Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В

• Название: Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
• Дата: 16.10.2022
• Размер: 3.28 Mb.
• Имя файла: algebra.pdf
• Тип: Учебное пособие; #736986
• страница: 37 из 71

25.3. Докажите, что если для всех n и lim
n
→∞
a
n
=
= a = lim
n
→∞
c
n
, то lim
n
→∞
b
n
= a.
25.4. Докажите, что если lim
n
→∞
a
n
= a и lim
n
→∞
b
n
= b, причём
a
n
6
b
n
для всех n, то a 6 b.
25.5. Дано положительное число a и последовательность положительных чисел x
n
. Докажите, что если то lim
n
→∞
x
n
= a.

Глава 25. Предел последовательности. Докажите, что если lim
n
→∞
x
n
=a, то lim
n
→∞
x
1
+ . . . + Коши. Пусть {a
n
} — последовательность положительных чисел, причём lim
n
→∞
a
n
= a. Докажите, что lim
n
→∞
n
√
a
1
. . . a
n
= a.
25.8. Докажите, что если lim
n
→∞
(x
n+1
−x
n
)
=a, то lim
n
→∞
x
n
n
=a.
25.9. Докажите, что если lim
n
→∞
a
n
+1
a
n
= a, то lim
n
→∞
n
√
a
n
= a.
25.10. Пусть P(x) — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что если lim
n
→∞
{P(n)
a
}
= 0, где { · } обозначает дробную часть, то число рационально. Теорема Вейерштрасса
Последовательность {a
n
} называют ограниченной, если можно выбрать числа итак, что c
1 для всех Точку c называют предельной точкой последовательности, если для любого e
>
0 неравенство |c − a
n
| <
e выполняется для бесконечного множества членов последовательности. Докажите, что любая ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку
(
Больцано––Вейерштрасс).
25.12. Докажите, что любая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность {a
n
k
}, те. можно выбрать строго возрастающую последовательность натуральных чисел n
1
, n
2
, n
3
, . . . так, что последовательность {b
k
}, где b
k
= a
n
k
, сходится.
Последовательность {a
n
} называют возрастающей неубывающей, если a
n
+1
>
a
n
(a
n
+1
>
a
n
) для всех Последовательность {a
n
} называют ограниченной сверху, если можно выбрать число c так, что a
n
6
c для всех n.
25.13. Докажите, что любая возрастающая (или хотя бы неубывающая) ограниченная сверху последовательность имеет предел (Вейерштрасс. Докажите, что последовательность {x
n
} сходится тогда и только тогда, когда для любого e
>
0 можно выбрать

Условия задач
295
номер N так, что |x
n
−x
m
|<
e для любых m, n>N (критерий
Коши).
25.3. Вычисление пределов. Вычислите lim
n
→∞
(
√
n
+ 1 −
√
n).
25.16. Вычислите lim
n
→∞
(
√
n
2
+ n − n).
25.17. а) Докажите, чтоб) Докажите, что lim
n
→∞
lg n
n
= 0.
25.18. а) Докажите, что lim
n
→∞
n
k
a
n
= 0 для любого натурального и любого a > б) Докажите, что lim
n
→∞
(log
a
n)
k
n
= 0 для любого натурального и любого a > 1.
25.19. Докажите, что lim
n
→∞
x
n
n!
= 0.
25.20. Докажите, что lim
n
→∞
n
√
x
= 1 для любого положительного числа x.
25.21. Докажите, что lim
n
→∞
n
√
n
= 1.
25.22. Докажите, что lim
n
→∞
n
√
n!
= ∞.
25.23. Пусть a
0
= a, b
0
= b, где 0 < a < b. Положим a
n+1
=
=
2a
n
b
n
a
n
+ и b
n+1
=
a
n
+ при n > 0. Докажите, что lim
n
→∞
a
n
=
= lim
n
→∞
b
n
=
√
ab.
25.24. Пусть среди чисел 2 1
, 2 2
, . . ., ровно чисел начинается с единицы. Вычислите предел lim
n
→∞
a
n
n
25.25. Пусть x
1
=
√
a, где a — некоторое положительное число, и x
n+1
=
√
a
+ при n > 1. Докажите, что существует предел и вычислите его. Пусть и a — положительные числа, x
n+1
=
a
1 + при n > 1. Докажите, что существует предел lim
n
→∞
x
n
, ивы- числите его

Глава 25. Предел последовательности. Пусть x
1
>
0 и a > 0, при n > Вычислите предел lim
n
→∞
x
n
25.28. Пусть x
1
= a, x
2
= b и x
n+1
=
1 2
(x
n
+ x
n
−1
) при n > Вычислите lim
n
→∞
x
n
25.29. Пусть p
1
, . . ., p
k
— простые числа, a
n
— количество натуральных чисел, не превосходящих n и делящихся только на данные простые числа. Докажите, что lim
n
→∞
a
n
n
= 0.
25.30. Пусть и y
0
— некоторые положительные числа,
причём x
0
>
y
0
, x
n+1
=
x
n
+ и y
n+1
=
2x
n
y
n
x
n
+ при n > 0. Докажите, что lim
n
→∞
x
n
= lim
n
→∞
y
n
= √x
0
y
0
25.31. Пусть и y
0
— некоторые положительные числа, причём x
0
>
y
0
, x
n+1
=
x
n
+ и y
n+1
= при n > Докажите, что обе последовательности {x
n
} и {y
n
} сходятся к одному и тому же пределу, называемому
средним арифме-
тико-геометрическим чисел и Гаусс. Пусть a
0
=2
√
3, b
0
=3 и a
n+1
=
2a
n
b
n
a
n
+b
n
, при n > 0. Докажите, что lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
b
n
=
p
25.33. Пусть и y
0
— некоторые неотрицательные числа+ и y
n+1
= при n > а) Докажите, что если 0 6 x
0
<
y
0
, то lim
n
→∞
x
n
= lim
n
→∞
y
n
=
p
y
2 0
− x
2 б) Докажите, что если 0 < y
0
<
x
0
, то lim
n
→∞
x
n
= lim
n
→∞
y
n
=
p
x
2 0
− y
2 См. также задачу 28.50.
25.4. Число e
25.34. а) Докажите, что для любого натурального n выполняется неравенство 2 6 (1 + 1/n)
n
<
3.

Условия задач
297
б) Докажите, что для любого натурального n выполняется неравенство (n/3

n
<
n!.
25.35. Найдите первую цифру числа 2 400
25.36. Докажите, что если m и n — натуральные числа,
причём m > n, то +
1
m

m
>

1 +и +
1
m

m+1
<

1 +
1
n

n+1
25.37. Докажите, что существует предела) Докажите, чтоб) Докажите, что > 2
+
1 2!
+
1 3!
+ . . . для любого в) Докажите, что e = lim
n
→∞

2 +
1 2!
+
1 3!
+ . . . +
1
n!

25.39. Докажите, что < e −

1 + 1 +
1 2!
+
1 3!
+ . . . +
1
n!

<
1
n! n
25.40. Сходится ли последовательность a
n
= sin(2
p
n! e)?
25.41. Докажите, что число e иррационально. Докажите, что lim
n
→∞
n
√
n!
n
=
1
e
25.5. Сопряжённые числа. Пусть (1 +
√
2 +
√
3)
n
= q
n
+ r
n
√
2 + s
n
√
3 + где q
n
, r
n
, s
n
, t
n
— натуральные числа. Вычислите пределы lim
n
→∞
r
n
q
n
, и lim
n
→∞
t
n
q
n
25.6. Точная верхняя грань
Пусть X — некоторое (непустое) множество действительных чисел. Число x
0
называют
точной верхней гранью этого множества, если x 6 для любого числа x из множества X, но для

Глава 25. Предел последовательности любого e
>
0 найдётся число x из множества X, для которого. Если точная верхняя грань множества X принадлежит, то x
0
называют
максимумом множества X. Аналогично определяются
точная нижняя грань и минимум. Найдите точную верхнюю грань множества отрицательных чисел. Есть ли у этого множества максимум?
Множество действительных чисел называют
ограниченным сверху, если можно выбрать число c так, что все числа этого множества меньше c. Аналогично определяется множество, ограниченное снизу. Докажите, что любое (непустое) ограниченное сверху множество действительных чисел имеет единственную точную верхнюю грань, а ограниченное снизу — единственную точную нижнюю грань.
Решения
25.1. Предположим, что a и b — пределы последовательности, причём a
6= b. Пусть e
=
1 3
|a − b|. Согласно определению предела можно выбрать номера итак, что |a
n
− a| <
e при > и |a
n
− b| <
e при n > N
2
. Пусть N — наибольшее из чисел
N
1
и N
2
. Тогда |a − b| 6 |a − a
N
| + |a
N
− b| < 2
e
=
2 3
|a − b|. Приходим к противоречию. а) Утверждение о том, что lim
n
→∞
(a
n
+ c) = a + c очевидно:
в качестве N для последовательности {a
n
+ c} можно выбрать тоже самое число, что и для последовательности При c = 0 утверждение о том, что lim
n
→∞
(ca
n
)
= 0 очевидно. Если же c 6= 0, тов качестве числа N, соответствующего для последовательности {ca
n
}, можно взять N, соответствующее для последовательности {a
n
}. А именно, если a| <
e
/
|c|, то ca| <
e б) Для данного e
>
0 выберем итак, что |a
n
− a| <
e
/2 при > и |b
n
− b| <
e
/2 при n > N
2
. Пусть N — наибольшее из чисел
N
1
и N
2
. Тогда |(a
n
+ b
n
)
− (a + b)| 6 |a
n
− a| + |b
n
− b| <
e
2
+
e
2
=
e при > в) Воспользуемся тождеством ab = (a
n
− a)(b
n
− b) + a(b
n
− b) + b(a
n
− a).
(1)

Решения задач
299
Для данного e
>
0 выберем итак, что |a
n
− a| <
√
e при > и |b
n
− b| <
√
e при n > N
2
. Тогда |(a
n
− a)(b
n
− b)| <
e при > max(N
1
, N
2
), поэтому lim
n
→∞
(a
n
−a)(b
n
−b)=0. Из аи б) следует,
что lim
n
→∞
a(b
n
− b) = 0 и lim
n
→∞
b(a
n
− a) = 0. Поэтому тождество (показывает, что lim
n
→∞
(a
n
b
n
− ab) = г) Выберем сначала так, что |a
n
− a| <
1 2
|a| при n > Отметим, что при этом |a
n
| >
1 2
|a|. Выберем затем для данного e
>
0 номер так, что |a
n
− a| <
1 2
|a|
2
e при n > N
2
. Тогда если > max(N
1
, N
2
), то =
˛
˛
˛
a
n
− a
a
n
a
˛
˛
˛ <
1 2
|a|
2
e
·
2
|a|
2
=
e
25.3. Для данного e
>
0 выберем числа итак, что − a
n
| <
e при n > и |a − c
n
| <
e при n > N
2
. Тогда если > max(N
1
, N
2
), то a
n
>
a
−
e и c
n
<
a
+
e
. Поэтому a −
e
<
a
n
6
b
n
6 6
c
n
<
a
+
e
, а значит, |b
n
− a| <
e
25.4. Выберем N так, что если n > N, то |a − a
n
| <
e и |b − b
n
| Тогда a −
e
<
a
n
6
b
n
<
b
+
e
. Таким образом, для любого выполняется неравенство b > a − 2
e
. Поэтому b > a.
25.5. Пусть a
x
n
+
a
˛
˛
˛ <
e
<
1. Тогда +
e
<
x
n
− a <
2
e
a
1 −
e
25.6. Вместо последовательности {x
n
} можно рассмотреть последовательность, поэтому можно считать, что a = 0. Для любого e
>
0 можно выбрать N так, что если n > N, то |x
n
| Тогда при n > N
˛
˛
˛
1
n
(x
1
+ . . . + x
n
)
˛
˛
˛ 6
C
n
+
n
− где C=x
1
+ . . . + x
N
. Ясно, что lim
n
→∞
“
C
n
+
n
− N
n
e
”
=
e
. Поэтому можно выбрать M > N так, что если n > M, то+ . . . + x
n
)
˛
˛
˛ < 2
e
25.7. Функция ln x непрерывна, поэтому lim
n
→∞
ln a
n
= ln a. Значит, согласно задаче 25.6 lim
n
→∞
ln a
1
+
. . . + ln a
n
n
= ln a. Следовательно. Теперь, воспользовавшись непрерывностью функции e
x
, получаем требуемое

Глава 25. Предел последовательности. Пусть и при n> 2. Тогда x
n
=y
1
+y
2
+. . .
. . .
+ y
n
. По условию lim
n
→∞
y
n
= a. Поэтому согласно задаче 25.6
lim
n
→∞
x
n
n
= lim
n
→∞
y
1
+
y
2
+
. . . + y
n
n
= a.
25.9. Рассмотрим последовательность b
1
= a
1
, при > 1. По условию lim
n
→∞
b
n
= a. Поэтому согласно задаче 25.7
lim
n
→∞
n
√
b
1
. . . b
n
= a. Но b
1
. . . b
n
= a
n
25.10. Удобнее доказывать более общее утверждение если a
n
+
e
n
, где lim
n
→∞
e
n
= 0 и принимает лишь конечное число значений (когда n пробегает все натуральные значения, то a
рационально.
Применим индукцию по m — степени многочлена P(x). При 1 получаем {An
a
+ B
a
}
= a
n
+
e
n
. Поэтому An
a
+ B
a
= a
n
+
e
n
+ и A(n + 1)
a
+ B
a
= a
n
+1
+
e
n
+1
+ k
n
+1
, где и k
n
+1
— целые числа.
Следовательно,
A
a
= (a
n
+1
− a
n
)
+ (
e
n
+1
−
e
n
)
+ (k
n
+1
− Число k
n
+1
− целое, а разность a
n
+1
− может принимать лишь конечное число значений. Поэтому из того, что lim
n
→∞
e
n
= 0, следует, что e
n
+1
−
e
n
= 0 при n > n
0
. Но тогда a
n
0
+ l
n
+ (n − где l
n
— целое число. По условию принимает конечное число значений. Следовательно, l
n
+ nA
a принимает конечное число значений, поэтому {nA
a
} принимает конечное число значений. Тогда число A
a рационально (задача 17.13), а значит, число тоже рационально.
Шаг индукции доказывается совсем просто. Многочлен Q(x) =
= P(x + 1) − P(x) имеет степень m − 1. Кроме того, если принимает конечное число значений, то a
n
+1
− тоже принимает конечное число значений. Поэтому, применив к многочлену предположение индукции, получаем, что рационально. Можно считать, что числа и из определения ограниченной последовательности целые. Отрезок [c
1
, c
2
] разбивается наконечное число отрезков длины 1. Хотя бы водном из этих отрезков содержится бесконечно многочленов рассматриваемой последовательности. Выберем такой отрезок и разделим его на 10 отрезков длины 1/10. Среди этих отрезков выберем тот,
который содержит бесконечно многочленов последовательности.
Этот отрезок снова разделим на 10 отрезков равной длины и т. д

Решения задач
301
Такая последовательность операций определяет некоторое число m
0
+ m
1
· 10
−1
+ m
2
· 10
−2
+ . . . Действительно, на первом шаге мы определяем m
0
, на втором и т. д. Число c является предельной точкой данной последовательности. Пусть c — предельная точка последовательности Тогда неравенство |a
n
− c| < 1/k выполняется для бесконечного множества членов a
n
. Поэтому можно выбрать так, что. Более того, это можно сделать так, что n
1
<
n
2
<
n
3
<
. . Тогда c = lim
k
→∞
a
n
k