произвольное число из рассматриваемого множества, а в качестве b 1 — число из определения ограниченного сверху множества. Пусть c 2 — середина отрезка [a 1 , b 1 ]. В качестве a 2 берём число c 2 , если оно нам подходит иначе берём a 1 . В качестве b 2 берём число c 2 , если оно нам подходит иначе берём b 1 . Дальнейшие члены выбираются аналогично. Построенные последовательности имеют общий предел. Легко видеть, что x 0 — точная верхняя грань ГЛАВА НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Мы будем использовать следующие обозначения, b] — отрезок он состоит из точек x, для которых a 6 x 6 b; (a, b) — интервал он состоит из точек x, для которых a < x < b. 26.1. Монотонные функции. Вещественные числа x и y удовлетворяют равенствам. Найдите x + y. 26.2. Периодические функции. Докажите, что если число иррационально, а число положительно, то функция f(x) = cos x + a cos a x непериодическая. Предел функции Число a называют пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любого e > 0 можно выбрать d > 0 так, что для любого x 6= из неравенства |x − x 0 | < d следует неравенство |f(x) − a| < e . Если предел функции f(x) в точке существует, то его обозначают Иногда возникает необходимость рассматривать односто- ронние пределы функции f(x 0 +) и lim x →x 0 − f(x) = = f(x 0 −). Они определяются почти также, как и обычный предел, нов первом из них рассматриваются только x > x 0 , а во втором только x < x 0 . Например, если функция f(x) определена Часто используются обозначения lim x →x 0 +0 f(x) = f(x 0 + 0) и lim x →x 0 −0 f(x) = = f(x 0 − 0), но они могут ввести в заблуждение Условия задач 311 только на отрезке [p, q], тов концах отрезка имеют смысл только односторонние пределы lim x →p+ f(x) = f(p+) и lim x →q− f(x) = f(q−). 26.3. Докажите, что если предел функции f(x) в точке существует, то он единствен. Докажите, что lim x →x 0 f(x) = a тогда и только тогда, когда lim n →∞ f(a n ) = a для любой последовательности {a n }, для которой lim n →∞ a n = и a n 6= при всех n предполагается также, что все точки принадлежат области определения функции f). 26.5. Пусть f(x) и g(x) — две функции, причём lim x →x 0 f(x) = = a и lim x →x 0 g(x) = b. Докажите, что а) lim x →x 0 (f(x) + g(x)) = a + б) lim x →x 0 (f(x)g(x)) = в) lim x →x 0 (f(x)/g(x)) = a/b, если b 6= 0. 26.6. Докажите, что lim a →0 sin a a = 1. 26.4. Непрерывность Функцию f(x) называют непрерывной в точке x 0 , если lim x →x 0 f(x) = = f(x 0 ). Если функция f(x) непрерывна в каждой точке (из области определения, то её называют просто непрерывной. Функцию f(x), определённую на отрезке [a, b], мы будем называть непрерывной, если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка, а в концах отрезка существуют односторонние пределы, причём f(a+) = f(a) и f(b−) = f(b). 26.7. а) Пусть P(x) — многочлен. Докажите, что функция) непрерывна. б) Пусть P(x) и Q(x) — многочлены, причём Q(x 0 ) 6= Докажите, что функция P(x)/Q(x) непрерывна в точке x 0 26.8. Функция f(x) непрерывна в точке x 0 , а функция) непрерывна в точке y 0 = f(x 0 ). Докажите, что функция) непрерывна в точке x 0 26.9. Докажите, что функция f(x) = sin x непрерывна Глава 26. Непрерывные и разрывные функции. Пусть f(x) = x при x 6= 0 и f(0) = 0. Докажите, что функция f(x) непрерывна (во всех точках x). 26.5. Теорема о промежуточном значении. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает в его концах значения разных знаков. Докажите, что f(x 0 ) = 0 для некоторой точки этого отрезка ( теорема о промежуточном значении. а) Пусть f — непрерывная функция, для которой уравнение f(x) = x не имеет вещественных решений. Докажите, что уравнение f(f(x)) = x тоже не имеет вещественных решений. б) Пусть f и g — непрерывные функции, удовлетворяющие тождеству f(g(x))=g(f(x)). Докажите, что если уравнение) не имеет вещественных решений, то уравнение) тоже не имеет вещественных решений. Функция f(x) непрерывна на отрезке [0, 1] и принимает значения из того же отрезка. Докажите, что f(x) = для некоторой точки x этого отрезка. Существует ли функция, непрерывная на отрезке, 1], которая в рациональных точках принимает иррациональные значения, а в иррациональных — рациональные, и при этом все значения принадлежат отрезку [0, 1]? 26.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Докажите, что функция f(x), непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, те. множество всех значений f(x) для x из отрезка [a, b] — ограниченное множество. Функция непрерывна на интервале (a, b). Верно ли, что она ограничена на этом интервале. Докажите, что функция f(x), непрерывная на отрезке, достигает максимума и минимума в некоторых точках этого отрезка (Вейерштрасс Условия задач. Выпуклые функции Функцию f(x), определённую на отрезке [a, b], называют выпуклой, если 2 ” 6 f(x 1 ) + для всех и x 2 , лежащих на отрезке [a, С геометрической точки зрения неравенство (1) означает, что середина любой хорды кривой y = f(x) лежит над этой кривой (или на самой кривой). Функцию f(x) называют вогнутой, если функция −f(x) выпукла. Докажите, что функция f(x) выпукла на отрезке, b] тогда и только тогда, когда для любого n и любых точек x 1 , . . ., из этого отрезка имеет место неравенство+ x 2 + . . . + x n n 6 f(x 1 ) + f(x 2 ) + . . . + f(x n ) n (2) 26.19. Пусть f(x) — выпуклая функция, p и q — положительные числа, сумма которых равна а) Докажите, что если числа p и q рациональные, то+ qx 2 ) 6 pf(x 1 ) + б) Докажите, что если функция f(x) непрерывная, то+ qx 2 ) 6 pf(x 1 ) + qf(x 2 ). 26.20. Пусть f(x) — выпуклая функция, . . ., a n — положительные числа, сумма которых равна а) Докажите, что если числа a 1 , . . рациональные, то+ . . . + a n x n ) 6 a 1 f(x 1 ) + . . . б) Докажите, что если функция f(x) непрерывная, то+ . . . + a n x n ) 6 a 1 f(x 1 ) + . . . неравенство Йенсена). 26.21. Докажите, что функция f(x) = ln x вогнута на интервале. Докажите неравенство между средним арифметическими средним геометрическим для положительных Глава 26. Непрерывные и разрывные функции чисел x 1 , . . ., x n : x 1 + . . . + x n n > n √ x 1 . . . x n 26.23. Докажите, что если A, B, p и q — положительные числа, причём 1/p + 1/q = 1, то A 1/p B 1/q 6 A/p + B/q. 26.8. Равномерная непрерывность Пусть множество D содержится в области определения функции. Функцию f(x) называют равномерно непрерывной на множестве, если для любого e > 0 можно выбрать d > 0 так, что для любых и из D неравенство |x 1 − x 2 | < d влечёт неравенство. Отличие от обычной непрерывности заключается в том, что число одно и тоже для всех точек области D. Ясно, что из равномерной непрерывности следует обычная непрерывность. Обратное, вообще говоря, неверно. а) Приведите пример непрерывной функции на множестве всех действительных чисел, которая не является равномерно непрерывной. б) Приведите пример непрерывной функции на интервале, которая не является равномерно непрерывной. Докажите, что любая функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], является равномерно непрерывной на этом отрезке. Функции ограниченной вариации Пусть f — ограниченная функция на отрезке [a, b]. Вариация) функции f на отрезке, b] определяется как точная верхняя грань сумм вида f(x k ) | для всевозможных наборов точек x 0 = a < x 1 < . . . < x m < b = x m +1 . Если Var b a (f) то говорят, что f — функция ограниченной вариации на отрезке, b]. 26.26. Пусть f(x) = x sin(1/x) при x 6= 0, f(0) = 0. Докажите, что на отрезке [0, 1] функция f непрерывна, ноне является функцией ограниченной вариации Решения задач. Докажите, что функция f, определённая наотрез- ке [a, b], является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда её можно представить в виде разности двух неубывающих функций. Пусть f — функция ограниченной вариации на отрезке [a, b]. Для x ∈ [a, b] рассмотрим функцию V(x) = = Var x a (f) предполагается, что V(a) = 0). Докажите, что функция f непрерывна в точке x 0 ∈ [a, b] тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывна функция Решения. Ответ. Функция f(x) = x 3 − 3x 2 + 5x = (x − 1) 3 + + 2(x − 1) + 3 монотонно возрастает, поэтому для каждого вещественного числа c уравнение f(x) = c имеет ровно одно вещественное решение. Функция f(x) − 3 обладает следующим свойством если x − 1 = = 1 − y, то f(x) − 3 = −(f(y) − 3). Из монотонности функции следует, что верно и обратное, те. если f(x) − 3 = −(f(y) − 3), тот. е. x + y = 2. В рассматриваемом случае f(x) = и f(y) = 5, поэтому указанное равенство выполняется. Предположим, что T — период функции f(x). Тогда f(T) = =f(0)=1+a. Значит, cos T=1 и cos a T =1, те и где m и n — целые числа. Поэтому a = n/m, что противоречит иррациональности a 26.3. Предположим, что у функции f(x) в точке есть два предела и b, причём a 6= b. Для e = 1 2 |a − b| выберем итак, что) − a| < e при |x − x 0 | и |f(x) − b| < e при |x − x 0 | < d 2 . Тогда если x и |x−x 0 | d 1 , d 2 ), то 6 |f(x)−a| +|f(x)−b| < < 2 e = |a − b|. Приходим к противоречию. Предположим сначала, что lim x →x 0 f(x) = a. Для заданного e > 0 выберем d > 0 так, что из неравенства |x − x 0 | < d следует неравенство |f(x) − a| < e . Затем для данной последовательности, сходящейся к x 0 , выберем N так, что |a n − x 0 | < d при n > Тогда |f(a n ) − a| < e , поэтому lim n →∞ f(a n ) = Предположим теперь, что равенство lim x →x 0 f(x) = a не имеет места. Тогда существует e > 0, обладающее следующим свойством: для любого d > 0 существует x 6= x 0 , для которого |x − x 0 | < d , но Глава 26. Непрерывные и разрывные функции) − a| > e . Для d = 1/n соответствующее x обозначим a n . В результате получим последовательность {a n }, для которой но равенство lim n →∞ f(a n ) = a не имеет места. Согласно задаче 26.4 эти свойства пределов функций следуют из соответствующих свойств пределов последовательностей (задача 25.2). 26.6. Согласно задаче 11.1 cos a < sin a a < 1 при 0 Такие же неравенства верны и при − p /2 < a < 0, поскольку cos(− a ) = cos и sin(− a ) − a = sin a a . Остаётся заметить, что lim a →0 cos a = = cos 0 = 1. 26.7. Воспользуемся задачей 26.5. Ясно, что lim x →x 0 x = x 0 , поэтому, применив индукцию по n, получим lim x →x 0 x n = x n 0 . Значит+ a n −1 x n −1 + . . . + a 0 ) = a n x n 0 + a n −1 x n −1 0 + . . . + Если Q(x 0 ) 6= 0, то lim x →x 0 P(x)/Q(x) = P(x 0 )/Q(x 0 ). |