Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В

• Название: Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
• Дата: 16.10.2022
• Размер: 3.28 Mb.
• Имя файла: algebra.pdf
• Тип: Учебное пособие; #736986
• страница: 36 из 71

24.3. Решите уравнение x
3
+ px + q = 0, воспользовавшись тождеством+ y
3
+ z
3
− 3xyz = (x + y + z)(x где w
2
+
w
+ 1 = 0. (Подберите y итак, что −3yz = и y
3
+ z
3
= q.)
24.4. Докажите, что если кубическое уравнение x
3
+ ax +
+ b = 0 имеет три различных действительных корня, то при вычислении корней по формуле из решения задачи обязательно появляются мнимые числа. Найдите корень x
0
= 2 уравнения x
3
− x − 6 = 0 по формуле из решения задачи 24.2.
24.6. Пусть x
1
, x
2
, x
3
— корни уравнения x
3
+ px + q = Положим a
= и b
= x
1
+
w
2
x
2
+
w
x
3
, где w
2
+
w
+ 1 = 0 (эти выражения называют резольвентами
Лагранжа).
а) Докажите, что 3x
1
=
a
+
b
, 3x
2
=
w
2
a
+
wb и 3x
3
=
wa
+
+
w
2
b б) Выразите ab и
a
3
+
b
3
через p ив) Решите уравнение x
3
+ px + q = 0.
24.2. Дискриминант кубического многочлена. Докажите, что многочлен x
3
+ px + q имеет кратные корни тогда и только тогда, когда 4
+
p
3 27
= Выражение 4
+
p
3 27
называют
дискриминантом кубического многочлена x
3
+ px + q.

Решения задач. Решение уравнений й степени. Решите уравнение x
4
+ ax
2
+ bx + c = 0, представив многочлен x
4
+ ax
2
+ bx + c в виде разности квадратов двух многочленов. Решите уравнение x
4
+ ax
2
+ bx + c = 0, найдя уравнение, которому удовлетворяет сумма двух корней данного уравнения (Эйлер. Пусть x
1
, x
2
, x
3
, x
4
— корни уравнения x
4
+ ax
2
+
+ bx + c = 0. Положим a
= −(x
1
+ x
2
)(x
3
+ x
4
),
b
= −(x
1
+ x
3
)
×
×(x
2
+ x
4
) и g
= −(x
1
+ x
4
)(x
2
+ а) Выразите x
1
, x
2
, и через и √
g б) Выразите коэффициенты многочлена через a, b, в) Сведите решение уравнения x
4
+ ax
2
+ bx + c = 0 к решению кубического уравнения. Другие уравнения, разрешимые в радикалах. Решите уравнения 10x
3
(1
− x
2
)
+ 5x(1 − x
2
)
2
= a,
x
7
− 21x
5
(1
− x
2
)
+ 35x
3
(1
− x
2
)
2
− 7x(1 − x
2
)
3
= a.
24.12. Решите уравнение x
5
− 5ax
3
+ 5a
2
x
− b = 0.
24.13. Какие уравнения седьмой степени можно решить тем же способом, который использовался при решении задачи Решения. Требуемая замена имеет вид y = x +
a
1
n
24.2. Должно выполняться равенство+ 3 3
p ab
(
3
√
a
+
3
p b
)
=
a
+
b
+ 3 3
p Поэтому числа и нужно подобрать так, чтобы выполнялись равенства 3 3
p ab
= −p и a
+
b
= −q. Из этих равенств следуют равенства и a
+
b
= −q. Таким образом, для чисел и b

Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах получено квадратное уравнение. Его корни имеют вид a
,
b
= −
q
2
±
r
q
2 4
+
p
3 Формула x =
3
√
a
+
3
p дат 9 различных значений.
Чтобы получить формулу, которая даёт 3 значения, можно воспользоваться соотношением b
= −p/3. Эта формула имеет вид
x
=
3
√
a
−
p
3
√
a
,
где находится по формуле (1). При этом x не зависит от выбора знака перед радикалом в формуле (1). Несложно проверить, что полученная формула даёт значения x, которые являются корнями уравнения x
3
+ px + q = 0.
24.3. Если −3yz = p, то y
3
z
3
= −p
3
/27. Поэтому и z
3
— корни квадратного уравнения t
2
− qt −
p
3 27
= 0. Корни этого уравнения равны 4
+
p
3 27
. Выберем в качестве y одно из трёх значений кубического корня 4
+
p
3 27
, а в качестве z выберем −
p
3y
;
по-другому это можно сказать так выберем в качестве z то из значений кубического корня 4
+
p
3 27
, для которого −3yz = Уравнение x
3
+ px + q = 0 имеет следующие корни x
1
= −(y + z),
x
2
= −(
w
y
+
w
2
z) и x
3
= −(
w
2
y
+
w
z).
24.4. Нужно проверить, что ∆ =
b
2 4
+
a
3 27
<
0. Чтобы убедиться в этом, исследуем функцию y(x) = x
3
+ ax + b. Если a > 0, то эта функция монотонна, поэтому у рассматриваемого уравнения не более одного действительного корня. В дальнейшем будем считать,
что a < 0. Ясно, что y
′
= 3x
2
+ a. Поэтому функция y(x) монотонно возрастает при x < −
a и при x >
a
, где a
=
√
−a/3, а при <
a функция y(x) монотонно убывает. Легко проверить, что 4∆. Поэтому уравнение y(x) = 0 может иметь ровно три действительных корня лишь в том случае, когда ∆ < 0.
24.5. Этот корень выражается по формуле +
11 9
√
6 +
3
r
3 −
11 9
√
6.

Решения задача) Корни x
1
, x
2
, легко находятся из линейной системы уравнений x
1
+ x
2
+ x
3
= 0, x
1
+
w
x
2
+
w
2
x
3
=
a
, Чтобы найти x
1
, нужно сложить эти уравнения и воспользоваться тем, что w
2
+
w
+ 1 = 0. Чтобы найти x
2
, нужно сделать коэффициенты при равными б) Воспользовавшись равенством w
2
+
w
= −1, легко проверить,
что ab
= x
2 1
+ x
2 2
+ x
2 3
− x
1
x
2
− x
2
x
3
− x
1
x
3
=
= (x
1
+ x
2
+ x
3
)
2
− 3(x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
1
x
3
)
= Снова воспользовавшись равенством w
2
+
w
= −1, получим a
3
+
b
3
= 2(x
3 1
+ x
3 2
+ x
3 3
)
+
+ 12x
1
x
2
x
3
− 3(x
2 1
x
2
+ x
1
x
2 2
+ x
2 1
x
2
+ x
1
x
3 2
+ x
2 2
x
3
+ x
2
x
2 При этом 0=(x
1
+x
2
+x
3
)
3
=x
3 1
+x
3 2
+x
3 3
+6x
1
x
2
x
3
+3(x
2 1
x
2
+x
1
x
2 2
+. . и 0 = (x
1
+ x
2
+ x
3
)(x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
)
= (x
2 1
x
2
+ x
1
x
2 2
+ . . .) + Следовательно −9(x
2 1
x
2
+ x
1
x
2 2
+ . . .) = 27x
1
x
2
x
3
= в) Мы выяснили, что a
3
+
b
3
= 27q и a
3
b
3
= −27p
3
. Числа и можно найти, решив квадратное уравнение. Извлекая кубические корни, находим и b
. Значения кубических корней нужно при этом выбрать так, что ab
= −3p. Корни уравнения x
3
+ px + q = находятся теперь согласно задаче а. Первое решение. Пусть рассматриваемый многочлен имеет корни x
1
, и x
3
, причём x
1
= x
2
. Коэффициент при равен нулю, поэтому x
1
+ x
2
+ x
3
= 0. Таким образом, x
3
= Тогда x
1
)(x
− x
2
)(x
− x
3
)
= x
3
− 3x
2 1
x
+ 2x
3 те и q = 2x
3 1
. В таком случае 4
= x
6 1
= −
p
3 Наоборот, если 4
+
p
3 27
= 0, то мы можем положить x
1
= Знак определяется следующим образом x
3 1
= ±
r
−
p
3 27
= ±
r
q
2 4
; ровно при одном выборе знака этот корень равен Второе решение. Многочлен f(x) = x
3
+ px + q имеет кратные корни тогда и только тогда, когда у него есть общий корень с многочленом f
′
(x)
= 3x
2
+ p задача 28.16). Последний многочлен имеет корни ±
r
−
p
3
, поэтому для x
0
= должно выполняться

Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах равенство x(x
2
+ p) = −q, те. После возведения в квадрат получаем равенство 4
+
p
3 27
= 0.
24.8. Воспользуемся тем, что+ ax
2
+ bx + c =
“
x
2
+
a
2
+ t
”
2
−
“
2tx
2
− bx +
“
t
2
+ at − c +
a
2 Выберем t так, чтобы дискриминант b
2
− 8t
“
t
2
+ at − c +
a
2 был равен нулю. Тогда+ ax
2
+ bx + c =
“
x
2
+
a
2
+ t
”
2
− Поэтому уравнение+ ax
2
+ bx + c = можно решить следующим образом. Решим сначала кубическое уравнение относительно t
b
2
− 8t
“
t
2
+ at − c +
a
2 4
”
= Пусть t
0
— один из его корней. Тогда уравнение (1) можно записать в виде+ t = Получаем два квадратных уравнения и решаем их стандартным способом. Пусть x
1
, x
2
, x
3
, x
4
— корни уравнения x
4
+ ax
2
+ bx+ c= Положим u = x
1
+ x
2
= −(x
3
+ x
4
). Тогда+ ax
2
+ bx + c = (x
2
− ux +
a
)(x
2
+ ux те Из первого и второго уравнений получаем a
=
1 2
„
a
+ u
2
+
b
u
«
,
b
=
1 2
„
a
+ Подставив эти выражения в третье уравнение, получим+ 2au
4
+ (a
2
− 4c)u
2
− b
2
= 0.
(1)

Решения задач
291
Уравнение (1) является кубическим уравнением относительно Решив это кубическое уравнение, найдём 6 корней уравнения (Они имеют вид ±u
1
, ±u
2
, ±u
3
. Можно считать, что+ x
2
= u
1
,
x
3
+ x
4
= −u
1
,
x
1
+ x
3
= u
2
,
x
2
+ x
4
= −u
2
,
x
1
+ x
4
= u
3
,
x
2
+ x
3
= Тогда u
1
+ u
2
+ u
3
= 2x
1
24.10. а) По условию x
1
+ x
2
= −(x
3
+ x
4
), поэтому x
1
+ Аналогично x
1
+ x
3
=
p и x
1
+ x
4
= √
g
. Следовательно −
√
a
+
√
b
−
√
g
,
2x
4
= −
√
a
−
√
b
+
√
g б) Ясно, что a
+
b
+
g
= −2(x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ . . .) = −2a. Далее (x
2 1
x
2 2
+ . . .) + 3(x
2 1
x
2
x
3
+ . . .) + 6x
1
x
2
x
3
x
4
. Учитывая,
что a
2
= (x
1
x
2
+ . . .)
2
= (x
2 1
x
2 2
+ . . .) + 2(x
2 1
x
2
x
3
+ . . .) + и = (x
1
+ . . .)(x
1
x
2
x
3
+ . . .) = (x
2 1
x
2
x
3
+ . . .) + получаем ab
+
ga
+
bg
= a
2
− 4c. Наконец, −
abg
= (x
3 1
x
2 2
x
3
+ . . .) +
+ 2(x
3 1
x
2
x
3
x
4
+ . . .) + 2(x
2 1
x
2 2
x
2 3
+ . . .) + 4(x
2 1
x
2 2
x
3
x
4
+ . . .). Учитывая,
что
0 = (x
1
+ . . .)(x
1
x
2
+ . . .)(x
1
x
2
x
3
+ . . .) =
= (x
3 1
x
2 2
x
3
+ . . .) + 3(x
3 1
x
2
x
3
x
4
+ . . .) + 3(x
2 1
x
2 2
x
2 3
+ . . .) + 8(x
2 1
x
2 2
x
3
x
4
+ . . .),
0 = (x
1
+ . . .)
2
x
1
x
2
x
3
x
4
= (x
3 1
x
2
x
3
x
4
+ . . .) + 2(x
2 1
x
2 2
x
3
x
4
+ . . и b
2
= (x
1
x
2
x
3
+ . . .)
2
= (x
2 1
x
2 2
x
2 3
+ . . .) + 2(x
2 1
x
2 2
x
3
x
4
+ . . .), получаем abg
= в) Согласно задаче а) достаточно найти a
,
b и. Согласно задаче б) числа a
,
b и являются корнями кубического уравнения+ 2ay
2
+ (a
2
− 4c)y − b
2
= 0.
24.11. Пусть x = cos f
. Из формулы Муавра следует, что рассматриваемые уравнения имеют вид cos 5
f
=a и cos 7
f
=a. Значит,
решения этих уравнений имеют вид 2
`
n
p
a
+ i
√
1 − a
2
+
n
p
a
− i
√
1 − где n = 5 или 7.

Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах. Мы воспользуемся тем же самым способом, которым в задаче 24.2 было решено кубическое уравнение. А именно, будем искать решение в виде x =
a
+
b
. Воспользовавшись тем, что+ 3
ab
(
a
+
b
) и (
a
+
b
)
5
=
a
5
+
b
5
+ 5
ab
(
a
3
+
b
3
)
+
+ 10
a
2
b
2
(
a
+
b
), запишем исходное уравнение в виде a
5
+
b
5
+
+ A(
a
3
+
b
3
)
+ B(
a
+
b
)
− b = 0, где A = 5
ab
− 5a и B = 10
a
2
b
2
−
− 15a
ab
+ 5a
2
. Если ab
= a, то A = 0 и B = 0. Поэтому решение исходного уравнения свелось к решению системы уравнений a
5
+
b
5
= b,
ab
= a. Из этой системы находим a
5
,
b
5
=
b
2
±
r
b
2 4
− Поэтому 4
− a
5
+
5
s
b
2
−
r
b
2 4
− Значения корней выбираются так, чтобы их произведение было равно a.
24.13. Ответ Пусть ab
= a. Тогда+ 7a(
a
5
+
b
5
)
+ 21a
2
(
a
3
+
b
3
)
+ 35a
3
(
a
+
b
),
(
a
+
b
)
5
=
a
5
+
b
5
+
5a(
a
3
+
b
3
)
+ Чтобы осталось только a
7
+
b
7
, нужно рассмотреть выражение 7a(
a
+
b
)
5
+ 14a
2
(
a
+
b
)
3
− Таким образом, решение уравнения x
7
− 7ax
5
+ 14a
2
x
3
− 7a
3
x
= сводится к решению системы уравнений ab
= a,
a
7
+
b
7
= b.

ГЛАВА ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Для бесконечной последовательности a
1
, a
2
, a
3
, . . . обычно используют обозначение {a
n
}. Число a называют пределом последовательности, если для любого e
>
0 можно выбрать номер так, что |a
n
− a| <
e при n > N. Предел последовательности обозначают lim
n
→∞
a
n
. Предел последовательности не всегда существует. Например, у последовательности a
n
= предела нет.
Вместо обозначения lim
n
→∞
a
n
= a иногда используют обозначение при n → ∞ или даже просто a
n
→ a.
25.1. Свойства пределов. Докажите, что если предел последовательности существует, то он единствен. Пусть {a
n
} и {b
n
} — две последовательности, причём lim
n
→∞
a
n
= a и lim
n
→∞
b
n
= b. Докажите, что:
а) lim
n
→∞
(a
n
+ c) = a + c и lim
n
→∞
(ca
n
)
= ca для любого числа б) lim
n
→∞
(a
n
+ b
n
)
= a + в) lim
n
→∞
(a
n
b
n
)
= г) если a 6= 0 и a
n
6= 0 для всех n, то lim
n
→∞
1
a
n
=
1
a