Учебное пособие Москва Издательство мцнмо 2007 удк 512. 1517. 1511. 1 Ббк 22. 14122. 161 П70 Прасолов В. В
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
29.18. Докажите, что любая непрерывная функция на отрезке [a, b] интегрируема. Пусть f(x) — непрерывная функция на отрезке, b]. Докажите, что на отрезке [a, b] существует точка для которой) dx = f( x )(b − a). Глава 29. Интеграл. Докажите, что если непрерывная функция неотрицательна на отрезке [a, b], то) dx > 0. Более того, если f(x 0 ) > 0 для некоторой точки отрезка [a, b], то) dx > Часто бывает удобно рассматривать определённые интегралы) dx для a < b. А именно, мы полагаем) dx = − b ] a f(x) При таких соглашениях остаются верными формулы замены переменных и соотношение) dx + c ] b f(x) dx = c ] a f(x) dx. 29.21. Пусть f(x) — непрерывная функция на отрезке, b] и F(x) = x ] a f(t) dt. Докажите, что F ′ (x) = f(x), те первообразная функции f(x). 29.22. Пусть f(x) — непрерывная функция на отрезке, b]. Докажите, что) dx = F(b) − где F(x) — первообразная функции f(x) формула Ньюто- на––Лейбница). Для разности F(b) − F(a) мы будем использовать обозначение. Вычисление интегралов. Пусть U n = p /2 ] 0 cos n x а) Докажите, что если n нечётно, то U n = (n − 1)!! n!! , а если чётно, то U n = (n − 1)!! n!! p 2 , где n!! обозначает произведение Условия задач 365 всех натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих с n одинаковую чётность. б) Докажите, что p = lim n →∞ 1 n (2n)!! (2n − формула Вал- лиса). 29.24. Докажите, что p /2 ] 0 ln(sin x) dx = − p 2 ln 2. 29.25. Пусть f 1 (x) = x ] a f(t) dx, f 2 (x) = x ] a f 1 (t) dx, . . . , f n (x) = = x ] a f n −1 (t) dx. Докажите, что 1)! x ] a f(t)(t − x) n −1 dt. 29.4. Вычисление площадей Пусть функция f(x) на отрезке [a, b] неотрицательна. Член) интегральной суммы заключён между и M(x k −1 − x k ), где m и M — наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [x k , x k +1 ]. Таким образом, этот член заключён между площадью прямоугольника, содержащегося в фигуре под графиком функции y = f(x), и площадью прямоугольника, содержащего часть этой фигуры, расположенную над отрезком [x k , x k +1 ]. Поэтому определённый интеграл) dx — это площадь фигуры, ограниченной графиком y = и прямыми y = 0, x = a и x = b. 29.26. Вычислите площадь круга радиуса 1 с помощью определённого интеграла. Вычислите площадь под графиком функции y = = sin x на отрезке от 0 до p 29.5. Вычисление объёмов Пусть тело расположено в пространстве с прямоугольными координатами, причём проекция этого тела на ось Ox — это отрезок [a, b]. Предположим, что плоскость, проходящая через Глава 29. Интеграл точку x отрезка [a, b] перпендикулярно оси Ox, высекает на этом теле фигуру площади S(x). Тогда объём этого тела определяется как) dx. 29.28. Вычислите с помощью определённого интеграла объём V конуса с радиусом R и высотой h. 29.29. Вычислите с помощью определённого интеграла объём V шара радиуса R. 29.30. Найдите объём фигуры, образованной при пересечении двух прямых круговых цилиндров радиуса R, оси которых перпендикулярны и пересекаются. Найдите объём фигуры, отсекаемой от цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр его основания. Известны радиус цилиндра R и высота полученной фигуры h. 29.6. Длина кривой Рассмотрим кривую y = f(x), где f(x) — непрерывная функция на отрезке [a, b]. Пусть x 0 = a < x 1 < . . . < x n −1 < b = x n — точки на этом отрезке. Рассмотрим ломаную с вершинами A k = (x k , f(x k )), k = 0, 1, . . . , n. Если длина этой ломаной стремится к конечному пределу l, когда длина наибольшего звена ломаной стремится к нулю, то это число l называют длиной кривой. Докажите, что если функция f(x) на отрезке [a, имеет непрерывную производную, то кривая y = f(x) имеет длину + f ′2 (x) dx. 29.33. Вычислите с помощью определённого интеграла длину окружности радиуса R. 29.34. Вычислите длину дуги параболы 2y = от точки, 0) до точки 0 2 29.35. Вычислите длину дуги кривой y = ch x, заключён- ной между точками (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ). 29.36. Пусть график функции y = f(x) на отрезке [a, параметризован параметром t, те. задана монотонно возрастающая функция x(t), причём a = x(t 0 ) и b = x(t 1 ), и мы Условия задач 367 полагаем y(t) = f(x(t)). Докажите, что длина этого графика равна+ y ′2 dt, где и y ′ = dy dt 29.37. Вычислите длину астроиды, заданной уравнением. Вычислите длину ветви циклоиды x = a(t − sin t), y = a(1 − cos где 0 6 t 6 2 p 29.7. Площадь поверхности Пусть f(x) — непрерывная положительная функция наотрез- ке [a, b], x 0 = a < x 1 < . . . < x n −1 < b = x n — некоторые точки на отрезке [a, b]. Будем вращать кривую y = f(x) вокруг оси Ломаная с вершинами A k = (x k , f(x k )) заметает при этом некоторую поверхность, состоящую из усечённых конусов. Если сумма площадей боковых поверхностей этих конусов имеет предел, когда длина наибольшего из отрезков стремится к нулю, то этот предел называют площадью поверхности вращения, заметаемой кривой y = f(x). 29.39. Докажите, что если положительная функция на отрезке [a, b] имеет непрерывную производную, то площадь поверхности вращения, заметаемой кривой y = равна + (f ′ (x)) 2 dx. 29.40. Докажите, что площадь поверхности шара радиуса, заключённой между двумя параллельными плоскостями (пересекающими шар, равна 2 p Rh, где h — расстояние между этими плоскостями. Неравенства. Пусть t > а) Докажите, что t− t 3 6 6 sin t6t и 1− t 2 4 6 cos t61− t 2 2 + t 4 24 Глава 29. Интеграл б) Докажите, что 3! + t 5 5! − . . . − t 4n+3 (4n + 3)! 6 sin t 6 t − t 3 3! + t 5 5! − . . . + t 4n+1 (4n + 1)! , 1 − t 2 2! + t 4 4! − . . . − t 4n+2 (4n + 2)! 6 cos t 6 1 − t 2 2! + t 4 4! − . . . + t 4n (4n)! 29.42. Докажите, что если 0 < t 6 p /2, то t t 3 > cos t. 29.43. Докажите, что если 0<t6 p /2, то 1 t 2 +1− 4 p 2 29.44. Докажите, что 3 sin t < 2t + t cos t для любого t > 0. 29.45. Пусть t > 0. Докажите, что 2 + t 3 3 − t 4 4 + . . . − t 2n 2n < ln(1 + t) < t − t 2 2 + t 3 3 − t 4 4 + . . . + t 2n+1 2n + 1 29.46. Докажите, что для любого t > 0 t − t 3 3 + t 5 5 − t 7 7 +. . .− t 4n−1 4n − 1 < arctg t<t− t 3 3 + t 5 5 − t 7 7 +. . .+ t 4n+1 4n + 1 29.47. а) Докажите, что если 0 6 t 6 a, то + t + t 2 2! + t 3 3! + . . . + t n n! 6 e t 6 1 + t + t 2 2! + t 3 3! + . . . + t n −1 (n − 1)! + б) Докажите, что если 0 > t > a, то при нечётном n имеют место такие же неравенства, а прич тном n знаки неравенств заменяются на обратные. Функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, длина которого равна p . Докажите, что на отрезке [a, b] есть точка x, для которой f ′ (x) − (f(x)) 2 < 1. 29.9. Вычисление пределов. Вычислите предел lim n →∞ n −1 P k=0 n n 2 + k 2 29.50. Вычислите предел lim n →∞ n −1 P k=0 p n 2 − k 2 n 2 29.51. Вычислите lim n →∞ 2n P k=n 1 k Условия задач. Вычислите lim n →∞ n −1 P k=0 1 p n 2 − См. также задачу 25.42. 29.10. Тождества. Докажите следующее тождество для биномиальных коэффициентов 1 − C 2 n 1 2 + . . . + (−1) n −1 C n n 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n 29.54. а) Вычислите 1) n dx, где n — натуральное число, с помощью формулы из задачи б) Докажите, что 2n + 1 − C 1 n 1 2n − 1 + C 2 n 1 2n − 3 − C 3 n 1 2n − 5 + . . . + (−1) n C n n = = ( −1) n 2 2n (n!) 2 (2n + См. также задачу 14.17. 29.11. Примеры и конструкции. Докажите, что для любого натурального n > 3 существует многочлен f(x) степени n с вещественными коэффициентами и корнями a 1 < a 2 < . . . < a n , для которого dx = a 3 ] a 2 |f(x)| dx = . . . = a n−1 ] a n |f(x)| dx. 29.12. Несобственные интегралы Интеграл b ] a f(x) dx называют несобственным в двух случаях) если функция f(x) определена лишь на интервале (a, ноне на всём отрезке [a, b]; 2) если a = −∞ и/или b = ∞. Глава 29. Интеграл Несобственный интеграл понимается как предел интеграла) dx, когда u → a+ (соответственно, u → −∞) и v → b− соответственно. Имеется ввиду, что u и v стремятся к указанным пределам независимо друг от друга. Вычислите несобственный интеграл, где < a < 0. 29.57. Докажите, что k! для любого целого неотрицательного Решения. Ясно, что a x + a ” ′ =(ln(x−a)−ln(x+a)) ′ = 1 x − a − 1 x + a = = 2a x 2 − a 2 29.2. Формула для производной композиции функций задача) показывает, что (F( f (y))) ′ = F ′ ( f (y)) f ′ (y). Остаётся заметить, что F ′ ( f (y)) = f( f (y)). 29.3. Согласно задачами + e 2x = ] dy 1 + y 2 = arctg y + C = arctg e x + C; ] cos x dx 1 + sin 2 x = ] d sin x 1 + sin 2 x = ] dy 1 + y 2 = arctg y + C = arctg sin x + C. 29.4. Согласно задаче 29.2 ] tg x dx = ] − d cos x cos x = − ln cos x + C. 29.5. Согласно задаче 29.2 ] f( f (y)) f ′ (y) dy = ] f( f (y)) d f (y) = = ] f(x) dx. 29.6. Положим x = sin y. Тогда, согласно задаче 29.5 ] p 1 − x 2 dx = ] cos 2 y dy = ] 1 + cos 2y 2 dy = y 2 + 1 4 ] cos 2y d(2y) = = y 2 + sin 2y 4 + C = arcsin x 2 + x p1 − x 2 2 + C. Решения задач. Положим x = sh y. Тогда, согласно задаче 29.5 ] p 1 + x 2 dx = ] ch 2 y dy = ] 1 + ch 2y 2 dy = y 2 + 1 4 ] ch 2y d(2y) = = y 2 + sh 2y 4 + C = Arsh x 2 + x p1 + x 2 2 + C = = 1 2 ln(x + p 1 + x 2 ) + x p1 + x 2 2 + C. 29.8. Положим x = y 2 . Тогда, согласно задаче 29.5 ] dx 1 + √ x = ] 2y dy 1 + y = 2 ] “ 1 − 1 1 + y ” dy = = 2y − 2 ln(1 + y) + C = 2 √ x − 2 ln(1 + √ x) + C. 29.9. Требуется доказать, что) dx = (f(x)g(x)) ′ − Это немедленно следует из формулы для производной произведения двух функций. а x dx = ] ln x d “ x 4 4 ” = ln x · x 4 4 − ] x 4 4 d(ln x) = = ln x · x 4 4 − ] x 4 4 · 1 x dx = x 4 4 ln x − x 4 16 + б x dx = x arctg x − ] x dx 1 + x 2 = x arctg x − 1 2 ln(1 + x 2 ) + в cos x dx = ] x d(sin x) = x sin x− ] sin x dx=x sin x+cos г d(e x ) = xe x − ] e x dx = xe x − e x + C. 29.11. Применим формулу интегрирования по частям для f(x)= = g(x) = ln x. В результате получим x 1 x dx = (ln x) 2 − ] 1 x ln x Первообразная определена с точностью до константы, поэтому это равенство нужно понимать так I = (ln x) 2 −(I +C), где I = ] ln Таким образом x x dx = (ln x) 2 2 + C константа C здесь другая. а) Интегрируя по частям, получаем bx dx = − 1 b e ax cos bx + a b ] e ax cos bx dx = = − 1 b e ax cos bx + a b 2 e ax sin bx − a 2 b 2 ] e ax sin bx dx. Глава 29. Интеграл Для I = ] e ax sin bx dx мы получили соотношение cos bx + a sin bx) − a 2 b 2 (I + Следовательно bx dx = e ax a 2 + b 2 (a sin bx − b cos bx) + б) Аналогично получаем bx dx = e ax a 2 + b 2 (a cos bx + b sin bx) + C. 29.13. Воспользуемся формулой из задачи 29.9, заменив в ней на g (n) : ] fg (n +1) dx = Аналогично получаем f ′ g (n −1) − ] f ′′ g (n −1) dx, ] f ′′ g (n −1) dx = f ′′ g (n −2) − ] f ′′′ g (n −2) dx, ] f (n) g ′ dx = f (n) g − ] f (n +1) g Из этих формул легко следует требуемое. а) Воспользуемся формулой из задачи 29.13. Если g (n +1) = = e ax , то g (n) = e ax a , g (n −1) = e ax a 2 , . . . Поэтому e ax “ P a − P ′ a 2 + P ′′ a 3 − . . . ” + б) Если g (n +1) = sin ax, то g (n) = − cos ax a , g (n −1) = − sin ax a 2 , g (n −2) = = cos ax a 3 , . . . Поэтому) sin ax dx = sin ax “ P ′ a 2 − P ′′′ a 4 + . . . ” − cos ax “ P a − P ′′ a 3 + . . . ” + в) Аналогично решению задачи б) получаем) cos ax dx = sin ax “ P a − P ′′ a 3 + . . . ” + cos ax “ P ′ a 2 − P ′′′ a 4 + . . . ” + C. |